lunes, 29 de junio de 2009

Elegir o ser manipulado

Usted puede elegir entre tener unas ciertas nociones claras de matemática o no tenerlas, pero debe saber que si no las tiene, es usted una persona mucho más manipulable que en el caso contrario.


Gracias a un gran lector de este blog que se esconde tras una inicial P. me llega esta magnífica cita del no menos grande John Allen Paulos. A botepronto me viene a la cabeza el famoso caso de Almudena Grandes en El País. También recuerdo la entrada sobre ofertas y porcentajes de este mismo blog, en la que se contaba cómo un tipo de oferta puede resultar más beneficiosa que otra que, en apariencia, era mejor. O incluso podemos recordar la Paradoja de Newcomb.

Creo que hay muchos ejemplos en los que el analfabetismo matemático puede provocar que alguien resulte fácilmente manipulable. Y si no te lo acabas de creer, mira las estadísticas.

Tito Eliatron Dixit.

viernes, 26 de junio de 2009

Bomba Letal

No, no voy a contaros el famoso chascarrilo de por qué los matemáticos llevan siempre una bomba al subirse en un avión. Más bien de una curiosidad matemático-ortográfica que me comentó un compañero hace poco en un congreso.

Cualquier estudiante de cálculo (análisis matemático) de física o matemáticas (incluso de algunas ingenierías) conocerán un clásico libro de problemas que no falta en ninguna bibliografía. Se trata de Problemas de Análisis Matemático (en 3 volúmenes) de los matemáticos Fernando Bombal Gordon, Luis Rodríguez Marín y Gabriel Vera Botí.

Hasta aquí nada interesante ¿verdad? El problema surge cuando se utilizan las formas clásicas para citar, en particular el latinismo et al. Esta frase se utiliza cuando una cita tiene 3 o más autores, en cuyo caso se expresa el primero de ellos (por orden alfabético) y se añade esta frase. Pero en el caso que nos concierne, la cosa queda así:
Bombal et al. Problemas de Análisis Matemático (3 volúmenes)
De ahí (bueno, y quizás por su alto contenido matemático) que en alguna universidad, este libro fuese conocido por Bomba Letal, anagrama clarísimo (y sin reordenamiento de letras) de Bombal et al..

En fin, que como hoy es viernes, la entrada (por cierto, primera del Año II de Tito Eliatron Dixit) es más ligerita.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Los matemáticos llevan siempre una bomba al ir en avión, porque la probabilidad de que en un mismo avión haya 2 bombas es 0 (o casi casi).

jueves, 25 de junio de 2009

Efemérides Matemáticas (I)

Con la entrada de hoy, pretendo dar a conocer algunas efemérides matemáticas que sucedieron tal día como hoy, 25 de Junio, hace algunos años.
1671
Fallece Giovanni Battista Riccioli, astrónomo italiano, nacido en 1598 y conocido por ser la primera persona en medir la tasa de aceleración de un cuerpo cayendo libremente.
1792
Comienza la medición del meridiano de París, que va de Dunkerque a Barcelona, y que constituyó el origen del establecimiento del Sistema Métrico Decimal.
1852
Nace el arquitecto español Antonio Gaudí, autor de la Sagrada Familia, y que en su obra utiliza la línea curva y la geometría como centro de su obra.
1941
Fallece Alfred Pringsheim, matemático alemán nacido en 1850 que trabajó en funciones de variables reales y complejas y en fracciones continuas. Fue discípulo de Weierstrass.
1974
Fallece Cornelius Lanczos, matemático húngaro nacido en 1893 y que trabajó, fundamentalmente en relatividad y física matemática. Se le conoce por inventar un algoritmo llamado Transformada rápida de Fourier y por descubrir una solución exacta de la Ecuación de campo de Einstein.

2008
Tal día como hoy del año pasado nacía un nuevo blog sobre matemáticas en la blogosfera: Tito Eliatron Dixit. Quizás no empecé con demasiada fuerza, ni con las ideas muy claras... pero empecé tal día como hoy.
Y ya ha pasado un año desde que la idea de crear un blog para contar un poco de Matemáticas dejara el mundo de lo imaginario y pasara a a ser una realidad. 1 año después, no me puedo quejar. Hemos superado los 100 readers (hoy estamos en torno a 140), estamos en el Top-50 de blogs científicos de Wikio, hemos tenido más de 18.000 visitas a lo largo de este año de nacimiento, con picos de más de 400 visitas en un día. Estamos en Hispaciencia, en Facebook,... Pero sobre todo en 1 año he conseguido muchos amigos: vosotros. Desde aquí os quiero dar las gracias a todos y cada uno de los que alguna vez habéis leído a Tito Eliatron Dixit y a todos los que, además, habéis comentado y participado. De verdad GRACIAS.

miércoles, 24 de junio de 2009

Cortando cubos de forma minimal

Hoy miércoles os traigo un problema de ingenio, extraído de un gran libro de Martin Gardner: ¡Ajá! Inspiración.

Avisados quedáis, que la respuesta a este acertijo se encuentra en dicho libro, por lo que os pediría que antes de recurrir a él, la pensarais un poco.

Supongamos que tenemos un cubo macizo de 3 cm. de lado. ¿Cuántos cortes (planos) se necesitan para cortarlo en 27 cubos unitarios, es decir, cubos de 1 cm de lado?

Esta pregunta tiene fácil solución. La respuesta es 6 y para demostrarlo, basta cortar de la siguiente forma:


Ahora partimos de un cubo macizo de 4 cm de lado y, del mismo modo que antes, queremos cortarlo en 64 cubos unitarios. Ahora la respuesta no es tan obvia. Si procedemos de forma análoga al caso 3x3x3, obtenemos 9 cortes:


Pero este número no es óptimo: se puede conseguir en menos cortes. ¿Se os ocurre cómo? Os voy a dejar una pista. Se puede conseguir mediante 6 cortes planos. Sí, sí, 6, igual que en el caso 3x3x3.

Pero no queda aquí la cosa. Para aquellos avezados lectores que hayan conseguido descubrir el modo de cortar el cubo 4x4x4 en 64 cubos, sólo con 6 cortes, os desafío a algo aún más interesante. Demostrar que no es posible realizar esta tarea en menos de 6 cortes, es decir, con 5 cortes o menos es imposible lograrlo.

Repito la advertencia que os hice al principio. Este acertijo está extraído del libro ¡Ajá! Inspiración de Martin Gardner. Allí podréis encontrar la solución a las 2 preguntas que planteo. Lo divertido es pensarlo por uno mismo.

Yo lo intenté, y logré responder a la primera de las preguntas. Reconozco que la segunda no fui capaz, pero no iba demasiado desencaminado en mis pesquisas.

Tito Eliatron Dixit.

lunes, 22 de junio de 2009

Ignorantes

Imaginemos a un abogado diciendo que se le da mal la ortografía, a un dentista declarando orgulloso que no conoce ningún idioma extranjero, o un analista financiero asegurando divertido que siempre confunde a Voltaire con Moliere. Tendríamos motivos para considerar a esta gente ignorantes. Pero eso no ocurre con las Matemáticas. Las carencias en este campo las acepta todo el mundo tranquilamente.


Acabo de terminar de devorar este magnífico libro y quiero destacar esta frase extraída del prefacio. Yo tengo la misma sensación que este matemático y periodista suizo: La ignorancia matemática está bien vista. De hecho, basta darse un garbeo televisivo por los concursos de cultura general para comprobar las escasísimas veces en las que las Matemáticas aparecen (Cifras y Letras aparte); y cuando aparecen, raro es el caso en que el sabiondo concursante no dice algo como "es que yo soy de letras".

Como escuché una vez a uno de los miembros del Grupo Alquerque, los matemáticos vamos a tener que empezar a decir algo del estilo a "claro, como yo soy de números...".

Y vosotros, ¿qué pensáis?

Tito Eliatron Dixit.

viernes, 19 de junio de 2009

Los límites del ¿infinito?





Curiosa viñeta de Mafalda en la que se ponen límites a la paciencia... y al infinito.

¿Se os ocurren otras expresiones relacionadas con las matemáticas y que posean un cierto carácter paradójico, como ésta?

Tito Eliatron Dixit

miércoles, 17 de junio de 2009

¿Qué número es mayor eπ ó πe?


Si tenemos una calculadora a mano, la respuesta es bastante obvia: Hacemos ambas cuentas en ella y comprobamos los resultados. Pero la cosa se complica si queremos dar respuesta sin la ayuda de calculadoras o cualquier programa de cálculo simbólico.

De todas formas el cálculo infinitesimal puede venir a nuestra ayuda. En primer lugar, vamos a hacer alguna conjetura, que no tiene porqué ser cierta. Sólo será un punto de partida sobre el que empezar a operar. π es, más o menos, 3 (no lo digo yo, lo dice la Biblia); del mismo modo, podemos aproximar el número e por 2. Así que πe=32=9, mientras que eπ=23=8. De esta forma, parece que πe>eπ.

Ésta va a ser nuestra conjetura que vamos a tratar de probar: πe>eπ. Pero vamos a modificarla un poco. Si tomamos logaritmos (neperianos), como esta función es estrictamente creciente y mantiene las desigualdades, podemos conjeturar que ln(πe)>ln(eπ), pero gracias a las propiedades de los logaritmos, tenemos que e·ln(π)>&pi·ln(e), o lo que es lo mismo, ln(π)/π>ln(e)/e.

Ahora ya tenemos todo preparado. Consideramos la función f(x):=ln(x)/x, definida para cualquier valor positivo de x, y encontremos los extremos absolutos. Para ello, vamos a encontrar los máximos y/o mínimos relativos, así como los valores en los extremos. Pero como la función está definida en (0,+∞), calcularemos los límites en o+ y +∞.

Comencemos con ellos:
limx->0+f(x)= limx->0+ln(x)/x=-∞/0+=-∞.
Por otro lado,
limx->+∞f(x)=limx->+∞ln(x)/x=∞/∞=INDETERMINACIÓN. Pero en este caso, recurriendo a la Regla de L'Hopital, se obtiene que
limx->+∞ln(x)/x= limx->+∞1/x=1/+∞=0.

Así pues, ya tenemos los valores de la función en los extremos del intervalo donde está definida. Ahora vamos a calcular los extremos relativos. Para ello, basta con derivar la función e igualar a 0:
f'(x)=(1/x·x-ln(x))/x2=(1-ln(x))/x2=0 ⇔ ln(x)=1 ⇔ x=e.
Por tanto, nuestro único candidato a extremo relativo es x=e. Pero es muy fácil comprobar que en el intervalo (0,e) la derivada es positiva (f'(x)>0), mientras que en el intervalo (e,+∞), la derivada es negativa (f'(x)<0). Con todo esto se deduce que el punto x=e es un máximo relativo de la función. Además como f(e)=1/e>0, y dados los valores en de los límites en o+ y +∞, se deduce que en x=e la función alcanza su máximo absoluto. Si aún no quedas conforme, puedes comprobar este hecho en la representación gráfica de la función.


¿Qué acabamos de probar? pues que sea cual sea el número positivo x≠e que elijamos, se tiene que f(x)<f(e) o lo que es lo mismo, ln(x)/x<ln(e)/e. Si mandamos los denominadores a los lados contrarios, se tendrá que e·ln(x)<x·ln(e) y por las propiedades de los logaritmos resultará que ln(xe)<ln(ex). Ahora volvemos a palicar la propiedad del logaritmo que dice que mantiene las desigualdades para conseguir lo siguiente
∀x>0, (x≠e), se tiene que xe<ex.


Pero... en esta desigualdad podemos elegir, como número positivo al número π (que es distinto de e). Por lo tanto debe ser πe<eπ. Así que nuestra conjetura inicial era más falsa que un euro de Homer Simpson.

De todas formas, mediante el cálculo infinitesimal (derivadas y límites) hemos sido capaces de comprobar cuál de estos dos números es mayor y sin necesidad de utilizar calculadoras o programas de cálculo simbólico (la imagen de la gráfica de la función es sólo para ayudar a visualizar, no es necesaria en realidad).

¿Habrá algo que el cálculo infinitesimal de Leibniz o Newton no pueda hacer?

Tito Eliatron Dixit.

lunes, 15 de junio de 2009

Infinitud y conocimientos

Lo conocido es finito, lo desconocido es infinito; intelectualmente nos encontramos en un islote en medio de un océano ilimitado de inexplicabilidad. Nuestro empeño en cada genera-ción es ganarle un poco más de tierra al mar.
Thomas Henry Huxley
vía Boletín 185 de la RSME


Visto así, ser investigador en esta vida debería ser una tarea bastante fácil. ¿Qué creéis vosotros?

Tito Eliatron Dixit.

viernes, 12 de junio de 2009

El problema de los 4 colores

En realidad, el problema es que sólo había 4 colores de tiza:



Entre Marzo de 2004 y Septiembre de 2005 estuve trabajando en la Universidad Autónoma de Madrid. Allí conocí a gente maravillosa de la que guardo grandes recuerdos. Esta fotografía fue tomada por un compañero de despacho tras unos cuantos días de trabajo en nuestro despacho. Esa semana, decidimos que cada uno de los componentes del despacho CXV-513 (Adrián, Nati, Fernando y yo mismo) ibamos a escribir cada uno en un color de tiza distinto aquéllo en lo que estuviéramos pensando. El resultado fue el que veis en la fotografía.

¿A qué viene esta foto? Pues a que su autor intelectual (y material), mi amigo Fernando Charro, va a ser doctor el próximo lunes 15 de Junio (exactamente 5 años después que yo). Y por este motivo he sacado del olvido de mis imágenes esta foto que guardo, junto con alguna otra, con mucho cariño.

Maestro, este artículo va dedicado a ti.

Tito Eliatron Dixit.

miércoles, 10 de junio de 2009

Breves Reseñas de Matemáticos: Miguel de Guzmán

Hace ya más de un mes que no ampliaba esta serie de Breves Reseñas de Matemáticos y ya va siendo hora. Esta ocasión he creído conveniente centrarme en uno de los más grandes divulgadores de las matemáticas que el mundo ha visto. Me refiero a Miguel de Guzmán.

Miguel de Guzmán nació en Cartagena (Murcia) el 12 de Enero de 1936 y poco después quedó huérfano de padre a consecuencia de la Guerra Civil. Tras un breve paso por escuelas madrileñas, acaba su formación secundaria en Bilbao para, posteriormete, ingresar en la Compañía de Jesús y estudiar Literatura y Humanidades en Orduña (Vizcaya) y Filosofía en Azpeitia (Guipúzcoa). Aunque ya sus hermanos mayores le habían inculcado el amor por las matemáticas.

En 1961 se convierte en Licenciado en Filosofía en el Berchmanskolleg de Munich (Alemania) y vuelve a España donde comienza sus estudios en Filosofía y Matemáticas en la Universidad Complutense. En 1965 ya es licenciado en Matemáticas y Filosofía y su fama durante los estudios le llevaron, por mediación de Alberto Dou, a la Universidad de Chicago donde conocería a dos grandes matemáticos: Antoni Zygmund y Alberto Calderón. Éste último fue el responsable del doctorado de Miguel de Guzmán cuya disertación, defendida en 1968, se tituló Singular Integral Operators with Generalized Homogeneity (operadores integrales singulares con honogeneidad generalizada).

En 1969 y tras pasar por diversas universidades estadounidenses, vuelve a la Universidad Complutense donde prosiguió su carrera investigadora. Diferenciación de operadores integrales, análisis armónico... son algunos de los campos en los que Miguel de Guzmán trabajó en sus priemros años de vuelta en España. Comenzando con seminarios y acabando con la publicación de algún libro, su labor investigadora ha sido clave para que otros matemáticos inicien sus propios trabajos.

Pero quizás su mayor aportación a la matemática española de la época fue el intenso empeño que tuvo en traer a grandes matemáticos de nivel mundial y a sacar a España del aislamiento científico en que se veía abocada. Sus libros Differentiation of Integrals in Rn (1975) y Real Variable Methods in Fourier Análisis (1981) son las primeras contribuciones de matemáticos españoles en monografías de esta naturaleza.

Ha sido Catedrático en la Universidad Autónoma de Madrid y en la Univeresidad Complutense de Madrid. Asimismo, en 1983 ingresa en la Real Academia de Ciencias Exactas y Físicas con el discurso Impactos del Análisis Armónico. El sueño Pitagórico: todo es armonía y número. Hace escasamente un año ha sido cubierta la vacante dejada por Miguel con la incorporación del matemático valenciano José Bonet Solves.

Pero Miguel de Guzmán no sólo se preocupó de su labor investigadora y de las Grandes Matemáticas. Entendía que el amor por las matemáticas debía proceder desde la juventud y por eso volcó gran parte de su talento en la educación matemática, en particular, en la secundaria y bachillerato. Suyos son varios títulos de texto de bachillerato en los que matemáticas y juegos se unen para acercar al lector el maravilloso mundo de los números. Pero quizás una de sus últimas aportaciones a este campo fue la puesta en marcha del Proyecto Estímulo del talento matemático ESTALMAT. Este programa ideado por él en el marco de la Real Academia de Ciencias con la intención de fomentar el interés por las matemáticas de jóvenes escolares es hoy en día una realidad a nivel nacional en la que jóvenes talentos aprenden a apreciar el arte de las Matemáticas guiados por porfesores de reconocido prestigio internacional.

El 14 de Abril de 2004, de forma repentina, Miguel de Guzmán fallecía en el Hospital a causa de una infección bacteriana que, en los últimos días, se tornó muy virulenta.
De marcado carácter religioso, ha sido, según cuentan todas las crónicas, un gran matemático, un gran divulgador y, sobre todo, una gran persona.

Lamentablemente no tuve la ocasión de conocerle en persona ya que murió poco antes de que pudiéramos coincidir en un congreso de Análisis Matemático en Granada. Pero, desde luego, desde este humilde blog vamos a intentar seguir la línea de divulgación de las matemáticas que él mismo inició.

El juego y la belleza están en el origen de una gran parte de las matemáticas. Si los matemáticos de todos los tiempos se lo han pasado tan bien jugando y contemplando su juego y su ciencia, ¿por qué no tratar de aprenderla y comunicarla a través del juego y de la belleza?
Miguel de Guzmán


Tito Eliatron Dixit.




Referencias


Créditos:

Fotografía extraída de Cátedra Miguel de Guzmán, de la Universidad Complutense de Madrid.

lunes, 8 de junio de 2009

Dios, el mundo y el número perfecto

Seis es un número perfecto en sí mismo y no poque Dios creara el mundo en seis días, más bien lo contrario es verdadero. Dios creó el mundo en seis días porque este número es perfecto, y será perfecto para siempre, incluso si el trabajo de los seis días no hubiese existido.


Matemáticamente hablando, un número perfecto es aquél que es igual a la suma de sus divisores propios (es decir, todos sus divisores excepto el propio número). Y el 6 es el primero de ellos (6=1+2+3).

Sin embargo al leer esta cita me pregunto lo siguiente. El nombre de número perfecto ¿viene de esta cita, o acaso el nombre es anterior y San Agustín sólo hizo una especie de juego de palabras? Si alguien lo sabe, por favor que lo comparta.

Tito Eliatron Dixit

viernes, 5 de junio de 2009

Cosas de Profesores I

Inspirado en las geniales Cosas de Alumnos del blog Ciencia en el XXI de Eugenio Manuel, inaguro hoy esta nueva sección en el blog: Cosas de Profesores.

Se trata, básicamente, de pifias y anécdotas que cometen los profesores al explicar y que me han resultado graciosas. La temática será la misma del blog: matemáticas en particular y ciencias en general, aunque quizás pueda incluir algunas de letras. Y para no apuntar con el dedo a nadie en particular, voy a comenzar con una pifia que me ocurrió a mí mismo hace un par de semanas.

Hablando de espacios vectoriales y del hecho de que hay muchas bases de un mismo espacio vectorial, se me ocurrió el siguiente comentario:
Las bases son como las madres, que hay más de una.

Inmediatamente las carcajadas del público me hicieron darme cuenta de lo que acababa de decir.

En fin, ya que yo mismo he dado el paso al frente, me gustaría pediros vuestra colaboración para agrandar esta sección con pifias que hayáis vivido in-situ o incluso, si sois docentes, que hayáis dicho vosotros. Prometo guardar el anonimato si así lo solicitáis.

Tito Eliatron Dixit

miércoles, 3 de junio de 2009

Kruskal ¿magia o matememáticas?

A continuación vais a ser todos vosotros partícipes de mis poderes mentales. En primer lugar elegid una palabra de entre las que componen la primera frase de esta entrada y poned el cursor encima. Contad el número de letras que tenga esa palabra y ahora avanzad tantas palabras como número hayáis obtenido. Por ejemplo, si elegís como palabra inicial "vais", que tiene cuatro letras, entonces la siguiente palabra a la que llegaréis será "vosotros". Volved a realizar el proceso tantas veces como sea necesario hasta llegar al final del primer párrafo, o lo más cerca del final que podáis llegar sin pasar al segundo. ¿Lo habéis hecho ya? Entonces estaréis justo AQUÍ.

Como dirían Trancas y Barrancas: ¡Brujeríaaaaaaaaa! Si no te lo crees, elige otra palabra y vuelve a realizar el proceso. ¿Dónde llegas? ¡Al mismo sitio! y lo que es peor, ¡por el mismo camino! Elijas la palabra que elijas, tarde o tenprano vas a seguir el camino de palabras en cursiva para llegar, irremediablemente, a la palabra final del primer párrafo.

En realidad, elijas el párrafo que elijas, de este artículo, blog, o de donde sea, si realizas este mismo proceso, siempre llegarás a la misma palabra final, que, eso sí, no siempre será la última del párrafo, pero da igual la palabra en la que comiences, que la del final (casi) siempre será la misma.

Como bien podréis imaginar, esto no es ni magia, ni brujería, ni poderes para-anormales. Se trata, como bien dijo Steffen Rohde2, de un lema matemático, o mejor dicho, un principio probabilístico debido al matemático y físico estadounidense Martin D. Kruskal.

El truco consiste en que, como a lo mejor ya te has dado cuenta, cuando 2 series de este tipo coinciden en una palabra, a partir de ahí, las series son la misma. La cuestión es, pues, saber si tarde o temprano, todas las posibles series convergen (no en el sentido de serie matemática) en una misma palabra. La respuesta es que no tiene porqué. Pero la probabilidad de encontrar una palabra inicial que haga que la serie encontrada sea rara (es decir, que no encuentre a otra serie) tiende a cero a medida que el número total de palabras del párrafo tiende a infinito. Es decir, que mientras más grande sea el párrafo, más difícil será que seamos capaces de encontrar una palabra que haga que nuestro juego falle.

En realidad este truco con el párrafos y letras se conoce desde hace mucho tiempo en el mundo de la cartomagia o magia con cartas como La Cuenta Kruskal. Basta con asignar a cada carta su valor numérico (las figuras, también), poner todas las cartas en fila (o en forma de tabla, da igual), elegir una carta de inicio e ir avanzando tantas cartas como su valor marque, y así sucesivamente. En una baraja francesa (52 cartas) en la que se le asigna a la J el valor 11, a la Q el 12 y a la K el 13, la probabilidad de fallo es de, aproximadamente, 33%; sin embargo si asignamos a todas las figuras el valor 10, entonces la probabilidad de fallo se reduce al 29%; y, finalmente, si asignamos el valor 5 a cada figura, la probabilidad de fallo es de apenas un 16% (cf. referencia 3). Por cierto, que la probabilidad de fallo es, en realidad, la probabilidad de que se coloquen las cartas de tal forma, que sea posible encontrar al menos 1 carta inicial que no llegue a la carta final típica. Es decir, que en el primero de los casos, en 1 de cada 3 formas de colocar las cartas es posible encontrar un inicio que haga que el truco falle, mientras que en las otras 2 de cada 3, todas las cartas te llevarán irremediablemente al mismo final: tu Destino está escrito.

Como podréis comprobar, mientras más pequeños sean los valores numéricos, parece que más fácil será que el truco funcione, así que ya sabéis, o bien usad cartas de valores pequeños, o bien utilizad fragmentos de texto que contengan pocas palabras largas. Afortunadamente, parece que esto es mucho más sencillo.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Puedes encontrar una versión interactiva de este truco en la web Proceedings of the Organics Mathematics Workshop, haciendo que todas las figuras tengan valor 1.


Referencias:
  1. El principio de Kruskal, de La Hoja Volante, numero 12, mayo de 2007.
  2. Cartomagia matemática y cartoteoremas mágicos (PDF, 244Kb), Venancio Álvarez, Pablo Fernández y M. Auxiliadora Márquez, Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española (volumen 5 (2002), no. 3, pp. 711-735.
  3. The Kruskal count, Jeffrey C. Lagarias, Eric Rains, Robert J. Vanderbei, arXiv:math/0110143v1
  4. El pricipio de Kruskal como acertijo y truco de magia, de Acertijos y más cosas
  5. El principio de Kruskal, en Pseudoblog
  6. El Rincón Matemágico (Enero 2008), Pedro Alegría, Divulgamat

lunes, 1 de junio de 2009

Hoy seguimos igual

No deja de ser sorprendente que, en Egipto, para representar un millón se dibujara un hombre arrodillado con los brazos abiertos hacia el cielo. Hoy seguimos igual


Y para el que tenga dudas, aquí al lado os dejo la imagen del jeroglífico que usaban en el antiguo Egipto para representar la cifra un millón.

Y respecto de la frase, ¿qué opináis? ¿Estáis de acuerdo? Yo personalmente creo que es muy acertada.

Tito Eliatron Dixit
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