jueves, 30 de septiembre de 2010

Todos los caballos son del mismo color: inducción matemática

Uno de los métodos que tenemos los matemáticos para demostrar resultados es el método de inducción.

Éste método se basa en una propiedad de los números naturales que dice que éste conjunto es el más pequeño que cumple que y . A los conjuntos que cumplen esta propiedad se les llama conjuntos inductivos.

La moraleja de todo esto es que para probar que una cierta propiedad, que se aplica a algunos números naturales, es cierta para todos, basta con demostrar que el conjunto de números naturales que verifican dicha propiedad es inductivo, por lo que como es el menor conjunto inductivo, se deduce que todos los naturales cumplen la propiedad.

¿Y cómo se prueba que un conjunto es inductivo? muy fácil. Primero se comprueba la propiedad para el caso inicial , que normalmente suele ser de lo más sencillo; y después se comprueba que si la propiedad es cierta para un número , entonces también es cierta para el número , esto es lo que se conoce como la hipótesis de inducción.

En resumen, si nos imaginamos que estamos en una escalera infinita y que cada peldaño es un número natural, lo que hacemos es probar el caso inicia, es decir, que podemos plantarnos en el primer escalón quietos; y después, con la hipótesis de inducción, probamos que (y así se lo explico yo a mis alumnos) podemos subir un escalón estemos donde estemos.

Pero claro, no todo es tan fácil como parece y a veces, el no comprender bien en qué consiste el método nos puede llevar a desagradables sorpresas como la que se dice en el título de este artículo.

Vamos a demostrar , que todos los caballos son del mismo color. Y lo vamos a hacer por inducción sobre el número de caballos que podemos elegir.

Para ello, el caso inicial, es trivial, si elijo 1 caballo, es evidente que es del mismo color que sí mismo, por lo que aquí no hay nada más que probar. Estamos en el primer peldaño de nuestra escalera.

Pasemos a probar la hipótesis de inducción. Vamos a suponer que si tenemos un grupo de caballos, entonces todos son del mismo color; y vamos a demostrar que si seleccionamos caballos, también todos son del mismo color.
Vamos a qudarnos con nuestros caballos y los ponemos en fila india. Si nos olvidamos del último, tendremos caballos, por lo que la hipótesis de inducción me dice que esos caballos son todos del mismo color. Ahora volvemos a nuestros caballos y nos olvidamos del primero de ellos, de nuevo tenemos otros caballos, por lo que de nuevo son todos del mismo color. Por lo tanto, si los primeros caballos son del mismo color y los últimos también... por fuerza todos los caballos son del mismo color.

Hala, ahí queda eso. ¿Cómo? ¿que aquí falla algo? ¿que tú tienes 1 caballo negro y otro blanco? ¿y tú uno marrón? Anda! entonces no todos los caballos son del mismo color... Pero si lo acabamos de demostrar!!!!

Pues claro, aquí hay un error y vuestro trabajo es descubrirlo, que apra eso están los comentarios. Por cierto, en la referencia [1], podéis encontrarla solución... pero claro, eso no se vale.

Tito Eliatron Dixit


Referencias:
[1] Su, Francis E., et al. All Horses are the Same Color, Math Fun Facts.
[2] Imagen extraída de la Wikipedia, original de bianditz en Flickr.

lunes, 27 de septiembre de 2010

Ni grande ni pequeño

Así como los objetos más fáciles de ver no son los demasiado grandes ni los demasiado pequeños, también las ideas más fáciles en matemáticas no son las demasiado complejas ni las demasiado simples.


Ya hemos hablado de este personaje a colación de su Nobel en Literatura, pero creo que no había incluido nunca una cita suya. En este caso nos habla de las ideas matemáticas. Personalmente opino algo parecido: una buena idea, una idea brillante no puede ser tan simple que esté al alcance de cualquiera, ni tan compleja que, una vez desarrollada, no pueda ser comprendida más que por algún privilegiado. Digamos que un poco en la línea de esta otra cita de Paul Lockhart.

¿Y vosotros qué opináis?

Tito Eliatron Dixit

viernes, 24 de septiembre de 2010

Una bici ¿aburrida?


Pues para finalizar la semana, os dejo un acertijillo muy sencillo. La foto de aquí arriba (que hice yo mismo) tiene temática matemática, aunque un poco oculta. ¿eres capaz de averiguar a lo que me refiero? y, además, ¿por qué el título del post?

Venga, chicos, que no es complicado, pero curráoslo un poco.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada va a formar parte de la VI Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será el Blog de Sangakoo.

PD2: Dada la temática ciclista de este post, quiero dedicarlo a un buen lector/follower como @Eulez, y a los blogs Bici por Barcelona y Plegaleando por Sevilla, que participaron en la Primera Edición del Carnaval de Matemáticas.

miércoles, 22 de septiembre de 2010

Números casi enteros

¿Es posible que una expresión en la que intervengan raíces cuadradas y los números e y π (y que no sea trivial) sea, en realidad un número entero?

Según el afamado divulgador Martin Gardner (cf. [1]), parece que el matemático John Brillo de la Universidad de Arizona logró porbar una antigua conjetura del gran Ramanujan de 1914 que aseguraba que el número es, en realidad, el número entero 262.537.412.640.768.744, y que, en honor del matemático hindú, se le conoce como constante de Ramanujan (no confundir con la Constante de Ramanujan-Soldner)

Bueno, nada más lejos de la realidad (ya nos lo contaron en Gaussianos). El número anterior no es entero, sino irracional, pero verdaderamente está bastante cerca del entero que decimos. En realidad, se puede comprobar que
es decir, que el número dista de un entero menos que .

Por cierto, en la referencia que damos, no es que Martin Gardner se equivocara, es que ese número salió el April Fool's Day (1 de Abril) de 1975 y se trataba de una inocentada, tal y como el propio Gardner tuvo que admitir públicamente (para dejar de recibir correos, digamos, curiosos) en julio de 1975.

Pero, ¿hasta qué punto es este hecho una curiosidad? Me explico mejor, ¿hay otras complicadas expresiones numéricas cuyo resultado sea casi un número entero? Sin ir más lejos, modificando un poco la expresión anterior se pude conseguir lo siguiente:
y podemos comprobar que dista de un entero menos que , lo que permite calcular hasta el 31º decimal de π sin más que tomar logaritmos, es decir, con 31 decimales exactos.

Pero aún podemos ir más lejos, ya que dista de un entero menos que ; y ya si le restamos 744 y al resultado le extraemos la raíz cúbica... el entero más cercano estará a menos que .

A la vista de estos ejemplos, parece que tiene que haber algo ahí. Y así es. Tras todas estas curiosidades se esconde una teoría matemática, cuyo punto de partida son las expresiones del tipo con , y (formas cuadráticas binarias) y que son algo muy relacionado con una simple ecuación de segundo grado. Las matemáticas que hay detrás son una teoría llamada de Formas Modulares y en la que no vamos a entrar.

Simplemente deciros un par de cosas. Si definimos la función

donde , entonces la función es una función modular, y éstas tienen la propiedad que los coeficientes de su desarrollo en Serie de Fourier son números enteros. Y como esta serie converge muy rápidamente, simplemente truncando el desarrollo se pueden conseguir números casi enteros.

Pero ya está bien de tecnicismos, que a los que les interesen ya tienen suficiente por donde bichear con los enlaces dados. A continuación os dejo otros ejemplos más de números casi enteros construidos a partir de funciones modulares como la anterior:

o bien


Pero no sólo se consiguen números casi enteros a través de formas modulares. Hay otros métodos. Por ejemplo, teniendo en cuenta que cualquier aproximación de nos puede proporcionar un número casi entero. Así, por ejemplo, . ¿Que cómo sale esto? muy fácil, esto viene de aproximar . Como , resulta que . Y como debe ser .

Pero más curiosas son otras expresiones de números casi enteros como o esta otra atribuida (esta vez es cierto) al propio Ramanujan . Aunque la que más me ha gustado, por involucrar a 3 de los irracionales más famosos, es la siguiente


Otra curiosa aparición de los números casi enteros ocurre en el siguiente dibujo
Si medís con una regla, veréis que
. Pero no es cierto. En realidad en esta disección del triángulo, tal y como apuntó E. Pegg Jr., es un número casi entero de la siguiente forma:

Si queréis ver más números casi enteros curiosos de este tipo, podéis acudir a la referencia [3].


Espero que os haya gustado esta pequeña aproximación a los números casi enteros.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada va a formar parte de la VI Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será el Blog de Sangakoo.


Referencias
[1] M. Gardner, Mathematical Games, Scientific American 232 (4) (1975), 127.
[2] F.Chamizo y D.Raboso, Fórmas modulares y números casi enteros, en El Diablo de los Números, La Gaceta de la RSME, Vol. 13 (2010), Núm. 3, Págs. 539–555 (disponible en PDF en la web del primer autor)
[3] E.W.Weisstein, Almost Integer, From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
[4] E.W.Weisstein Ramanujan Constant. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

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