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Captain, two plus two equals four.\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003EIncluso en este rincón de la galaxia, Capitán, dos más dos es igual a cuatro\u003C\/blockquote\u003E\u003Cdiv class=\"autor\"\u003ESeñor Spock\u003C\/div\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Ca name='more'\u003E\u003C\/a\u003EEsta es una cita (extraída de \u003Ca href=\"http:\/\/aperiodical.com\/2013\/04\/the-maths-of-star-trek-the-original-series-part-i\/\"\u003EAperiodical\u003C\/a\u003E) que el \u003Ca href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Spock\"\u003ESeñor Spock\u003C\/a\u003E pronuncia en el episodio \u003Ca href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/La_conciencia_del_rey_%28Star_Trek:_La_serie_original%29\"\u003ELa conciencia del Rey\u003C\/a\u003E de la serie \u003Ca href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Star_Trek:_La_serie_original\"\u003EStar Trek: la serie original\u003C\/a\u003E.En ella se pone de manifiesto que \u003Ca href=\"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/2009\/01\/matematicas-lenguaje-universal.html\"\u003Elas matemáticas son universales\u003C\/a\u003E y que independientemente del lugar en que nos encontremos, siguen siendo ciertas.\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Ca href=\"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/\" style=\"color: black; text-decoration: none;\"\u003ETito Eliatron Dixit\u003C\/a\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003EPD: Esta entrada es un homenaje a \u003Ca href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Leonard_Nimoy\"\u003ELeonard Nimoy\u003C\/a\u003E, actor que se mimetizó con el Señor Spock y que justamente hoy ha muerto.\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cdiv class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: center;\"\u003E\u003Ca href=\"http:\/\/2.bp.blogspot.com\/-OfroU430Cv4\/VPCrSRhIBnI\/AAAAAAAAH_M\/RdcMwsvrVjk\/s1600\/Spock.JPG\" imageanchor=\"1\" style=\"margin-left: 1em; margin-right: 1em;\"\u003E\u003Cimg border=\"0\" src=\"http:\/\/2.bp.blogspot.com\/-OfroU430Cv4\/VPCrSRhIBnI\/AAAAAAAAH_M\/RdcMwsvrVjk\/s1600\/Spock.JPG\" height=\"320\" 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engaño.\n\u003Cbr\/\u003E\u0026nbsp;\u003Cbr\/\u003E\nSI no ves las fórmulas correctamente, entra en \u003Ca href='http:\/\/eliatron.blogspot.com'\u003ETito Eliatron Dixit\u003C\/a\u003E, donde sí podrás verlas.\n\u003Cbr\/\u003E\u0026nbsp;\u003Cbr\/\u003E\u003C\/div\u003E"},"link":[{"rel":"replies","type":"application/atom+xml","href":"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/feeds\/1022961421177942928\/comments\/default","title":"Enviar comentarios"},{"rel":"replies","type":"text/html","href":"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/2015\/02\/spock-y-las-matematicas.html#comment-form","title":"0 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El vídeo trata sobre la belleza de las matemáticas y está ilustrado con la cita anterior de Russell.\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003EEs curioso, porque la imagen está dividida en 3 partes; en la de la derecha, aparecen escenas más o menos cotidianas, de la vida real; en la central, aparece su modelización físico-matemática a través de imágenes (generadas por ordenador); mientras que en la imagende la izquierda, aparecen las fórmulas matemáticas que describen al fenómeno en cuestión.\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003ENo os aturullo más y os dejo con el vídeo, que es lo que verdaderamente merece la pena. Y si no lo apreciáis bien, os recomiendo que lo veáis a pantalla completa.\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Ca name='more'\u003E\u003C\/a\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Ccenter\u003E\u003Ciframe src=\"\/\/player.vimeo.com\/video\/77330591\" width=\"700\" height=\"223\" frameborder=\"0\" webkitallowfullscreen mozallowfullscreen allowfullscreen\u003E\u003C\/iframe\u003E \u003Cbr\/\u003E\u003Cp\u003E\u003Ca href=\"http:\/\/vimeo.com\/77330591\"\u003EBEAUTY OF MATHEMATICS\u003C\/a\u003E from \u003Ca href=\"http:\/\/vimeo.com\/parachutestv\"\u003EPARACHUTES.TV\u003C\/a\u003E on \u003Ca href=\"https:\/\/vimeo.com\"\u003EVimeo\u003C\/a\u003E.\u003C\/p\u003E\u003C\/center\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Ca href=\"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/\" style=\"color: black; text-decoration: none;\"\u003ETito Eliatron Dixit\u003C\/a\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003EPD: Esta entrada participa en la\u0026nbsp;\u003Ca href=\"http:\/\/scientiablog.com\/2013\/10\/17\/arranca-la-edicion-4-1231056-del-carnaval-de-matematicas\/\"\u003EEdición 4.1231056\u003C\/a\u003E del \u003Ca href=\"http:\/\/carnavaldematematicas.bligoo.es\/\"\u003ECarnaval de Matemáticas\u003C\/a\u003E, cuyo anfitrión es el blog \u003Ca href=\"http:\/\/scientiablog.com\/2013\/10\/17\/arranca-la-edicion-4-1231056-del-carnaval-de-matematicas\/\"\u003EScientia\u003C\/a\u003E.\u0026nbsp; \u003Cdiv class=\"blogger-post-footer\"\u003E\u0026nbsp;\u003Cbr\/\u003E\u0026nbsp;\u003Cbr\/\u003E\nEsta entrada se ha publicado originalmente en \u003Ca href='http:\/\/eliatron.blogspot.com'\u003ETito Eliatron Dixit\u003C\/a\u003E.\u003Cbr\/\u003E\nSi la estás viendo en otra web, probablemente estés siendo víctima de un engaño.\n\u003Cbr\/\u003E\u0026nbsp;\u003Cbr\/\u003E\nSI no ves las fórmulas correctamente, entra en \u003Ca href='http:\/\/eliatron.blogspot.com'\u003ETito Eliatron Dixit\u003C\/a\u003E, donde sí podrás verlas.\n\u003Cbr\/\u003E\u0026nbsp;\u003Cbr\/\u003E\u003C\/div\u003E"},"link":[{"rel":"replies","type":"application/atom+xml","href":"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/feeds\/7309439191503127832\/comments\/default","title":"Enviar comentarios"},{"rel":"replies","type":"text/html","href":"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/2013\/10\/la-belleza-de-las-matematicas.html#comment-form","title":"3 comentarios"},{"rel":"edit","type":"application/atom+xml","href":"http:\/\/www.blogger.com\/feeds\/2816605294325888223\/posts\/default\/7309439191503127832"},{"rel":"self","type":"application/atom+xml","href":"http:\/\/www.blogger.com\/feeds\/2816605294325888223\/posts\/default\/7309439191503127832"},{"rel":"alternate","type":"text/html","href":"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/2013\/10\/la-belleza-de-las-matematicas.html","title":"La belleza de las matemáticas"}],"author":[{"name":{"$t":"Tito Eliatron"},"uri":{"$t":"http:\/\/www.blogger.com\/profile\/00372267355157100826"},"email":{"$t":"noreply@blogger.com"},"gd$image":{"rel":"http://schemas.google.com/g/2005#thumbnail","width":"16","height":"16","src":"https:\/\/img1.blogblog.com\/img\/b16-rounded.gif"}}],"thr$total":{"$t":"3"},"gd$extendedProperty":[{"name":"commentSource","value":"1"},{"name":"commentModerationMode","value":"FILTERED_POSTMOD"}]},{"id":{"$t":"tag:blogger.com,1999:blog-2816605294325888223.post-8488159599627349719"},"published":{"$t":"2013-04-24T09:57:00.000+02:00"},"updated":{"$t":"2013-04-24T10:01:24.742+02:00"},"category":[{"scheme":"http://www.blogger.com/atom/ns#","term":"Carnaval de Matemáticas"},{"scheme":"http://www.blogger.com/atom/ns#","term":"citas"},{"scheme":"http://www.blogger.com/atom/ns#","term":"matemáticas"},{"scheme":"http://www.blogger.com/atom/ns#","term":"número pi"},{"scheme":"http://www.blogger.com/atom/ns#","term":"teoría de números"}],"title":{"type":"text","$t":"En promedio, ¿de cuántas formas se puede expresar un número como suma de dos cuadrados perfectos?"},"content":{"type":"html","$t":"Hace un mes, leí la siguiente cita en el blog \u003Ca href=\"http:\/\/www.futilitycloset.com\/2013\/03\/20\/round-numbers-6\/\"\u003EFutility Closet\u003C\/a\u003E:\u003Cbr \/\u003E\u003Cblockquote\u003EEvery now and again one comes across an astounding result that closely relates two foreign objects which seem to have nothing in common. Who would suspect, for example, that on the average, the number of ways of expressing a positive integer \u003Ci\u003En\u003C\/i\u003E as a sum of two integral squares, \u003Ci\u003Ex\u003Csup\u003E2\u003C\/sup\u003E+y\u003Csup\u003E2\u003C\/sup\u003E=n\u003C\/i\u003E , is π? \u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003EDe vez en cuando uno se encuentra con resultados sorprendentes que relacionan estrechamente dos objetos extraños que no parecen tener nada en común. ¿Quién podría sospechar, por ejemplo, que en promedio, el número de formas de expresar un entero positivo \u003Ci\u003En\u003C\/i\u003E como suma de dos cuadrados enteros, \u003Ci\u003Ex\u003Csup\u003E2\u003C\/sup\u003E+y\u003Csup\u003E2\u003C\/sup\u003E=n\u003C\/i\u003E, es π?   \u003C\/blockquote\u003E\u003Cdiv class=\"autor\"\u003ERoss Honsberger\u003C\/div\u003E\u003Cbr \/\u003EEsta cita me cautivó, sobre todo, por el ejemplo que proponía. Parecía tan sencillo... así que me puse a buscar referencias. Prácticamente en todos los sitios que miraba, lo daban como un hecho elemental que, probablemente, se deba a \u003Ca href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Srinivasa_Aiyangar_Ramanujan\"\u003ERamanujan\u003C\/a\u003E, pero en ningún lugar encontraba una prueba. Así que me fui a preguntar un compañero experto en Teoría de Números para que me diera alguna referencia. Sin embargo me dio algo mucho mejor. Me propuso enseñarme una prueba \u003Ci\u003Ein situ\u003C\/i\u003E en su pizarra... y acepté. Tanto la explicación como la propia prueba me fascinó por su simplicidad y su belleza. Así que he decidido mostrarla a todos mis lectores para que todos os podáis deleitar con ella. Allá vamos.\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Ca name='more'\u003E\u003C\/a\u003EAntes de empezar vamos a centrar un poco las ideas. En el fondo, nos estamos preguntando por las formas que hay de expresar un número natural \u003Cimg alt=\"[;n\\in\\mathbb{N};]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?n\\in\\mathbb{N}\" style=\"display: inline;\" title=\"n\\in\\mathbb{N}\" \/\u003E como la suma de dos cuadrados de números enteros. Por ejemplo, \u003Cimg alt=\"[;1=0^2+1^2;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?1=0^2+1^2\" style=\"display: inline;\" title=\"1=0^2+1^2\" \/\u003E, \u003Cimg alt=\"[;5=1^2+2^2;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?5=1^2+2^2\" style=\"display: inline;\" title=\"5=1^2+2^2\" \/\u003E, \u003Cimg alt=\"[;25=3^2+4^2=0^2+5^2;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?25=3^2+4^2=0^2+5^2\" style=\"display: inline;\" title=\"25=3^2+4^2=0^2+5^2\" \/\u003E pero no hay forma de expresar el 7 como suma de 2 cuadrados. Además, si nos ponemos quisquillosos y tomamos en cuenta \u003Cb\u003Esignos y orden\u003C\/b\u003E, podríamos decir que \u003Cimg alt=\"[;5=1^2+2^2=2^2+1^2=(-1)^2+2^2=2^2+(-1)^2=1^2+(-2)^2=(-2)^2+1^2=(-1)^2+(-2)^2=(-2)^2+(-1)^2;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?5=1^2+2^2=2^2+1^2=(-1)^2+2^2=2^2+(-1)^2=1^2+(-2)^2=(-2)^2+1^2=(-1)^2+(-2)^2=(-2)^2+(-1)^2\" style=\"display: inline;\" title=\"5=1^2+2^2=2^2+1^2=(-1)^2+2^2=2^2+(-1)^2=1^2+(-2)^2=(-2)^2+1^2=(-1)^2+(-2)^2=(-2)^2+(-1)^2\" \/\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003E¿Y por qué vamos a hacer esto? Pues porque en realidad estamos buscando soluciones enteras de la ecuación \u003Cimg alt=\"[;x^2+y^2=n;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?x^2+y^2=n\" style=\"display: inline;\" title=\"x^2+y^2=n\" \/\u003E para \u003Cimg alt=\"[;n\\in\\mathbb{N};]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?n\\in\\mathbb{N}\" style=\"display: inline;\" title=\"n\\in\\mathbb{N}\" \/\u003E y todos los pares anteriores son soluciones \u003Ci\u003Ediferentes\u003C\/i\u003E de la ecuación para \u003Cimg alt=\"[;n=5;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?n=5\" style=\"display: inline;\" title=\"n=5\" \/\u003E.\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003EPues vamos a ponerle nombres a las cosas. Vamos a llamar \u003Cimg alt=\"[;r_2(n);]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?r_2(n)\" style=\"display: inline;\" title=\"r_2(n)\" \/\u003E al número de formas de expresar el número \u003Cimg alt=\"[;n;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?n\" style=\"display: inline;\" title=\"n\" \/\u003E como suma de 2 cuadrados de números enteros; y en esta forma vamos a tener en cuenta lo anterior, es decir, que nos importará el orden y el signo. Visto así,\u0026nbsp; podemos afirmar que \u003Cimg alt=\"[;r_2(0)=1;]\" id=\"mathimg\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?r_2(0)=1\" style=\"display: inline;\" title=\"r_2(0)=1\" \/\u003E, que \u003Cimg alt=\"[;r_2(5)=8;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?r_2(5)=8\" style=\"display: inline;\" title=\"r_2(5)=8\" \/\u003E, que \u003Cimg alt=\"[;r_2(1)=4;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?r_2(1)=4\" style=\"display: inline;\" title=\"r_2(1)=4\" \/\u003E o que \u003Cimg alt=\"[;r_2(7)=0;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?r_2(7)=0\" style=\"display: inline;\" title=\"r_2(7)=0\" \/\u003E (si quieres, puedes ver los primeros valores de \u003Cimg alt=\"[;r_2(n);]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?r_2(n)\" style=\"display: inline;\" title=\"r_2(n)\" \/\u003E en la sucesión Sloane's \u003Ca href=\"http:\/\/oeis.org\/A004018\"\u003EA004018\u003C\/a\u003E).\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003ECon esta notación, lo que la cita afirma es lo siguiente:\u003Cbr \/\u003E\u003Cdiv style=\"text-align: center;\"\u003E\u003Cimg alt=\"[;\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{1}{n}\\sum_{k=0}^{n-1} r_2(k)=\\pi;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{1}{n}\\sum_{k=0}^{n-1} r_2(k)=\\pi\" style=\"display: inline;\" title=\"\\lim_{n\\to\\infty}\\frac{1}{n}\\sum_{k=0}^{n-1} r_2(k)=\\pi\" \/\u003E\u003C\/div\u003E\u003Cdiv style=\"text-align: left;\"\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003C\/div\u003E\u003Cdiv style=\"text-align: left;\"\u003E¿Que no lo ves? pues vamos poquito a poco. Como hay infinitos números naturales, si queremos hacer la media de todos los valores, tendríamos que hacer una suma infinita (serie) y dividir entre el número de sumandos (infinitos)... lo que, en mi modesta opinión, puede acarrear algunos \u003Ci\u003Eproblemillas.\u003C\/i\u003E No, así no podemos hacerlo. Así que mejor tomar los primeros \u003Cimg alt=\"[;n;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?n\" style=\"display: inline;\" title=\"n\" \/\u003E valores de \u003Cimg alt=\"[;r_2(k);]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?r_2(k)\" style=\"display: inline;\" title=\"r_2(k)\" \/\u003E (desde \u003Cimg alt=\"[;k=0;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?k=0\" style=\"display: inline;\" title=\"k=0\" \/\u003E hasta \u003Cimg alt=\"[;k=n+1;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?k=n+1\" style=\"display: inline;\" title=\"k=n+1\" \/\u003E), los sumamos y dividimos entre el número de sumandos: \u003Cimg alt=\"[;(r_2(0)+\\cdots+r_2(n-1))\/n;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?%28r_2%280%29+%5Ccdots+r_2%28n-1%29%29\/n\" style=\"display: inline;\" title=\"(r_2(0)+\\cdots+r_2(n-1))\/n\" \/\u003E. Ahora, basta con hacer que el número de sumandos sea cada vez mayor y mayor, o como decimos los matemáticos, hacemos que \u003Cimg alt=\"[;n\\to\\infty;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?n\\to\\infty\" style=\"display: inline;\" title=\"n\\to\\infty\" \/\u003E.\u003C\/div\u003E\u003Cbr \/\u003EPues vamos a calcular ese límite. Lo primero que podríamos pensar es conseguir una fórmula exacta para calcular \u003Cimg alt=\"[;r_2(k);]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?r_2(k)\" style=\"display: inline;\" title=\"r_2(k)\" \/\u003E. A este respecto, existen varios resultados: por ejemplo, Fermat demostró que si \u003Cimg alt=\"[;n;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?n\" style=\"display: inline;\" title=\"n\" \/\u003E es un número primo, entonces es expresable como suma de cuadrados si y sólo si \u003Cimg alt=\"[;n=2;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?n=2\" style=\"display: inline;\" title=\"n=2\" \/\u003E ó \u003Cimg alt=\"[;n=1\\ (mod\\,4);]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?n=1\\ (mod\\,4)\" style=\"display: inline;\" title=\"n=1\\ (mod\\,4)\" \/\u003E, lo que nos lleva a que si en otro caso, se tendría que \u003Cimg alt=\"[;r_2(n)=0;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?r_2(n)=0\" style=\"display: inline;\" title=\"r_2(n)=0\" \/\u003E (como ocurre para \u003Cimg alt=\"[;n=7;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?n=7\" style=\"display: inline;\" title=\"n=7\" \/\u003E o \u003Cimg alt=\"[;n=11;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?n=11\" style=\"display: inline;\" title=\"n=11\" \/\u003E). Existe una formulación exacta para calcular \u003Cimg alt=\"[;r_2(k);]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?r_2(k)\" style=\"display: inline;\" title=\"r_2(k)\" \/\u003E, pero escribirla es demasiado complicada. Si quieres, puedes encontrarla en [1, Theorem 4.4].\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003EAsí que el método \"a lo bestia\" de calcular todos los valores implicados y sumar, se nos va al traste. Vámonos a dar un paseo por la geometría a ver si nos ayuda.\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003ETomemos el plano real y tracemos el mallado entero, es decir, todas las rectas de la forma \u003Cimg alt=\"[;x=p;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?x=p\" style=\"display: inline;\" title=\"x=p\" \/\u003E e \u003Cimg alt=\"[;y=q;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?y=q\" style=\"display: inline;\" title=\"y=q\" \/\u003E con \u003Cimg alt=\"[;p,q\\in\\mathbb{Z};]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?p,q\\in\\mathbb{Z}\" style=\"display: inline;\" title=\"p,q\\in\\mathbb{Z}\" \/\u003E. Los puntos de corte de dicha malla son, precisamente todos los puntos con ambas coordenadas enteras. Pero mejor mirad el dibujo:\u003Cbr \/\u003E\u003Cdiv class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: center;\"\u003E\u003Ca href=\"http:\/\/3.bp.blogspot.com\/-C_PnDiZGmS0\/UXcBs_yFKMI\/AAAAAAAACFI\/PgoQLFE-xys\/s1600\/malla.gif\" imageanchor=\"1\" style=\"margin-left: 1em; margin-right: 1em;\"\u003E\u003Cimg border=\"0\" height=\"400\" src=\"http:\/\/3.bp.blogspot.com\/-C_PnDiZGmS0\/UXcBs_yFKMI\/AAAAAAAACFI\/PgoQLFE-xys\/s400\/malla.gif\" width=\"400\" \/\u003E\u003C\/a\u003E\u003C\/div\u003E\u003Cbr \/\u003ESobre esta malla, vamos a dibujar la circunferencia centrada en el origen y de radio \u003Cimg alt=\"[;\\sqrt{n};]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?\\sqrt{n}\" style=\"display: inline;\" title=\"\\sqrt{n}\" \/\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cdiv class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: center;\"\u003E\u003Ca href=\"http:\/\/4.bp.blogspot.com\/-nfNPw0sTDdE\/UXcCTAexxAI\/AAAAAAAACFQ\/HlLu5LXQC9E\/s1600\/mallaCirc.gif\" imageanchor=\"1\" style=\"margin-left: 1em; margin-right: 1em;\"\u003E\u003Cimg border=\"0\" height=\"400\" src=\"http:\/\/4.bp.blogspot.com\/-nfNPw0sTDdE\/UXcCTAexxAI\/AAAAAAAACFQ\/HlLu5LXQC9E\/s400\/mallaCirc.gif\" width=\"400\" \/\u003E\u003C\/a\u003E\u003C\/div\u003E\u003Cbr \/\u003E\u0026nbsp;Ahora nos fijamos en los puntos del mallado que caen DENTRO de esta circunferencia:\u003Cbr \/\u003E\u003Cdiv class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: center;\"\u003E\u003Ca href=\"http:\/\/3.bp.blogspot.com\/-r9TZhyx_F08\/UXcC5okEhjI\/AAAAAAAACFY\/c7CycrtJ4_E\/s1600\/mallaPuntos.gif\" imageanchor=\"1\" style=\"margin-left: 1em; margin-right: 1em;\"\u003E\u003Cimg border=\"0\" height=\"400\" src=\"http:\/\/3.bp.blogspot.com\/-r9TZhyx_F08\/UXcC5okEhjI\/AAAAAAAACFY\/c7CycrtJ4_E\/s400\/mallaPuntos.gif\" width=\"400\" \/\u003E\u003C\/a\u003E\u003C\/div\u003ELos puntos marcados son \u003Cb\u003Etodos\u003C\/b\u003E los puntos \u003Cimg alt=\"[;(p,q);]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?(p,q)\" style=\"display: inline;\" title=\"(p,q)\" \/\u003E con ambas coordenadas enteras y tales que \u003Cimg alt=\"[;p^2+q^2\u0026lt;n;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?p^2+q^2\u0026lt;n\" style=\"display: inline;\" title=\"p^2+q^2\u0026lt;n\" \/\u003E; pero como \u003Cimg alt=\"[;p,q\\in\\mathbb{Z};]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?p,q\\in\\mathbb{Z}\" style=\"display: inline;\" title=\"p,q\\in\\mathbb{Z}\" \/\u003E resulta que \u003Cimg alt=\"[;p^2+q^2\\in\\mathbb{N};]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?p^2+q^2\\in\\mathbb{N}\" style=\"display: inline;\" title=\"p^2+q^2\\in\\mathbb{N}\" \/\u003E por lo que el número de puntos dentro del círculo de radio \u003Cimg alt=\"[;\\sqrt{n};]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?\\sqrt{n}\" style=\"display: inline;\" title=\"\\sqrt{n}\" \/\u003E coincide precisamente con \u003Cimg alt=\"[;r_2(0)+\\cdots+r_2(n-1);]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?r_2(0)+\\cdots+r_2(n-1)\" style=\"display: inline;\" title=\"r_2(0)+\\cdots+r_2(n-1)\" \/\u003E, es decir, todas las formas que hay de escribir los números menores (estrictos) que \u003Cimg alt=\"[;n;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?n\" style=\"display: inline;\" title=\"n\" \/\u003E, como suma de dos cuadrados de enteros.\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003EPero claro, si ahora queremos \u003Ci\u003Eestimar\u003C\/i\u003E o \u003Ci\u003Ecalcular\u003C\/i\u003E el número de puntos dentro de un círculo, nos enfrentamos a un problema bastante complicado. Así que vamos a hacer lo siguiente. Cada punto del mallado está en 4 cuadrados (arriba izquierda, arriba derecha, abajo izquierda y abajo derecha), así que a cada punto le haremos corresponder el cuadrado que está arriba y a la derecha de dicho punto.\u003Cbr \/\u003E\u003Cdiv class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: center;\"\u003E\u003Ca href=\"http:\/\/1.bp.blogspot.com\/-GuFdWblSHxI\/UXcFCtkdYyI\/AAAAAAAACFo\/Ti5vo8tEI6M\/s1600\/mallaCuadrados.gif\" imageanchor=\"1\" style=\"margin-left: 1em; margin-right: 1em;\"\u003E\u003Cimg border=\"0\" height=\"400\" src=\"http:\/\/1.bp.blogspot.com\/-GuFdWblSHxI\/UXcFCtkdYyI\/AAAAAAAACFo\/Ti5vo8tEI6M\/s400\/mallaCuadrados.gif\" width=\"400\" \/\u003E\u003C\/a\u003E\u003C\/div\u003E\u003Cbr \/\u003EBien, ahora hay que darse cuenta de que el área de cada uno de dichos cuadrados es, exactamente 1, por lo que para contar los puntos de la malla que hay dentro del círculo, basta con calcular el área de todos los cuadrados. Sería muy interesante que el área de los cuadrados coincidiese con la del círculo... pero lamentablemente no tiene por qué ser así (hay cuadrados que se salen del círculo y partes del círculo que no están cubiertos por cuadrados). Sin embargo, sí que vamos a poder \u003Cb\u003Eacotar\u003C\/b\u003E el área de los cuadrados. Veamos cómo.\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003EPor un lado, ¿cuánto puede salirse un cuadrado del círculo? En el peor de los casos sería \u003Cimg alt=\"[;\\sqrt2;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?\\sqrt2\" style=\"display: inline;\" title=\"\\sqrt2\" \/\u003E, es decir, la diagonal de un cuadradito:\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cdiv class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: center;\"\u003E\u003Ca href=\"http:\/\/4.bp.blogspot.com\/-GHO8NhWay9k\/UXeMBLcJfKI\/AAAAAAAACGU\/oCQiS11a-GE\/s1600\/PeorcasoExt.gif\" imageanchor=\"1\" style=\"margin-left: 1em; margin-right: 1em;\"\u003E\u003Cimg border=\"0\" height=\"400\" src=\"http:\/\/4.bp.blogspot.com\/-GHO8NhWay9k\/UXeMBLcJfKI\/AAAAAAAACGU\/oCQiS11a-GE\/s400\/PeorcasoExt.gif\" width=\"400\" \/\u003E\u003C\/a\u003E\u003C\/div\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003Epor lo que podemos asegurar que todos los cuadrados quedarán dentro de la circunferencia de centro el origen y radio \u003Cimg alt=\"[;\\sqrt{n}+\\sqrt{2};]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?\\sqrt{n}+\\sqrt{2}\" style=\"display: inline;\" title=\"\\sqrt{n}+\\sqrt{2}\" \/\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cdiv class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: center;\"\u003E\u003Ca href=\"http:\/\/2.bp.blogspot.com\/-ALaQc5s_0gM\/UXcGOCU9qSI\/AAAAAAAACF0\/ugyVxEtI8HA\/s1600\/mallaCuadradosExt.gif\" imageanchor=\"1\" style=\"margin-left: 1em; margin-right: 1em;\"\u003E\u003Cimg border=\"0\" height=\"400\" src=\"http:\/\/2.bp.blogspot.com\/-ALaQc5s_0gM\/UXcGOCU9qSI\/AAAAAAAACF0\/ugyVxEtI8HA\/s400\/mallaCuadradosExt.gif\" width=\"400\" \/\u003E\u003C\/a\u003E\u003C\/div\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003EAhora bien, un punto que esté fuera de la circunferencia original (la de radio \u003Cimg alt=\"[;\\sqrt{n};]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?\\sqrt{n}\" style=\"display: inline;\" title=\"\\sqrt{n}\" \/\u003E) pero casi casi pegado a ella, dejará casi todo su cuadrado superior derecho dentro de la circunferencia y no será parte de los cuadrados sombreados. En el peor de los casos, la distancia que dicho cuadrado se puede meter dentro de nuestra circunferencia original vuelve a ser \u003Cimg alt=\"[;\\sqrt2;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?\\sqrt2\" style=\"display: inline;\" title=\"\\sqrt2\" \/\u003E,\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cdiv class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: center;\"\u003E\u003Ca href=\"http:\/\/3.bp.blogspot.com\/-JI6B7eYGGpg\/UXeMH8mVUII\/AAAAAAAACGc\/osvpcMfAfRw\/s1600\/PeorcasoInt.gif\" imageanchor=\"1\" style=\"margin-left: 1em; margin-right: 1em;\"\u003E\u003Cimg border=\"0\" height=\"400\" src=\"http:\/\/3.bp.blogspot.com\/-JI6B7eYGGpg\/UXeMH8mVUII\/AAAAAAAACGc\/osvpcMfAfRw\/s400\/PeorcasoInt.gif\" width=\"400\" \/\u003E\u003C\/a\u003E\u003C\/div\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003Epor lo que podemos asegurar que la circunferencia de centro el origen y radio \u003Cimg alt=\"[;\\sqrt{n}-\\sqrt2;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?\\sqrt{n}-\\sqrt2\" style=\"display: inline;\" title=\"\\sqrt{n}-\\sqrt2\" \/\u003E caerá siempre dentro del área encerrada por los cuadrados sombreados.\u003Cbr \/\u003E\u003Cdiv class=\"separator\" style=\"clear: both; text-align: center;\"\u003E\u003Ca href=\"http:\/\/1.bp.blogspot.com\/-uByje5EYed4\/UXcG-KsPyQI\/AAAAAAAACGA\/J9rcXAg3X7g\/s1600\/mallaFinal.gif\" imageanchor=\"1\" style=\"margin-left: 1em; margin-right: 1em;\"\u003E\u003Cimg border=\"0\" height=\"400\" src=\"http:\/\/1.bp.blogspot.com\/-uByje5EYed4\/UXcG-KsPyQI\/AAAAAAAACGA\/J9rcXAg3X7g\/s400\/mallaFinal.gif\" width=\"400\" \/\u003E\u003C\/a\u003E\u003C\/div\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003E\u0026nbsp;Así que podemos garantizar que la zona sombreada contiene al círculo azul y está contenido en el círculo rojo. Pero resulta que el área de la zona sombreada era \u003Cimg alt=\"[;r_2(0)+\\cdots+r_2(n-1);]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?r_2(0)+\\cdots+r_2(n-1)\" style=\"display: inline;\" title=\"r_2(0)+\\cdots+r_2(n-1)\" \/\u003E y que las áreas de esos círculos las sabemos calcular, por lo tanto tenemos las siguientes desigualdades:\u003Cbr \/\u003E\u003Cdiv style=\"text-align: center;\"\u003E\u003Cimg alt=\"[;\\pi (\\sqrt{n}-\\sqrt2)^2\\le r_2(0)+\\cdots+r_2(n-1)\\le\\pi(\\sqrt{n}+\\sqrt2)^2;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?\\pi (\\sqrt{n}-\\sqrt2)^2\\le r_2(0)+\\cdots+r_2(n-1)\\le\\pi(\\sqrt{n}+\\sqrt2)^2\" style=\"display: inline;\" title=\"\\pi (\\sqrt{n}-\\sqrt2)^2\\le r_2(0)+\\cdots+r_2(n-1)\\le\\pi(\\sqrt{n}+\\sqrt2)^2\" \/\u003E\u0026nbsp;\u003C\/div\u003E\u003Cbr \/\u003Ede donde se deduce que\u003Cbr \/\u003E\u003Cdiv style=\"text-align: center;\"\u003E\u003Cimg alt=\"[;\\pi(n+2-2\\sqrt{2n})\\le r_2(0)+\\cdots+r_2(n-1)\\le\\pi(n+2+2\\sqrt{2n});]\" id=\"mathimg\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?\\pi(n+2-2\\sqrt{2n})\\le r_2(0)+\\cdots+r_2(n-1)\\le\\pi(n+2+2\\sqrt{2n})\" style=\"display: inline;\" title=\"\\pi(n+2-2\\sqrt{2n})\\le r_2(0)+\\cdots+r_2(n-1)\\le\\pi(n+2+2\\sqrt{2n})\" \/\u003E \u003C\/div\u003E\u003Cbr \/\u003Epor lo que, dividiendo entre \u003Cimg alt=\"[;n;]\" id=\"mathimg\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?n\" style=\"display: inline;\" title=\"n\" \/\u003E en todos los miembros se concluye que\u003Cbr \/\u003E\u003Cdiv style=\"text-align: center;\"\u003E\u003Cimg alt=\"[;\\pi+\\frac{2\\pi}{n}-\\frac{2\\sqrt2\\pi}{\\sqrt{n}}\\le\\frac{r_2(0)+\\cdots+r_2(n-1)}{n}\\le \\pi+\\frac{2\\pi}{n}+\\frac{2\\sqrt2\\pi}{\\sqrt{n}};]\" id=\"mathimg\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?\\pi+\\frac{2\\pi}{n}-\\frac{2\\sqrt2\\pi}{\\sqrt{n}}\\le\\frac{r_2(0)+\\cdots+r_2(n-1)}{n}\\le \\pi+\\frac{2\\pi}{n}+\\frac{2\\sqrt2\\pi}{\\sqrt{n}}\" style=\"display: inline;\" title=\"\\pi+\\frac{2\\pi}{n}-\\frac{2\\sqrt2\\pi}{\\sqrt{n}}\\le\\frac{r_2(0)+\\cdots+r_2(n-1)}{n}\\le \\pi+\\frac{2\\pi}{n}+\\frac{2\\sqrt2\\pi}{\\sqrt{n}}\" \/\u003E\u003C\/div\u003E\u003Cbr \/\u003EAhora basta aplicar la famosa \u003Ci\u003ERegla del Sandwich\u003C\/i\u003E para concluir que\u003Cbr \/\u003E\u003Cdiv style=\"text-align: center;\"\u003E\u003Cimg alt=\"[;\\lim\\frac{1}{n}\\sum_{k=0}^{n-1}r_2(k)=\\pi;]\" id=\"mathimg\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?\\lim\\frac{1}{n}\\sum_{k=0}^{n-1}r_2(k)=\\pi\" style=\"display: inline;\" title=\"\\lim\\frac{1}{n}\\sum_{k=0}^{n-1}r_2(k)=\\pi\" \/\u003E\u003C\/div\u003E\u003Cbr \/\u003Ey que, precisamente, nos dice que, en promedio, el número de formas de escribir un número natural como suma de cuadrados (teniendo en cuenta orden de sumandos y signos) es, justamente, \u003Cimg alt=\"[;\\pi;]\" id=\"mathimg\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?\\pi\" style=\"display: inline;\" title=\"\\pi\" \/\u003E.\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003EPara vosotros os dejo que penséis qué ocurre si queremos olvidarnos de signos (en cuyo caso bastaría con quedarnos con la construcción anterior pero únicamente en el primer cuadrante) o qué pasaría si, además, queremos olvidarnos del orden (en cuyo caso... la cosa se pone muy interesante). A este respecto, deciros que, por cada par de naturales \u003Cimg alt=\"[;p,q\\in\\mathbb{N};]\" id=\"mathimg\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?p,q\\in\\mathbb{N}\" style=\"display: inline;\" title=\"p,q\\in\\mathbb{N}\" \/\u003E con \u003Cimg alt=\"[;p\\le q;]\" id=\"mathimg\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?p\\le q\" style=\"display: inline;\" title=\"p\\le q\" \/\u003E tale que \u003Cimg alt=\"[;p^2+q^2=n;]\" id=\"mathimg\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?p^2+q^2=n\" style=\"display: inline;\" title=\"p^2+q^2=n\" \/\u003E hay 4 variaciones para incluir signos (siempre que ninguno de ellos sea, precisamente 0) y otras 4 de orden (siempre y cuando no sean los 2 iguales... pero ahora que lo pienso... ¿ESO ES IMPOSIBLE!). Así que por cada pareja de números, hay o bien 4 o bien 8 variaciones triviales... y por ahí podéis empezar a pensar.\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Ca href=\"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/\" style=\"color: black; text-decoration: none;\"\u003ETito Eliatron Dixit\u003C\/a\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003EReferencias:\u003Cbr \/\u003E[1] Bhaskar, J. \"Sum of two squares\", disponible en http:\/\/www.math.uchicago.edu\/~may\/VIGRE\/VIGRE2008\/REUPapers\/Bhaskar.pdf\u003Cbr \/\u003E\u003Cdiv class=\"small\"\u003E[2] \u003Ca href=\"http:\/\/mathworld.wolfram.com\/about\/author.html\"\u003EWeisstein, E.W.\u003C\/a\u003E \"Sum of Squares Function.\" From \u003Ca href=\"http:\/\/mathworld.wolfram.com\/\"\u003E\u003Ci\u003EMathWorld\u003C\/i\u003E\u003C\/a\u003E--A Wolfram Web Resource. \u003Ca href=\"http:\/\/mathworld.wolfram.com\/SumofSquaresFunction.html\"\u003Ehttp:\/\/mathworld.wolfram.com\/SumofSquaresFunction.html\u003C\/a\u003E\u003C\/div\u003E\u003Cdiv class=\"small\"\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003C\/div\u003E\u003Cdiv class=\"small\"\u003EPD: Esta entrada participa en la \u003Ca href=\"http:\/\/eulerianos.com\/edicion-4-123-del-carnaval-de-matematicas\/\"\u003EEdición 4.123\u003C\/a\u003E\u0026nbsp; del \u003Ca href=\"http:\/\/carnavaldematematicas.bligoo.es\/\"\u003ECarnaval de Matemáticas\u003C\/a\u003E, cuyo anfitrión es el blog \u003Ca href=\"http:\/\/eulerianos.com\/\"\u003EEulerianos\u003C\/a\u003E. \u003C\/div\u003E\u003Cdiv class=\"blogger-post-footer\"\u003E\u0026nbsp;\u003Cbr\/\u003E\u0026nbsp;\u003Cbr\/\u003E\nEsta entrada se ha publicado originalmente en \u003Ca href='http:\/\/eliatron.blogspot.com'\u003ETito Eliatron Dixit\u003C\/a\u003E.\u003Cbr\/\u003E\nSi la estás viendo en otra web, probablemente estés siendo víctima de un engaño.\n\u003Cbr\/\u003E\u0026nbsp;\u003Cbr\/\u003E\nSI no ves las fórmulas correctamente, entra en \u003Ca href='http:\/\/eliatron.blogspot.com'\u003ETito Eliatron Dixit\u003C\/a\u003E, donde sí podrás verlas.\n\u003Cbr\/\u003E\u0026nbsp;\u003Cbr\/\u003E\u003C\/div\u003E"},"link":[{"rel":"replies","type":"application/atom+xml","href":"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/feeds\/8488159599627349719\/comments\/default","title":"Enviar comentarios"},{"rel":"replies","type":"text/html","href":"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/2013\/04\/numeros-redondos.html#comment-form","title":"7 comentarios"},{"rel":"edit","type":"application/atom+xml","href":"http:\/\/www.blogger.com\/feeds\/2816605294325888223\/posts\/default\/8488159599627349719"},{"rel":"self","type":"application/atom+xml","href":"http:\/\/www.blogger.com\/feeds\/2816605294325888223\/posts\/default\/8488159599627349719"},{"rel":"alternate","type":"text/html","href":"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/2013\/04\/numeros-redondos.html","title":"En promedio, ¿de cuántas formas se puede expresar un número como suma de dos cuadrados perfectos?"}],"author":[{"name":{"$t":"Tito Eliatron"},"uri":{"$t":"http:\/\/www.blogger.com\/profile\/00372267355157100826"},"email":{"$t":"noreply@blogger.com"},"gd$image":{"rel":"http://schemas.google.com/g/2005#thumbnail","width":"16","height":"16","src":"https:\/\/img1.blogblog.com\/img\/b16-rounded.gif"}}],"media$thumbnail":{"xmlns$media":"http://search.yahoo.com/mrss/","url":"http:\/\/3.bp.blogspot.com\/-C_PnDiZGmS0\/UXcBs_yFKMI\/AAAAAAAACFI\/PgoQLFE-xys\/s72-c\/malla.gif","height":"72","width":"72"},"thr$total":{"$t":"7"},"gd$extendedProperty":[{"name":"commentSource","value":"1"},{"name":"commentModerationMode","value":"FILTERED_POSTMOD"}]},{"id":{"$t":"tag:blogger.com,1999:blog-2816605294325888223.post-3213603146199595986"},"published":{"$t":"2013-02-22T09:30:00.000+01:00"},"updated":{"$t":"2013-02-22T21:32:28.139+01:00"},"category":[{"scheme":"http://www.blogger.com/atom/ns#","term":"citas"},{"scheme":"http://www.blogger.com/atom/ns#","term":"matemáticas"},{"scheme":"http://www.blogger.com/atom/ns#","term":"matemáticos"}],"title":{"type":"text","$t":"No son congresos de matemáticas"},"content":{"type":"html","$t":"\u003Cblockquote class=\"tr_bq\"\u003ENo son congresos de matemáticas, ese cuerpo de conocimiento altamente especializado, sino congresos de matemáticos, esos individuos altamente caóticos que crean y conservan las matemáticas.\u003C\/blockquote\u003E\u003Cdiv class=\"autor\"\u003E\u003Ca href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Oswald_Veblen\"\u003EOswald Veblen\u003C\/a\u003E, ICM 1954.\u003C\/div\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Ca name='more'\u003E\u003C\/a\u003E\u003Cbr \/\u003ECon esta cita comenzó Guillermo Curbera su \u003Ca href=\"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/2013\/02\/matematicos-del-mundo-unios-conferencia.html\"\u003Econferencia sobre historias de los ICM\u003C\/a\u003E. La frase fue pronunciada por el matemático estadounidense Oswald Veblen, quien fue Presidente de la \u003Ca href=\"http:\/\/www.ams.org\/\"\u003EAmerican Mathematical Society\u003C\/a\u003E en la década de los 20 del siglo pasado. Por cierto, Oswald Veblen es el responsable del \u003Ca href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Teorema_de_la_curva_de_Jordan\"\u003ETeorema de la Curva de Jordan\u003C\/a\u003E.\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003ECon esta cita, Guillermo quiso poner de manifiesto que los \u003Ca href=\"http:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Congreso_Internacional_de_Matem%C3%A1ticos\"\u003EICM\u003C\/a\u003E, tal y como su propio nombre indica, no son congresos de matemáticas, sino de matemáticos. Más concretamente, se trata del lugar de encuentro de las mejores mentes matemáticas de todo el mundo. Un evento sin igual en cualquier otra ciencia, pues en estos congresos se habla de Matemáticas en general.\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003EPero personalmente me llama la atención la definición que todo un ilustre matemático da de sus compañeros de profesión: \u003Ci\u003Eindividuos altamente caóticos\u003C\/i\u003E. ¿De verdad somos así? (la verdad es que me da un poco de vergüenza incluirme en un grupo en el que están incluídos Hilbert, Poincaré, Kolmogorov, Wiles o Terence Tao), ¿tan difícil es conocer de verdad qué hace o qué piensa un matemático? Yo lo veo desde dentro, pero quizás vosotros podáis darme un visión externa.\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003EEn cualquier caso, os animo a seguir disfrutando con el fruto de nuestro caos.\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Ca href=\"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/\" style=\"color: black; text-decoration: none;\"\u003ETito Eliatron Dixit\u003C\/a\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003EPD: Esta entrada participa en la \u003Ca href=\"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/2013\/02\/carnaval-de-matematicas-41.html\"\u003EEdición 4.1\u003C\/a\u003E del \u003Ca href=\"http:\/\/carnavaldematematicas.bligoo.es\/\"\u003ECarnaval de Matemáticas\u003C\/a\u003E que alberga \u003Ca href=\"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/\"\u003ETito Eliatron Dixit\u003C\/a\u003E.\u0026nbsp;  \u003Cdiv class=\"blogger-post-footer\"\u003E\u0026nbsp;\u003Cbr\/\u003E\u0026nbsp;\u003Cbr\/\u003E\nEsta entrada se ha publicado originalmente en \u003Ca href='http:\/\/eliatron.blogspot.com'\u003ETito Eliatron Dixit\u003C\/a\u003E.\u003Cbr\/\u003E\nSi la estás viendo en otra web, probablemente estés siendo víctima de un engaño.\n\u003Cbr\/\u003E\u0026nbsp;\u003Cbr\/\u003E\nSI no ves las fórmulas correctamente, entra en \u003Ca href='http:\/\/eliatron.blogspot.com'\u003ETito Eliatron Dixit\u003C\/a\u003E, donde sí podrás verlas.\n\u003Cbr\/\u003E\u0026nbsp;\u003Cbr\/\u003E\u003C\/div\u003E"},"link":[{"rel":"replies","type":"application/atom+xml","href":"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/feeds\/3213603146199595986\/comments\/default","title":"Enviar comentarios"},{"rel":"replies","type":"text/html","href":"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/2013\/02\/no-son-congresos-de-matematicas.html#comment-form","title":"3 comentarios"},{"rel":"edit","type":"application/atom+xml","href":"http:\/\/www.blogger.com\/feeds\/2816605294325888223\/posts\/default\/3213603146199595986"},{"rel":"self","type":"application/atom+xml","href":"http:\/\/www.blogger.com\/feeds\/2816605294325888223\/posts\/default\/3213603146199595986"},{"rel":"alternate","type":"text/html","href":"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/2013\/02\/no-son-congresos-de-matematicas.html","title":"No son congresos de matemáticas"}],"author":[{"name":{"$t":"Tito Eliatron"},"uri":{"$t":"http:\/\/www.blogger.com\/profile\/00372267355157100826"},"email":{"$t":"noreply@blogger.com"},"gd$image":{"rel":"http://schemas.google.com/g/2005#thumbnail","width":"16","height":"16","src":"https:\/\/img1.blogblog.com\/img\/b16-rounded.gif"}}],"thr$total":{"$t":"3"},"gd$extendedProperty":[{"name":"commentSource","value":"1"},{"name":"commentModerationMode","value":"FILTERED_POSTMOD"}]},{"id":{"$t":"tag:blogger.com,1999:blog-2816605294325888223.post-2064552387267164397"},"published":{"$t":"2013-01-21T10:12:00.000+01:00"},"updated":{"$t":"2013-01-21T10:12:42.902+01:00"},"category":[{"scheme":"http://www.blogger.com/atom/ns#","term":"Carnaval de Matemáticas"},{"scheme":"http://www.blogger.com/atom/ns#","term":"citas"},{"scheme":"http://www.blogger.com/atom/ns#","term":"demostraciones"},{"scheme":"http://www.blogger.com/atom/ns#","term":"raíz de 2"}],"title":{"type":"text","$t":"Lagrange y la raíz de 2"},"content":{"type":"html","$t":"\u003Cblockquot\u003EEs imposible encontrar un número entero que multiplicado por sí mismo dé 2. Tampoco se puede encontrar una fracción así, pues si simplificas la fracción hasta ser irreducible, el cuadrado de esta fracción será de nuevo irreducible y por lo tanto no puede ser igual al número entero 2.\u003C\/blockquot\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cdiv class=\"autor\"\u003E\u003Ca href=\"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/2009\/03\/breves-resenas-de-matematicos-joseph.html\"\u003EJoseph Louis Lagrange\u003C\/a\u003E en \u003Ca href=\"http:\/\/historical.library.cornell.edu\/cgi-bin\/cul.math\/docviewer?did=00120001\u0026amp;seq=7\"\u003ELectures on Elementary Mathematics\u003C\/a\u003E, \u003Ca href=\"http:\/\/ebooks.library.cornell.edu\/cgi\/t\/text\/pageviewer-idx?c=math;cc=math;q1=square;rgn=full%20text;idno=00120001;didno=00120001;node=00120001%3A5;view=image;seq=31;page=root;size=100\"\u003EOn Arithmetic, pág 11\u003C\/a\u003E.\u003Cbr \/\u003EVisto en \u003Ca href=\"http:\/\/www.cut-the-knot.org\/\"\u003ECute the Knot\u003C\/a\u003E.\u003C\/div\u003E\u003Cbr \/\u003EPor si alguien aún no se ha enterado, se trata de una muy curiosa demostración de la irracionalidad de \u003Cimg alt=\"[;\\sqrt2;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?\\sqrt2\" style=\"display: inline;\" title=\"\\sqrt2\" \/\u003E (y, por extensión, de la de la raíz de cualquier número natural que no sea un cuadrado perfecto).\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Ca name='more'\u003E\u003C\/a\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003ESupongamos que \u003Cimg alt=\"[;n;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?n\" style=\"display: inline;\" title=\"n\" \/\u003E no es un cuadrado perfecto y que \u003Cimg alt=\"[;\\sqrt n;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?\\sqrt n\" style=\"display: inline;\" title=\"\\sqrt n\" \/\u003E es racional, es decir, \u003Cimg alt=\"[;\\sqrt n={p}\/{q};]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?\\sqrt n={p}\/{q}\" style=\"display: inline;\" title=\"\\sqrt n={p}\/{q}\" \/\u003E con \u003Cimg alt=\"[;p,q\\in\\mathbb{N};]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?p,q\\in\\mathbb{N}\" style=\"display: inline;\" title=\"p,q\\in\\mathbb{N}\" \/\u003E y primos entre sí (para que la fracción sea irreducible). Lo que afirma Lagrange es que si \u003Cimg alt=\"[;p\/q;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?p\/q\" style=\"display: inline;\" title=\"p\/q\" \/\u003E es irreducible (con \u003Cimg alt=\"[;q\\ne1;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?q\\ne1\" style=\"display: inline;\" title=\"q\\ne1\" \/\u003E), entonces \u003Cimg alt=\"[;p^2\/q^2;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?p^2\/q^2\" style=\"display: inline;\" title=\"p^2\/q^2\" \/\u003E también lo es. En efecto, si tenemos en cuenta la descomposición en factores primos de \u003Cimg alt=\"[;p;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?p\" style=\"display: inline;\" title=\"p\" \/\u003E y \u003Cimg alt=\"[;q;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?q\" style=\"display: inline;\" title=\"q\" \/\u003E, como \u003Cimg alt=\"[;p\/q;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?p\/q\" style=\"display: inline;\" title=\"p\/q\" \/\u003E es irreducible, entonces \u003Cb\u003Eno hay factores comunes en \u003Cimg alt=\"[;p;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?p\" style=\"display: inline;\" title=\"p\" \/\u003E y \u003Cimg alt=\"[;q;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?q\" style=\"display: inline;\" title=\"q\" \/\u003E; \u003C\/b\u003Eal elevar al cuadrado, lo que hacemos es \u003Cb\u003Eduplicar\u003C\/b\u003E los exponentes de los factores ya existentes, pero \u003Cb\u003Ejamás introduciremos factores nuevos\u003C\/b\u003E, por lo tanto, \u003Cimg alt=\"[;p^2;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?p^2\" style=\"display: inline;\" title=\"p^2\" \/\u003E y \u003Cimg alt=\"[;q^2;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?q^2\" style=\"display: inline;\" title=\"q^2\" \/\u003E tampoco compartirán factores y resultarán primos entre sí.\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003EY claro, si \u003Cimg alt=\"[;p^2\/q^2;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?p^2\/q^2\" style=\"display: inline;\" title=\"p^2\/q^2\" \/\u003E es irreducible, por mucho que queramos nunca podrá ser un número entero (recordad que \u003Cimg alt=\"[;q\\ne1;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?q\\ne1\" style=\"display: inline;\" title=\"q\\ne1\" \/\u003E, luego, en particular, \u003Cimg alt=\"[;p`^2\/q^2\\ne n;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?p`^2\/q^2\\ne n\" style=\"display: inline;\" title=\"p`^2\/q^2\\ne n\" \/\u003E lo que lleva a contradicción.\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003EDurante esta semana, si puedo, propondré alguna que otra demostración más de la irracionalidad de \u003Cimg alt=\"[;\\sqrt2;]\" src=\"http:\/\/www.codecogs.com\/gif.latex?\\sqrt2\" style=\"display: inline;\" title=\"\\sqrt2\" \/\u003E.\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Ca href=\"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/\" style=\"color: black; text-decoration: none;\"\u003ETito Eliatron Dixit\u003C\/a\u003E\u003Cbr \/\u003E\u003Cbr \/\u003EPD: Esta entrada participa en la \u003Ca href=\"http:\/\/laaventuradelaciencia.blogspot.com.es\/2013\/01\/presentacion-de-la-edicion-31415926535.html\"\u003EEdición 3.1415926535\u003C\/a\u003E del \u003Ca href=\"http:\/\/carnavaldematematicas.bligoo.es\/\"\u003ECarnaval de Matemáticas\u003C\/a\u003E cuyo anfitrión es \u003Ca href=\"http:\/\/laaventuradelaciencia.blogspot.com\/\"\u003ELa Aventura de la Ciencia\u003C\/a\u003E.\u003Cdiv class=\"blogger-post-footer\"\u003E\u0026nbsp;\u003Cbr\/\u003E\u0026nbsp;\u003Cbr\/\u003E\nEsta entrada se ha publicado originalmente en \u003Ca href='http:\/\/eliatron.blogspot.com'\u003ETito Eliatron Dixit\u003C\/a\u003E.\u003Cbr\/\u003E\nSi la estás viendo en otra web, probablemente estés siendo víctima de un engaño.\n\u003Cbr\/\u003E\u0026nbsp;\u003Cbr\/\u003E\nSI no ves las fórmulas correctamente, entra en \u003Ca href='http:\/\/eliatron.blogspot.com'\u003ETito Eliatron Dixit\u003C\/a\u003E, donde sí podrás verlas.\n\u003Cbr\/\u003E\u0026nbsp;\u003Cbr\/\u003E\u003C\/div\u003E"},"link":[{"rel":"replies","type":"application/atom+xml","href":"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/feeds\/2064552387267164397\/comments\/default","title":"Enviar comentarios"},{"rel":"replies","type":"text/html","href":"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/2013\/01\/lagrange-y-la-raiz-de-2.html#comment-form","title":"5 comentarios"},{"rel":"edit","type":"application/atom+xml","href":"http:\/\/www.blogger.com\/feeds\/2816605294325888223\/posts\/default\/2064552387267164397"},{"rel":"self","type":"application/atom+xml","href":"http:\/\/www.blogger.com\/feeds\/2816605294325888223\/posts\/default\/2064552387267164397"},{"rel":"alternate","type":"text/html","href":"http:\/\/eliatron.blogspot.com\/2013\/01\/lagrange-y-la-raiz-de-2.html","title":"Lagrange y la raíz de 2"}],"author":[{"name":{"$t":"Tito Eliatron"},"uri":{"$t":"http:\/\/www.blogger.com\/profile\/00372267355157100826"},"email":{"$t":"noreply@blogger.com"},"gd$image":{"rel":"http://schemas.google.com/g/2005#thumbnail","width":"16","height":"16","src":"https:\/\/img1.blogblog.com\/img\/b16-rounded.gif"}}],"thr$total":{"$t":"5"},"gd$extendedProperty":[{"name":"commentSource","value":"1"},{"name":"commentModerationMode","value":"FILTERED_POSTMOD"}]}]}});