Un anfibio

El número imaginario es un fino y maravilloso recurso del espíritu humano, casi un anfibio entre el ser y no ser.

Gottfried Leibniz.

Curiosa opinión la del buen matemático alemán. Casi que parece haber leído la paradoja imaginaria que yo mismo acabo de encontrar en el blog Acertijos y Pasatiempos.

¿Qué opináis vosotros?

Tito Eliatron Dixit.

Una lista futbolera

Hoy viernes os traigo un pequeño y sencillo (creo) acertijo futbolero. A continuación os dejo una lista de una serie de equipos de fútbol españoles de primera y segunda división ordenados de una cierta manera. El acertijo consiste en averiguar cómo están ordenados.

Hércules, Español, Xerez, Racing de Santander, Villarreal, Real Sociedad, Getafe, Osasuna, Celta, Tenerife, Betis, Numancia, Levante, Athletic de Bilbao

Tito Eliatron Dixit.

El código maravilloso

Un día aparecen en la Tierra unos extraterrestres que lo único que quieren es el mero conocimiento humano. Se ponen en contacto con los grandes científicos de la humanidad y les piden datos científicos, históricos, filosóficos... en fin, todo lo que podamos aportarles.

Los científicos, reunidos, se plantean darle un ejemplar de cada uno de los libros escritos que hay. Incluso llegaron a plantearse darle una copia impresa de la Wikipedia. Pero claro, eso de que el saber no ocupa lugar no es del todo exacto. Por lo que rápidamente desecharon la idea.

Pasando por alto los temas de compatibilidad, llegaron a la conclusión de que en vez de copias escritas, quizás estén interesados en versiones electrónicas de todo el saber. De pronto se percataron de que aún no se han inventado sufijos para hablar de tal volumen de información, así que no digamos soportes. Otra idea desechada.

Nuestros científicos acudieron cabizbajos ante los extraterrestres y les dijeron que tendrían que conformarse con una ínfima parte de los datos. Los visitantes se miraron sorpendidos y dijeron que les dieran simplemente las copias escritas de todo el saber humano y que ellos se encargarían de codificarlas, según un código maravilloso, en una simple vara de metal y haciéndo sólo una muesca en ella.

Los científicos se pusieron a murmurar y les pidieron que les explicaran tan asombroso proceso. Los extraterrestres dijeron lo siguiente. Supongamos que cada uno de los símbolos que utilizáis para escribir, los codificamos con un número de 3 cifras. Así por ejemplo, la A se codificaría por 001, la B por 002, la Z por 027, y aún podríamos codificar los signos de puntuación e incluso el espaciado entre dos palabras. De esta forma, la palabra GATO se codificaría por 007001021016. Igualmente, podríamos codificar varias palabras (con o sin espacios), frases completas (con sus signos de puntuación), párrafos, libros enteros... y todo el saber humano.

Mediante este código maravilloso, los extraterrestres pudieron codificar todo el saber escrito humano en un gigantesco número que, anteponiéndole un 0 y una COMA (0,xxxxx....) lo convirtieron en un magnífico y gigantesco número decimal. Ahora tomaron la vara de metal e hicieron una muesca que la dividía en dos partes de forma que el cociente entre la longitud menor y la longitud mayor era, exactamente, el núemro decimal que habían obtenido. De esta forma, de regreso a su planeta de origen, medirían ambas partes de la vara, harían el cociente y el número resultante lo decodificarían según las reglas que ya sabemos.

Bueno, dejemos ya la Ciencia Ficción a un lado. Todo este proceso, en TEORÍA, es perfectaemnte válido con los conocimientos actuales, pero resulta imposible de llevar a la práctica. En primer lugar, podemos pensar que una simple frase de 10 palabras, supondrían no menos de 50 caracteres, que se traducirían en unos 150 decimales. ¿Podéis imaginaros semejante número? Ahora tratad de realizar una marca en una vara de forma que el cociente de las longitudes sea, exactamente dicho número de 150 decimales. Ya tenemos que ser PRECISOS a la hora de hacer la marca. Pero el problema definitivo viene al tratar de decodificar la marca. En cada una de las mediciones, puede (de hecho habrá) errores de medición, lo que, a la hora de hacer el cociente, puede provocar tremendos errores de redondeo, lo que trastocaría el mensaje final.

Es que incluso la marca que se haga en la vara de metal tendrá longitud, por lo que ahí tendremos aún más errores.

En fin, que una cosa son las capacidades teóricas y otra la realidad práctica.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Esta entrada está extraída del libro Ajá! Paradojas del recientemente fallecido Martin Gardner y se enmarca dentro del grupo de Paradojas numéricas, y fue una de las que más llamó mi atención cuando leí por primera vez este libro.

El secreto de las paradojas

Al igual que los buenos trucos, [las paradojas] nos causan tanto asombro que inmediatamente queremos saber cómo se han hecho. Los ilusionistas no revelan jamás cómo hacen lo que hacen, pero los matemáticos no tienen necesidad de guardar el secreto.

Martin Gardner (21/10/1914-22/05/2010)

Esta cita está extraída del prólogo del gran libro Ajá! Paradojas del recientemente fallecido Martin Gardner. No sé vosotros, pero yo estoy plenamente convencido, que el secreto de las paradojas es el propio Martin Gardner, ya que con sus libros y acertijos, ha sabido llevar esta complicada parte de las matemáticas y la lógica, a un plano divulgativo en el que muchos han podido encontrarse. Yo, entre ellos.

Queden estas líneas y este post, como mi humilde homenaje a un GRANDE de las matemáticas.

D.E.P.

Tito Eliatron Dixit.

Cauchy-nillos

Ya estamos mayo. Y en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla significa que la Fiesta de la Fraternidad va a celebrarse.

El día de la Fraternidad, organizado por el Aula de Cultura (y con grupo propio en Facebook), es una tradición en esta Facultad, ya que durante este día, bebidas y comidas (y más bebidas) aparte, se suelen celebrar una serie de actos humorísticos-culturales y se entregan numerosos trofeos de los campeonatos organizados con anterioridad, y muy en especial, los premios Cauchy-nillos.

Estos premios son los que los alumnos de toda la facultad entregan a sus propios compañeros y profesores. Ya viendo el nombre de dichos premios, la componente tangencialhumorística es importante. Y como este año da la casualidad que hoy 21 de mayo es el día de la Fraternidad, aquí os dejo la relación de premios Cauchy-nillos y sus (i)lógicas explicaciones.

• Premio Newton, al matemático con mejor físico.


• Premio Series de Fourier, al mejor desarrollo de los senos.


• Premio (x,y), a la mejor pareja de la Facultad.


• Premio Thales, al que más tiempo lleva en la facultad.


• Premio Fermat, al más fantasma.


• Premio Koniowsky, al más coñazo (llamado así, porque cierto profesor solía recomendar el Koñoski (sic) en sus clases de topología)


• Premio Esfera de radio Infinito, al alumno más pelota.


• Premio Eureka, al que después de muchos años, por fin aprobó.


• Premio Cauchy-No, al profesor más guarrete en la pizarra.


• Premio Cuerpos Perfectos, a la tía más buena de la facultad.


• Premio Hawking, al profesor que peor explica (curiosamente -o no- suelen coincidir los nominados con los del premio Cauchy-No).


• Premio Maple, al mejor paquete integral.


• Premio Stokes, Stop, al que menos trabaja en esta Facultad (premio que suele estar muy disputado).


• Premio Botella de Klein, al más borracho (este también está disputadísimo, incluso entre algunos profesores).


• Premio Infinito, al más grande.


• Premio Epsilon, al más pequeño.


• Premio Coulombio, (lógicamente) al mejor culo.


• Premio Omnipoliedro, al que tiene más cara (a algunos se les queda incluso corto).

Bueno, espero haberos sacado algunas sonrisas con una tradición de mi propia Facultad. Por cierto, que algo parecido se podría tratar de hacer, pero entre los bloggers españoles, o al menos, entre los bloggers de ciencia, ¿no creéis?

Tito Eliatron Dixit.

Un paseo científico y matemático por la Feria de Sevilla

Pues no, señores, no vamos a ponernos los trajes de flamenca (o de faralaes como (mal)dicen algun@s), ni nos vamos a jartá de rebujitos ni ná de eso.

Como ya anuncié hace unos días, tuvo lugar en Sevilla la VI Feria de las Ciencias, y claro, Tito Eliatron no podía faltar. Así que aquí os dejo mis impresiones de una mañana paseando por la feria.

Lo primero que cambia respecto a años anteriores es que había que pasar por caja para entrar. Para acceder al recinto tuvimos que pagar 1€ por cabeza. La verdad es que el precio es calderilla en comparación con la calidad de lo que hay dentro, pero no deja de sorprender que haya que pagar porque las administraciones públicas (Consejería de Educación de la Junta de Andalucía a la cabeza) ya no aportan el dinero necesario para sacar todo adelante, así que los que amamos la ciencia y su divulgación somos los que tenemos que dar parte del soporte económico que falta. Y con muchísimo gusto.

Cuestiones políticas aparte, nada más entrar nos encontramos con un buen amigo de este blog, Joaquín, de Matemáticas interactivas y manipulativas, que estaba con sus alumnos terminando de construir una cúpula geodésica. En la siguiente foto, podéis verla


Por cierto, si nos queréis conocer, aquí estamos Joaquín (a la izquierda) y Tito Eliatron (a la derecha)
.

La verdad es que fue interesante la charla que mantuvimos y, sobre todo, lo que pude conversar con alguno de sus alumnos, alguno de los cuales espero ver por la Facultad de Matemáticas en breve.

Tras un agradable rato, nos dirigimos al resto de puestos matemáticos. Pero para llegar a ellos, tuvimos que atravesar por buena parte de otros stands. Uno de los primeros que vi fue el titulado Haz el Capullo del IES La Campiña, de Arahal, en el que nos enseñan el ciclo de la vida de los gusanos de seda (podéis ver fotos y mejores explicaciones si seguís el link que propongo). Tras ver capullos, gusanos y crisálidas, me giré y pude ver como los chicos del IES El Molinillo, de Guillena, donde me llamó la atención cómo consiguen que los claveles blancos, gracias a pigmentos naturales hidrosolubles, adquieran, poco a poco, un curioso colorido, incluso doble. Y para muestra, un clavel:



Quizás una de las cosas que más me llamó la atención fue el puesto del IES Mª Inmaculada, de Mairena del Alcor. En él, los chicos nos hablaban de La Biblioteca de Alejandría y, en particular, me paré con una alumna que estuvo contándonos quién era Eratóstenes y cómo se le ocurrió la idea de medir el radio de la tierra a través de las sombras de dos pozos. Y todo ello, haciéndonos ver que para conseguir que una torre tenga sombra muy alargada y otra no tenga sombra, es imprescindible que la tierra sea curva, tal y como podemos ver en la siguiente imagen



Finalmente, y tras algunas otras paradas, pudimos alcanzar la zona matemática de la feria. En primer lugar, vimos el stand nº 58 de nuestro amigo Joaquín, donde sus alumnos, muy amablemente, nos enseñaron a conseguir pompas de jabón tetraédricas y cúbicas





También pudimos disfrutar de un magnífico omnipolioedro, construido por sus alumnos.



Podéis ver más fotos sobre pompas de jabón 3D, e incluso, pompas de jabón 2D en los artículos que el propio autor Joaquín ha publicado en su blog.

Seguidamente, pudimos ver a los miembros del Grupo Alquerque jugando con el papel, en el stand nº 57. Estos magníficos divulgadores de las matemáticas, estaban realizando, gracias a la papiroflexia, una gran variedad de figuras modulares: desde cubos y dodecaedros, hasta gran variedad de poliedros estrellados, como los que podéis ver en las fotos.





Finalmente, en el stand 56 Recrefisimat, estuvimos jugando (un ratillo, que nos costó lo nuestro) con puzzles de tipo geométrico, como el de la foto



Para finalizar con el stand 56, Matediversi-on, del IES P.J. Miravent, de Isla Cristina, donde hubo un curioso concurso de juegos matemáticos.



Pero no se acaba aquí mi visita ni las matemáticas. En un stand cercano, el nº 51, nos hablaron de El mar de culturas. Y allí pudimos encontrar cómo representaban los egipcios y los griegos los números:



Para finalizar, os dejo una de las lámparas fractálicas que pude admirar, justo antes de irme, en el stand 54 del I.E.S. San José de la Rinconada



En resumen, que mi paseo por la Feria de las ciencias fue una oportunidad magnífica de comprobar que la cantera científica y divulgadora está más presente que nunca, a pesar de las crisis que pueda haber. Y no quiero finalizar sin recomendaros que el año próximo, no faltéis a la cita de la furura IX Feria de las Ciencias de Sevilla.

Tito Eliatron Dixit.

El dios de los triángulos

Dicen que si los triángulos inventaran un dios, harían que tuviera tres lados

Montesquieu, vía Citas.

Y yo me pregunto... ¿será equilátero? Y aún más, ¿por qué se suele representar al Dios cristiano con un triángulo con un ojo dentro?

Tito Eliatron Dixit.

Triple botella de Klein

Muchos de vosotros sabréis lo que es una Botella de Klein. Para el que no lo sepa, la Botella de Klein es al espacio tridimensional, lo que la Banda de Möbius al plano. Es como tener un cilindro, e intentar unir las circunferencias... pero por dentro.

Supongo, además, que muchos de vosotros habréis visto imágenes y fotos de este tipo de objetos. Pero la que os dejo aquí abajo es tremenda. Digamos que es una especie de triple botella de Klein, es decir, una botella de Klein con 3 vueltas cuatridimensionales. Pensad en una banda de Möbius a la que, en vez de darle una única vuelta, la retorcéis hasta 3 veces. Pues esto mismo debe ser el objeto que tenéis aquí abajo.



Aprovecho la ocasión, para recomendaros que visitéis el fotoblog del que he obtenido esta imagen: Proof, donde podéis ver una gran cantidad de imágenes relacionadas con las matemáticas (vía God Plays Dice)

El original de esta imagen es de Museo de las Ciencias de londres, donde nos cuentan que este objeto es parte de una serie de Botellas de Klein de vidrio creadas por Alan Bennett en Bedford, Reino Unido para el Museo de la Ciencia de Londres.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Esta entrada va a formar parte de la IV Edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión será el blog Zurditorium.

Definición analítica del número π

Todos conocemos el número π, de hecho, en este mismo blog hablamos un poco sobre su historia. La definición de esta constante es meramente geométrica:

razón entre la longitud y el diámetro de una circunferencia

En este artículo vamos a dar lo que se conoce como definición analítica del número π, es decir, a través del cálculo (integral, para más señas).

Partamos de la función . Si derivamos la función, obtenemos que , por lo que podemos comprobar que se trata de una función creciente en el intervalo [0,1) (la derivada es positiva en dicho intervalo).¿Y por qué hacemos todo esto? pues muy sencillo, porque gracias a esta propiedad, sabemos que la función integral está perfectamente definida para cualquier valor de . Más aún, como la función es continua, entonces es derivable y su derivada es, exactamente, ; todo ello gracias al Teorema Fundamental del Cálculo Integral.

Así que partiendo de nuestra función , hemos construido otra . Pero como la primera función no tiene sentido para , la segunda, en principio, tampoco. Aunque todo en esta vida tiene solución. Al igual que antes, como en [0,1), sabemos que es estrictamente creciente en dicho intervalo, por lo tanto, podemos garantizar que existe , pero claro, este límite puede ser un número (positivo) o .

A continuación, vamos a comprobar que dicho límite es, en realidad, un número. Para ello, basta con acotar la función como sigue:
, pero como si , entonces podemos seguir acotando de la siguiente manera:



En resumen, hemos visto que siempre que . Así pues podemos definir y sabemos que .

Ahora ya podemos definir analíticamente el número π de la siguiente forma .

Vale, Tito Eliatron, todo esto está muy bien argumentado y todo lo demás, pero... ¿no habrás definido un nuevo número π?

Pues no. Vamos a comprobar que esta definición de π coincide con el cociente entre longitud y diámetro de una circunferencia. Vamos a partir de una circunferencia de radio r y vamos a tomar como origen de coordenadas, el centro de la circunferencia. De esta forma, la ecuación será .

Vamos a calcular la longitud de un arco de circunferencia, el que va desde el punto superior, a un punto intermedio del primer cuadrante. Fíjate en el dibujo de aquí abajo, en donde el arco rojo es al que vamos a calcularle la longitud:



Para calcular la longitud (con ) de dicho arco, acudiremos a la fórmula que dice que la longitud de la curva entre los puntos y es .

Así que, si despejando en la ecuación de la circunferencia (y cambiando por ) tendremos que , por lo que . Por consiguiente, la longitud del arco de circunferencia será . Ahora sólo tenemos que dividir en numerador y denominador entre para obtener que . Si hacemos el cambio de variables , entonces , cuando y cuando . Así que , ya que si , entonces y está bien definido el valor .

En resumen, hemos demostrado que para cualquier valor . Como la longitud y la función son continuas, podemos ahora hacer que en la igualdad anterior, para obtener que (dado que tiende a la longitud de 1/4 de circunferencia, que hemos denotado por ). Y como habíamos definido , obtenemos

Por tanto, nuestra definición analítica de π hace que coincida con el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, es decir, la definición clásica del número π.

Bueno, que tras todo este rollo que os he soltado, hemos visto una nueva forma de definir el número π a través de integrales, pero que, en definitiva, vuelve a ser la clásica y geométrica definición de cociente entre longitud y diámetro de una circunferencia.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Esta entrada va a formar parte de la IV Edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión será el blog Zurditorium.

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Referencias:

El número π y las funciones trigonométricas, Freniche Ibáñez F.J., apuntes de Análisis Matemático I del Grado en Matemáticas de la Universidad de Sevilla.