El día más corto: ocaso y orto

Hoy no os traigo un artículo sobre matemáticas propiamente dicho (aunque algo habrá), tampoco voy a hablar de poesías o pareados aunque el título del post así lo sugiera. Hoy os traigo una curiosidad (al menos a mi me lo parece) astronómica (mejor dicho astrométrica) sobre el solsticio de invierno, la salida del sol (amanecer u orto) y la puesta de sol (anochecer u ocaso).

¿Sabíais que el día más corto del año no coincide con el día en que anochece antes? Ni siquiera coincide con el día que amanece más tarde. ¿Cómo puede ser esto posible? Tito Eliatron, nos estás engañando.

No, no os engaño. Os pondré un ejemplo concreto, con datos extraídos del Instituto Geográfico Nacional.

En Sevilla, en el Invierno 07/08 el día más corto, que coincide con el Solsticio de Invierno y que debe ser el 21 ó 22 de Diciembre, tuvo lugar entre los días 20 y 24 de Diciembre de 2007 (con un periodo de sol de 9 horas y 35 minutos). Sin embargo, el día que anocheció antes (a las 18:06), fue entre el 1 y el 12 de Diciembre (la tradición popular dice que el día en que anochece antes es el 13 de Diciembre, Santa Lucía, patrona de los ciegos); mientras que el día que amaneció más tarde (a las 8:39) ocurrió entre el 3 y el 9 de Enero de 2008 (de nuevo, el folklore dice que este día es el 6 de Enero, curiosamente la noche en que los Reyes Magos han de repartir sus juguetes, va a ser por esto que nunca los podemos ver).

A la vista de estos datos, alguien se podría preguntar ¿esto qué es lo que es? ¿Cómo puede ser esto posible? Bueno pues aquí entra en juego las matemáticas y el cálculo en particular. Resulta que el momento del ocaso y el momento del orto pueden modelizarse mediante funciones sinusoidales (senos y cosenos, para entendernos). Sería como si la función ocaso fuese f(t)=sen(t)+2 y la función orto fuese g(t)=cos(t)+1. Algo parecido a lo que tenéis en el dibujo de aquí abajo.


Claramente el mínimo de la función OCASO (es decir, el día que anochece antes) y el máximo de la función ORTO (el día que amanece más tarde) no coinciden, y ni siquiera coinciden con el punto en que la distancia del OCASO al ORTO es mínima (el día más corto del año).

En efecto, con las funciones que hemos tomado (evidentemente no son las reales, sino que es una modelización hecha por mí) el mínimo de la función OCASO ocurre para t=3π/2 (basta comprobar que f'(t)=cos(t)=0 cuando t=π/2,3π/2; y que f''(3π/2)=-sen(3π/2)=1>0). Por otro lado, el máximo de la función ORTO ocurre para t=2π (en efecto, g'(t)=-sen(t)=0 cuando t=π,2π; y g''(2π)=-cos(2π)=-1<0). Finalmente, el día más corto se correspondería con el mínimo de la función F(t)=f(t)-g(t)=sen(t)-cos(t)+1, que se alcanza para t=7π/4 (porque F'(t)=cos(t)+sen(t)=0 siempre que t=3π/4,7π/4, y F''(7π/4)=cos(7π/4)-sen(7π/4)=√2>0).

Por lo tanto tenemos que
min(OCASO)=3π/2<min(DIA)=7π/4<max(ORTO)=2π

Así que ya saben, si en las próximas Navidades queréis hacer alguna pregunta trampa preguntad (valga la redundancia) qué día anocheció antes o cuando amanecerá más tarde. Seguro que os responden a las dos cuestiones que el 21 de Diciembre. Y vosotros sabéis que eso no es así.

Tito Eliatron Dixit.

PD: La (primera) foto está extraída de la Wikipedia, que a su vez la extrajo de la NASA.