La ¿prueba? del 9

Cuando era aún un proyecto de matemático y estaba en primaria (hace ya algunos años) mis profesores me enseñaron a hacer divisiones (¡sin usar calculadora!). ¿Cómo sabíamos si la división estaba bien hecha? Pues era fácil. Recurríamos a la prueba de la división, que consistía en multiplicar divisor por cociente, sumar el resto y comprobar que el resultado era el dividendo. Pero claro, cuando las divisiones eran con cifras con muchos dígitos (3, 4 o más) hacer la comprobación era un ejercicio peor y más tedioso que la división en sí. Por ello, alguna mente privilegiada tuvo la genial idea de inventar otra prueba mucho más simple y fácil de ralizar: La Prueba del Nueve. Y de ella vamos a hablar hoy, aunque quizás haya sorpresas, ya que hoy por hoy (y de hecho, ayer por ayer) ya no se explica.

Vamos a recordar la terminología básica de la división (por si alguien es algo dememoriado). Llamaremos Dividendo al número que queremos dividir; el divisor será el número entre el que queremos dividir; el cociente será el resultado sin decimales, y el resto será lo que sobra. La forma habitual de escribirlo (al menos en España) es la siguiente:

donde D representa al Dividendo, d al divisor, c el cociente y r el resto.

La prueba ordinaria (implícita en el concepto de división) consistía en comprobar que D=d·c+r. Pero claro, cuando dividendo, divisor eran números grandes, la tarea se complicaba. Hasta que nos enseñaban la Prueba del 9.

Esta fácil prueba consistía en lo siguiente. Hacemos dos aspas en el papel bien grandes. Cogemos el divisor y sumamos sus cifras y vamos restándole 9 hasta que el resultado sea un número entre 0 y 8; este resultado, que nosotros llamaremos d₉, lo escribimos en la parte superior del aspa. Repetimos el mismo proceso, pero partiendo ahora del cociente, obteníendose el número c₉ que lo escribiremos en la parte de abajo del aspa. En la parte izquierda escribiremos D₉, que es la misma operación aplicada al Dividendo. Finalmente, repetimos el proceso con el resto, obteniéndose r₉ y en la parte derecha del aspa escribimos d₉·c₉+r₉, y restando tantas veces el 9 como sea necesario hasta obtener un número menor que 9. Algo parecido a lo que veis en el dibujo de abajo:
Si la parte izquierda y derecha del aspa coincidían, nuestra división habrá pasado La Prueboa del 9. Pero es mejor que comprobéis en el siguiente ejemplo (si no lo véis bien, click para ampliar):


Parece que queda claro el mecanismo de esta prueba, pero... ¿porqué funciona? Pues esta prueba funciona, básicamente, por 3 motivos. El primero de ellos es matemático y se basa en la aritmética modular. Si a y a' tienen el mismo resto al dividir entre 9, es decir, a=a' (mod 9) y, análogamente, b=b' (mod 9), entonces a+b=a'+b' (mod 9) y a*b=a'*b' (mod 9). El segundo motivo es la facilidad con que se calcula el resto de dividir entre 9: sumar las cifras del número e ir restando 9 hasta que no se pueda más. En efecto, como cualquier potencia de 10 es un múltiplo de 9 más 1 (10=9+1; 100=99+1; 1000=999+1;...), entonces cualquier número (de 4 cifras para abreviar) puede escribirse como abcd=d+10c+100b+1000a, por lo tanto abcd (mod 9)= d+10c+100b+1000a (mod 9) = d+c+b+a (mod 9).

Cualquier lector un poco ducho en la materia comenzará a tener sospechas, y con razón. Todo lo que hemos hablado funciona en un único sentido: Si una igualdad es cierta, entonces también es cierta módulo 9. El problema es que al revés no funciona: hay muchos números que tienen el mismo resto módulo 9, con lo que La Prueba del 9 puede pasarse aun habiéndonos equivocado en las cuentas.

Como observaréis, he hablado de que esta prueba funcionaba por 3 motivos y sólo he planteado 2. El tercer y último motivo por el que la prueba funciona es que cuando nos equivocamos al hacer este tipo de cuentas, los errores son en una cifra; digamos que nos solemos equivocar por poco. Luego entonces, habría que ver cuándo falla La Prueba del 9. Es fácil darse cuenta que 2 número con 2 cifras intercambiadas tendrán el mismo resto módulo 9, por ejemplo 147 y 174. También si en un número sustituimos un 0 por un 9 o viceversa, como por ejemplo 191 y 101 (recordad que hacer resto módulo 9 es sumar las cifras e ir restando 9).

Por lo tanto esta prueba no es infalible. Hay divisiones mal hechas que superan La Prueba del 9, como por ejemplo: 1911:13=174 y resto 0 (comprobadlo vosotros mismos). En general, si una división está bien hecha, seguro que superará La Prueba del 9, pero si una división está mal hecha, puede que la pase o puede que no. Lo que también es cierto es que si una división no supera La Prueba del 9, entonces seguro que está mal hecha. Digamos que, en resumen, esta prueba sólo nos sirve para detectar si hemos dividido mal. Supongo que este es el motivo por el que se dejó de utilizar en las escuelas esta prueba en beneficio de la tradicional, que esta sí que es infalible.

Tito Eliatron Dixit.

---

REFERENCIAS:

• Prueba del Nueve en Wikipedia.


• De la prueba del 9 (PDF, 36 Kb), artículo de Carlos Fernández, del IES Aramo de Oviedo.


• La prueba del 9 (PDF, 96 Kb), artículo de Pedro Rupín, de la web El Agujero.
• Tradición familiar