Cifras y letras: El número e

Volvemos hoy a la serie Cifras y Letras dedicada a esas constantes matemáticas que se representan a través de letras. En esta ocasión nos vamos a centrar en, probablemente, el segundo número trascendente más importante tras el archiconocido número π. Me estoy refiriendo al número e.

La definición de este número no es para nada geométrica, sino más bien analítica. Se suele definir el número e como el límite de la sucesión a_n:=(1+1/n)ⁿ, o bien como la suma de los inversos de los factoriales de los naturales, es decir e=1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+...+1/n!+....
Su valor, truncado, es e≅2,7182818284590452353602874713527... y su importancia radica en que es la base natural de los logaritmos, de hecho la función exponencial de base e es la única función cuya derivada es ella misma. Además, es parte fundamental de la Identidad de Euler e^iπ+1=0.

Pero... ¿por qué usar la letra e para denotar este número? Vamos a hablar un poco de su historia. La primera vez que se hace referencia a este número es en 1618, en un apéndice de un trabajo de John Napier donde se observa una tabla en donde se da el logaritmo natural de varios números. Sin embargo, el valor de esta constante no está explícitamente calculado. Unos años después, en 1624, Henry Briggs dio una aproximación numérica de log₁₀e, aunque sin mencionar ni el número e ni, por supuesto, la notación que hemos utilizado aquí. específicamente en su trabajo.

En 1647, Grégoire de Saint-Vincent calculó el área bajo una hipérbola rectangular, y este hecho se considera fundamental en el posterior desarrollo del logaritmo natural (en base e), aunque parece que el matemático no se percató en aquel entonces de este hecho.

Quien sí lo hizo fue Christian Huygens, quien hacia 1661 comprendió la relación existente entre la hiperbola rectangular y el número e: Dada la hipérbola yx=1, el número e es el único número a tal que el área bajo la hipérbola entre 1 y a es exactamente 1 (hoy, basta calcular la sencilla integral ). Incluso el prpopio Huygens, gracias a su función logarítmica (ojo, que no es la actula definición, sino otra) logró calcular 17 decimales exactos de log₁₀e. Sin embargo, en su trabajo aparece como el cálculo de una constante y no es reconocida como el logaritmo de un número.

En 1668, Nicolás Mercator logra obtener el desarrollo en series de potencias de log(1+x). En este trabajo Mercator usa el término logaritmo natural por primera vez para los logaritmos en base e, aunque nuestro protagonista sigue sin aparecer de forma explícita.

Sorprendentemente, la primera vez en que aparece de forma explícita el número e es en un trabajo de Jacob Bernoulli sobre el interés compuesto en 1683, en el que reiteradamente Bernoulli precisó calcular el límite que define al número e (y que vimos más arriba). Bernoulli no calculó el límite, perso sí demostró que existía y que su valor estaba comprendido entre 2 y 3 (su demostración, basada en el binomio de Newton, es la que hoy en día se sigue enseñando en los primeros cursos de cálculo).

La primera referencia escrita a este número es en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690, aunque en la misiva, Leibniz utiliza la notación b para este número.

Finalmente, la notación actual de la letra e se debe a Euler, aunque, contrariamente a lo que se piensa, esta notación no procede de la inicial del apellido del insigne matemático; ni siquiera del término exponencial o exponente. La versión más plausible es la casualidad: e es la segunda vocal tras la a y esta letra estaba ya siendo usada por Euler en sus trabajos.

Independientemente de los motivos, la notación actual aparece por primera vez en 1731 en una carta que Euler escribió a Goldbach. Además de darle el nombre actual, Euler logró demostrar que e es el límite de la sucesión a_n:=(1+1/n)ⁿ así como la serie 1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+...+1/n!+... (en realidad demostró que ambos números debían ser el mismo), incluso dio una aproximación de e con 18 decimales exactos y el desarrollo en fracción continua de e-1 y (e-1)/2.

El problema del cálculo de decimales de e no ha resultado, al parecer, tan interesante como el análogo para el número π. De todas formas, en 1854 William Shanks fue el primero en calcular una gran cantidad de decimales de e, aunque James Whitbread Lee Glaisher hizo notar que sólo los 137 primeros decimales eran correctos y, tras las pertinentes correcciones de Shanks, consiguió 205 decimales exactos. Recientemente, Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo han conseguido más de 200.000.000.000 decimales exactos de e. Aunque nosotros nos vamos a conformar con ver 1 millón de decimales de e.

Sobre e se sabe que es trascendente (probado por Charles Hermite), luego irracional (hecho que parece fue demostrado previamente por Euler). Sin embargo, aún no se sabe si e^e es trascendente o no, aunque parece que o bien e^e, o bien e^e2 es trascendente.

Como colofón, se sabe que e^π (conocida como constante de Gelfond) es trascendente, sin embargo no se conoce si π^e es, si quiera, irracional. De todas formas, sí que hemos aprendido en este blog que π^e<e^π, sin usar la calculadora.

Tito Eliatron Dixit.

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Referencias:

• Artículo de la Wikipedia sobre el número e en Español e Inglés.


• The number e, en The MacTutor History of Mathematics archive y su traducción de Astroseti


• Imagen extraída de la galería Flickr de gail m tang, vía Cocina y Matemáticas.