Estructura y aleatoriedad en los números primos (Parte 1)

Hoy lunes no os traigo una cita matemática, lo dejaremos para la próxima ya. Como es fiesta, os traigo un pequeño regalito: la primera parte del resumen de la conferencia de Terry Tao (él prefiere que lo llamen Terry a Terence) del pasado jueves.

La conferencia comenzó con 20 minutos de retraso, pero no por culpa de Tao, que estaba allí con 1 hora de antelación, sino de las autoridades. Lo primero que nos mostró fue la definición de número primo:

Un número primo es cualquier número natural mayor que 1, que no se puede factorizar como producto de 2 naturales más pequeños.

Queda claro con esta definición, que el 1 no puede ser número primo.

Posteriormente, repasó los orígenes de los primos y los resultados clásicos, como el Teorema Fundamental de la Aritmética (ca. 300 a.C.), que nos dice que cualquier número natural se puede expresar de forma única (salvo reordenamientos) como el producto de primos; o el Teorema de Euclides (ca. 300 a.C.) que establece la infinitud de los números primos. De este teorema nos dio la demostración del propio Euclides. Gracias a estos teoremas, se puede decirr que los números primos son los átomos del producto de enteros, pero es oro todo lo que reluce. El Teorema de Euclides, por ejemplo, no nos habla de la distribución de los primos, mientras que el Teorema Fundamental de la Aritmética nos dice que cualquier número es factorizable, pero no nos dice cómo. De hecho, para números de más de 200 dígitos, la factorización no es factible en un tiempo razonable: nacen los fundamentos de la criptografía.

Para ejemplificar este hecho, nos mostró el clásico ejemplo de Alicia y Bob. Hoy día se utiliza una versión mejorada de este sistema, el Sistema de encriptado de Massey-Omura.

La seguridad de estos sistemas, parece garantizada, pero es sólo una conjetura, estrechamente relacionada con el problema P=NP

Hasta ahora, parece que los números primos presentan una aleatoriedad local, pues no sabemos cómo se distribuyen, ni siquiera sabemos la fórmula exacta del n-ésimo número primo. Sin embargo, en 1798 Gauss y Legendre conjeturaron una distribución asintótica de los números primos que fue demostrada por Hadamard y de-la-Vallè-Poussin en 1896. Se trata del Teorema de los Números primos y que asegura que el n-ésimo número primo se comporta aproximadamente igual que el factor n·log(n). Tao nos comentaba que como la charla pretendía ser divulgativa, demostrar este teorema era excesivo; pero sí nos dio unas ideas de la demostración que la llamó Escuchar la Música de los Primos.

En una primera etapa, se "toca" una onda sonora que es fuerte en los primos y baja fuera de ellos (se trata de la llamada Función de Mangoldt). En una segunda etapa, se "escucha" esta "música de los primos" a través de una variante de la transformada de Fourier (la Transformada de Mellin). Finalmente, nos damos cuenta que hay ciertas "notas" que nunca aparecen en la melodía, lo que nos da la idea final de la distribución de los primos.

Este miércoles, tendréis la segunda parte de este resumen, en el que hablaremos de algunos problemas (abiertos y cerrados) sobre los números primos, incluyendo el Teorema de Green-Tao.

Tito Eliatron Dixit.

N. de A.: Las fotos utilizadas en esta entrada fueron realizadas por mi mismo, pero el contenido es obra de Terence Tao.

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