Estructura y aleatoriedad en los números primos (Parte 2)

Tal y como os prometí, vamos a continuar hoy el resumen de la charla de Terry Tao. Os recominedo que, antes de continuar leyendo, os paséis por la primera parte del resumen.

Ya hemos visto cómo desde la antigüedad ya se conocían los primos y algunas de sus propiedades fundamentales. También hemos visto sus aplicaciones a la crfiptografía y las ideas de cómo demostrar algunos de los más clásicos resultados.

Pero en los números primos, no todo se conoce. Por ejemplo, Vinogradov demostró en 1937 que todo número impar suficientemente grande, se puede expresar como la suma de 3 primos (hecho ya conjeturado en su momento por Gauss), de hecho, en 2002 Liu y Wang establecieron que si n>10¹³⁴⁶ es cierto, mientras que en 1998, Saouter comprobó que también es cierto si n<10²⁰. Demostrar que es cierto para cualquier número impar, supone demostrar la Conjetura Débil de Goldbach, hecho por este matemático en 1742.

Otro de los grandes problemas abiertos concerniente a los números primos es la Conjetura de los Primos Gemelos, que establece que existen infinitos números primos p, tales que p+2 también es primo, y que data de ca. 300 a.C. Actualmente, los primos gemelos más grandes que se conocen son 2003663613x2¹⁹⁵⁰⁰⁰±1. Datan de 2007, fueron calculados por Vautier y otros y tienen más de 58000 dígitos.

Aunque nadie ha sido aún capaz de demostrar esta conjetura, lo que sí se ha demostrado (Chen, 1966) es que existen infinitos números primos p, tales que p+2 o bien es primo o bien es el producto de 2 primos, es decir, que el segundo elemento del par, si no es primo, poco le falta.

Hasta ahora hemos visto cómo los primos se distribuyen asintóticamente, cómo se forman, algunas de las propiedades más conocidas y las conjeturas más famosas. Pero hablar de números primos y Terry Tao, es hablar de su famoso teorema, que Terry nos dejó para el final. En 2004, junto con Ben Green, Tao demostró el siguiente teorema que, junto con otras investigaciones de gran importancia, supuso la concesión de la Medalla Fields en 2006:

Existen progresiones aritméticas arbitrariamente grandes formada exclusivamente con números primos.

La idea de la demostración consiste, según su propio autor, en dividir los primos en 2 partes, una estructurada y otra pseudo-aleatoria y comprobar que en cada una de ellas, podemos encontrar progresiones aritméticas.

Pero este no es el único resultado de Tao concerniente a los primos. En el campo de los números complejos, podemos considerar el equivalente a los enteros Z[i] que serían números complejos de la forma p+iq con p,q∈Z. Pues bien, los elementos primos de este conjunto se denominan Primos de Gauss y se sabe que p+iq es un primo de Gauss si y sólo si:

• p ó q es cero, y el valor absoluto del otro es primo de la forma 4n+3


• p y q son no nulos y p²+q² es primo.
  

A continuación os dejo un dibujo de cómo se distribuyen estos números en el plano complejo.

Pues bien, en 2005, Tao demostró que dada una constelación de cualquier forma (es decir, una cantidad finita de puntos con ciertas condiciones), es posible girar, trasladar y dilatar esta figura para que todos los vértices sean Primos de Gauss. En otras palabras, si los Primos de Gauss fueran las estrellas del cielo, cualquier forma que pensemos puede se encontrada en el firmamento.

Con este curioso resultado, Tao concluyó su magnífica charla y el distinguido le brindó un sonoro aplauso al más puro estilo sevillano. Para mi fue un gran honor poder escucharle y, después, conocerle, hablar (poco) con él y hacerme la foto que ilustra el inicio de este post. Espero que se me pegue aunque sea la milésima parte de la inteligencia de este matemático cuya humilde apariencia es la pura realidad. Una Medalla Fields como matemático y como persona.

Tito Eliatron Dixit.

A la Parte 1.