La segunda Ley de Kepler y las Ecuaciones Diferenciales

Esta entrada va a formar parte de la Cuarta Edición del Carnaval de la Física, cuyo anfitrión es el blog RTFM.es.

¿Que no conoces las Leyes de Kepler? No me lo puedo creer. En fin, vamos a empezar por lo más simple. Las Leyes de Kepler son las que rigen los movimientos de los planetas y fueron descubiertas por el astrónomo y matemático alemán Johannes Kepler. Pero lo más curioso de todo esto es que el bueno de Kepler las obtuvo de la simple observación. En realidad, las dedujo tras estudiar minuciosamente las precisas anotaciones de su colega Tycho Brahe, quien lo hizo sin la ayuda del telescopio, inventado con posterioridad.

Pero volvamos a Kepler y sus Tres Leyes (no, las de la Robótica son otras Tres leyes que no vienen a cuento). Kepler (aunque no en el mismo orden en que hoy se conocen y se estudian), enunción sus famosas tres leyes para explicar el movimiento de los planetas en sus órbitas alrededor del Sol:

1. Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, estando el Sol situado en uno de los focos.
2. El radio vector que une el planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.
3. Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol) es directamente proporcional al cubo de la distancia media con el Sol.

En este pequeño artículo vamos a redescubrir la segunda ley de Kepler, basándonos en la Ley de Gravitación Universal de Newton:

La fuerza que ejerce un objeto dado con masa m₁ sobre otro con masa m₂ es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

Para nuestro propósitos, vamos a fijar como origen de nuestro sistema de referencia al Sol, con masa M, y vamos a suponer que tenemos un planeta orbitando alrededor de él con masa m. Y, además, vamos a adoptar el sistema de coordenadas polares. Así, si fijamos la posición del planeta (que supondremos, al igual que el sol, que es un punto de coordenadas polares (r,θ)), vamos a llamar u_r al vector unitario en la dirección del radiovector que une el Sol con nuestro planeta y u_θ al vector unitario perpendicular al anterior y en la dirección en la que aumenta t.

Total, que tras todo este galimatías, vamos a calcular las fuerza F que el Sol ejerce sobre nuestro planeta. De la segunda ley de Newton, sabemos que F=ma, donde a es la aceleración del planeta. Pero si queremos escribir la aceleración en términos de las coordenadas polares, hay que hacer unas cuantas cuentas (venga, vale, las vamos a obviar, que no está el horno para bollors), tras las cuales obtendremos que a=(r·θ''(t)+2r'(t)·&theta'(t))u_&theta+(r''(t)-r·&theta'(t)²)u_r en donde t representa, como casi siempre, el tiempo.

Así que, si descomponemos la fuerza F en su componente central F_r y tangencial F_θ, obtendremos que F_θ=m(r·θ''(t)+2r'(t)·&theta'(t))   y   F_r=m(r''(t)-r·&theta'(t)²)

Pero claro, esto, en realidad, es válido para cualquier tipo de fuerza, es decir, que esto es las fórmulas anteriores no son más que la Segunda Ley de Newton expresadas en coordenadas polares. Ahora vamos a introducir el hecho de que la fuerza que tenemos es de tipo gravitatorio. En nuestro caso, sólo nos vamos a quedar con un aspecto de estas fuerzas, y es que son de tipo central, es decir, que no tienen componente tangencial (recordad la Ley de Gravitación Universal).

Bajo este nuevo prisma, resulta que la componente tangencial de nuestra fuerza debe ser, forzosamente, nula; lo cual nos permite obtener una Ecuación Diferencial r·θ''(t)+2r'(t)·&theta'(t)=0 Si multiplicamos esta ecuación por r, se obtiene r²·θ''(t)+2r·r'(t)·&theta'(t)=0 o lo que es lo mismo, (r(t)²·θ'(t))'=0, de modo que la función entre paréntesis sólo puede ser una constante, es decir, r(t)²·θ'(t)=h para alguna constante h.

Y ahora vámonos con la Segunda Ley de Kepler. Si A(t) es el área recorrida por r(t) a partir de una posición fija de referencia, es fácil comprobar (de nuevo son sólo cuentas con las que no os voy a agobiar) ΔA=(r²&theta'(t))/2 ·Δt=h/2 ·Δt donde el símbolo Δ representa el incremento de la función. Así pues, entre dos instantes de tiempo t₁ y t₂, se tiene que A(t₂)-A(t₁)=h/2 ·(t₂-t₁) que dicho de palabra es, exactamente, lo que dice la Segunda Ley de Kepler:

El radio vector que une el planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

En otra ocasión, aprovecharemos todos éstos cálculos para comprobar que, como la fuerza gravitacional es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, las órbitas celestes sólo pueden ser cónicas.

Espero no haberos aburrido mucho. Gracias por llegar hasta aquí.

Tito Eliatron Dixit.

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Referencias:
Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas, Georege F. Simmons, McGraw-Hill 1977.

Imagen extraída de la Wikipedia, obra de Stw