El segmento de puntos gordos o por qué π=2

No vamos a andarnos con rodeos. Hoy os voy a demostrar que π=2. Así, tal y como suena, contradiciendo a la Biblia, a Euler y a toda la Matemática clásica y moderna. Vamos allá.

Vamos a partir de un segmento de longitud 2. Vamos a suponer que el segmento es el intervalo que va del punto $P(-1,0)$ hasta $Q=(1,0)$; para entendernos, el intervalo $[-1,1]$.

En el estado inicial, vamos a construir la semicircunferencia de centro el origen y de radio 1. La longitud de esta curva es, pues, $L_0=\pi$.



En la primera iteración, vamos a construir 2 semicircunferencias. Divido el intervalo inicial en 2 subintervalos iguales. En el intervalo $[-1,0]$ construyo la semicircunferencia (superior) de centro $-1/2)$ y radio $1/2$, mientras que en el intervalo $[0,1]$ construyo la semicircunferencia (vamos a hacerla inferior, que quedará más bonito) de centro $1/2$ y radio $1/2$. Como se trata de 2 semicircunferencias, ambas de radio $1/2$, la longitud de la curva formada por la unión de ambas circunferencias tiene longitud $L_1=2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi$.



En la segunda iteración, cada uno de los intervalos anteriores, los vuelvo a dividir en 2, es decir, me quedo con los intervalos $[-1,-1/2]$, $[-1/2,0]$, $[0,1/2]$ y $[1/2,1]$. Sobre el primero construyo la semicircunferencia superior, sobre el segundo la inferior, sobre el tercero la superior y sobre el cuarto la inferior. En total son $2^2=4$ semicircunferencias de radio $1/2^2=1/4$, por lo que la longitud de la unión de estas curvas será $L_2=4\cdot\frac{\pi}{4}=\pi$.



En la enésima iteración, tendremos $2^n$ subintervalos de igual amplitud y sobre ellos, construimos, alternativamente, las semicircunferencias superior e inferior. Así, en total habrá $n$ semicircunferencias de radio $1/2^n$ y la longitud de la curva resultante será $L_n=2^n\cdot\frac{\pi}{2^n}=\pi$.

En el límite, este proceso desemboca en el propio segmento inicial $[-1,1]$, por lo tanto $\lim_{n\to\infty}L_n=\textrm{longitud}[-1,1]=2$. Pero como cada $L_n=\pi$, se deduce que $\pi=2$.

Imponente, ¿verdad? Pues buscad algún error, que en este caso... no lo hay. Entonces... ¿qué es lo que falla? ¿Acaso nos han engañado y el verdadero valor de $\pi$ es 2?

No, ni mucho menos. Vamos a dar 2 (posibles) explicaciones a esta paradoja. La primera de ellas es la que da nombre al artículo, es fácil de entender aunque quizás no sea muy rigurosa; mientras que la segunda explicación es bastante más precisa y técnica pero difícil de entender.

Una posible forma de explicarlo es recurrir a los fractales. El problema es que en matemáticas las cosas no siempre son como parecen y, aunque parece que este proceso acaba desembocando el el propio segmento, la realidad es que el conjunto límite es esencialemente distinto. Se trataría de lo que yo mismo he llamado segmento de puntos gordos. Sería un conjunto de tipo fractal en la que la línea límite recorre el segmento $[-1,1]$ pero de forma ondulada en cada uno de los puntos de la forma $k/2^n$ (con $k,n\in\Bbb{N}$. Estos puntos, que se conocen como racionales diádicos, tienen la propiedad de ser densos en el segmento, es decir, que casi casi lo llenan pero no del todo. Por lo tanto el límite no sería el segmento, sino un conjunto mucho más perverso.

ATENCIÓN, VA A COMENZAR UNA EXPLICACIÓN MUY TÉCNICA EN MATEMÁTICAS.

La segunda explicación, mucho más técnica y matemática, tiene que ver con la convergencia uniforme de sucesiones de funciones. Si llamamos $f_n(x)$ a la función que define la línea de semicircunferencias en la etapa $n$, es fácil comprobar que $f_n\to0$ incluso uniformemente, es decir, que como funciones, sí tienden al segmento. El problema es que la convergencia uniforme de funciones, no implica la convergencia uniforme de las derivadas. De hecho, en este caso, en cada etapa estamos introduciendo muchos puntos donde la función no es derivable: allí donde se unen 2 semicircunferencias, la tangente es completamente vertical, por lo que no puede ser derivable. ¿Y qué tiene que ver esto con la longitud? Pues resulta que para calcular la longitud de una curva $y=f(x)$ en un intervalo $[a,b]$ tan sólo hay que calcular la siguiente integral: $\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx$. Es decir, para poder hablar de longitudes, hay que poder hablar de derivadas. Y lo que no se tiene es un resultado que asegure que si $f_n\to f$ uniformemente, entonces $f'_n\to f'$ uniformemente, por lo tanto tampoco podemos esperar que $\textrm{longitud}(f_n)\to\textrm{longitud}(f)$, por mucho que haya convergencias uniformes de las $f_n$.

FIN DE LA EXPLICACIÓN TÉCNICA EN MATEMÁTICAS.

En resumen, que de una forma o de otras, en matemáticas, las cosas no son siempre como parecen ni parecen lo que en realidad son.

Tito Eliatron Dixit

PD: La falacia/paradoja original, sin solucionar, la encontré en el blog Disgresiones 3.0 gracias a un mensaje privado de @vientoblanko. Yo he modificado un poco la construcción original... más que nada para hacerla un poco más visual y bonita.