Muévete... con estilo matemático

Todos estamos acustumbrados, más o menos, a movernos. Incluso la palabra movimiento es muy habitual en nuestro vocabulario, no en vano, los movimientos de los delanteros del equipo de tu ciudad lennan páginas de los periódicos locales. Pero... en matemáticas, también hay movimientos ¿realmente crees que sabes lo que son? ¿y los conoces todos? Si tu respuesta a alguna de las preguntas es NO, quizás lo que leas a continuación te sirva de algo.

En primer lugar, vamos a ver qué es un movimiento matemático. En geometría, se llama movimiento a una aplicación (del plano en el plano o del espacio en el espacio o, más generalmente, de en ) que conserva las distancias, es decir, si y son dos puntos de un movimiento es una aplicación, es decir, una transformación de forma que . Por esta propiedad también se les conoce como Isometrías.

Pero centrémonos en lo que ocurre en el Plano Euclídeo . En él, podemos encontrar hasta 4 movimientos diferentes. Es muy posible que seas capaz de imaginarte 3 de ellos. Algunos iomaginaréis 4... pero en realidad sólo serán 3. Si al final del post resulta que te has imaginado los 4 movimientos de verdad... enhorabuena, porque hay uno que parece algo difícil de imaginar.

El primer movimiento que nos encontramos es el movimiento de Traslación y consiste en empujar los puntos siempre en la misma dirección y siempre la misma distancia. Matemáticamente, se expresa como , donde es un vector del plano.
Este movimiento se caracteriza por no tener puntos dobles, es decir, puntos cuya imagen son ellos mismos. sin embargo, cualquier recta que tenga la misma dirección que el vector que usamos para empujar sí será doble, es decir, la imagen de la recta sí será la propia recta... aunque ninguno de sus puntos vaya en sí mismo. En fin, un hecho que a mi siempre me apreció curioso.

El segundo movimiento que vamos a ver es el Giro. Para ello debemos establecer un punto que será el centro del giro, y un ángulo que será el ángulo de giro. Sencillo ¿verdad?
La expresión matemática de estos movimientos es ya más complicada y no hay forma de evitar las matrices de giro. Digamos que la transformada del punto será . En este caso, sí que hay un punto que nunca se mueve, que es el propio centro de giro , pero, en general (salvo en un caso que veremos a continuación), no habrá ninguna recta que se transforme en sí misma. Sin embargo, cualquier circunferencia centrada en sí que será doble, pero no de puntos dobles.

Dentro de este grupo de movimientos que son los giros hay uno especial y que tiene nombre propio. El giro de ángulo 180º también se conoce como Simetría central. En este caso, el centro sigue siendo un punto doble (o punto fijo, que también se llaman así) pero, a diferencia del resto de giros, cualquier recta que pase por el centro de simetría (ya no de giro) será doble.


Si os fijáis, estos movimientos que acabamos de describir tienen la particularidad que, para llevar la figura inicial y la final pueden sobreponerse una sobre la otra sin salirse del plano. Por esta razón (bueno, no exactamente por esto, pero es una buena aproximación) a las traslaciones y los giros se les conoce como Movimientos Pares.

El tercer tipo de movimiento que vamos a ver ya no cumple la propiedad anterior. Se trata de la Simetría axial. En ella, si fijamos una recta que será el eje de simetría, la imagen de cada punto será aquel punto de forma que el segmento tenga por mediatriz a la recta .
Digamos que es como si el eje de simetría fuese un espejo en Planilandia. En este movimiento, cualquier punto de la recta es doble y, en particular, la recta es una recta de puntos dobles. Pero, además, cualquier recta perpendicular a también se transforma en sí misma, aunque solamente contenga como punto doble a la intersección .

Como podéis observar, en la simetría, para llevar la figura roja justo encima de la figura azul es necesario salirse del plano y ponerla boca abajo. Por ello, y con la salvedad que ya dije antes, este movimiento es de los llamados Impares.

Pero no es el único, ya que nos falta el último de los movimientos y, quizás, el menos conocido para el público en general. Se trata de la Simetría con deslizamiento. Este movimiento es la composición de una simetría con una traslación cuyo vector no sea perpendicular al eje de la simetría. Y se puede comprobar que, al final, siempre se puede expresar como la composición de una simetría y una traslación cuyo vector es paralelo al eje de simetría.
Una forma curiosa de explicar este movimiento es fijarse en las huellas de nuestros pies al andar. Si fijamos un pie en el suelo, el otro, que es simétrico (más o menos) se va desplazando de paralelamente al otro. Eso es una simetría con deslizamiento. Y en este caso, ya no habrá puntos dobles, pero sí una recta doble, que será el eje de la simetría original.

Como veis, en total hay 4 tipos diferentes de movimientos, uno de los cuales, la simetría con deslizamiento (o antisimetría) es un poco difícil de percibir como tal.

Finalmente, quería comentaros que lo de los términos PAR o IMPAR procede de un resultado que se conoce como Teorema de Cartan-Dieudonné, que nos dice que cualquier movimiento del plano se puede construir a partir de la composición de, como mucho, tres simetrías.

Así, por ejemplo, la composición de una única simetría es la propia simetría. Si componemos 2 simetrías pueden ocurrir 2 cosas: que los ejes sean paralelos, en cuyo caso se obtiene una traslación; o que los ejes se corten en un punto, en cuyo caso obtenemos un giro de centro el punto de corte. Finalmente, la composición de 3 simetrías será una Simetrías con Deslizamiento, salvo en el caso en que los ejes de las 3 simetrías sean paralelos, que obtendremos una nueva simetría.

Así, veréis, que los movimientos PARES son los que se componen de 2 simetrías, mientras que los IMPARES se componen de 1 ó 3 simetrías.

Espero no haberos aburrido demasiado hoy y que hayáis aprendido alguna cosa.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada va a formar parte de la VIII Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será el blog Los Matemáticos no son Gente Seria.

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Créditos
Todas las imágenes están extraídas de la wikipedia, con licencia CC y son obra de Toobaz, excepto la imagen de Simetría Central, que ha sido creada a partir modificaciones de las anteriores imágenes.