Potencias de irracionales: ln2 es irracional

Hay un clásico problema que nos pregunta si existen dos números irracionales y , de forma que sea racional.

Una de las demostraciones más curiosas (y, para mi gusto personal, bonita y elegante) demuestra que sí... pero, en realidad, no nos dice quienes son esos números. Os la dejo por aquí.

Se sabe que es irracional. La demostración clásica es por reducción al absurdo y de las sencillitas y la podéis encontrar (junto con otra más) en Gaussianos.

Entonces tenemos 2 opciones, si es racional, entonces ya estaría probado, pues bastaría tomar . Si este número es irracional, éste será nuestro y ¿quién es ? Pues el otro irracional que conocemos: . Así .

Claro, por uno de los dos caminos llegamos al ejemplo... ¿pero cual de los dos es el de verdad? eso no nos lo dice la prueba. Y claro, uno se queda con la cosilla de saber un ejemplo concreto.

Pues aquí os dejo uno. Sabemos que es irracional (de hecho, es un número trascendente). Entonces basta tomar y , ya que . Pero... ¿es irracional? Hombre... pues parece claro, ¿no? Entonces... ¿sabes cómo demostrarlo?

Esto mismo me pregunté yo el otro día en la playa y saqué esta demostración.

Supongamos que es racional, es decir, con . Entonces , o lo que es lo mismo, , de donde se deduce que es un número algebraico, pues sería solución de la ecuación algebraica .

Es decir, que la trascendencia de implica, entro otras muchísimas cosas, la irracionalidad de .

Y por cierto, ya que estamos.. ¿se os ocurren generalizaciones sencillas de esta pequeña prueba? Hala, ya tenéis algo en lo que pensar en los próximos 5 minutos.

Tito Eliatron Dixit