Geometría a ritmo de reggaeton

No, no se trata de una versión de la famosa canción de Les Luthieres sobre el Teorema de Thales (Youtube, 3:32).

Gracias al agregador de noticias Chuenga, llego a la siguiente noticia: En una escuela de Colombia enseñan Geometría a ritmo de reggaeton. Ángulos, ejes, perpendicularidad... todos estos conceptos surgen naturalmente en las diversas posiciones de este tipo de baile, lo cual es aprovechado para que los alumnos adquieran estos conocimientos.

En fin, no deja de ser un hecho curioso, pero... ¿y si cunde el ejemplo aquí en España? Se puede enseñar Geometría o Álbgebra a ritmo de Sevillanas? ¿o de Jota? Si alguien sabe algo al respecto, que no dude en compartirlo.

Tito Eliatron Dixit

La curva catenaria: cadenas, trenes y arquitectura

Cualquier aficionado a los trenes (eléctricos) sabrá que las catenarias son esos cables que van por encima de la vía del tren y que nutren de electricidad al mismo. Pero lo que quizás no sepan es que el término catenaria es también matemático y que está íntimamente relacionado con las primeras. En este artículo vamos a describir la curva catenaria, su historia y algunas de sus aplicaciones entre las que estarán las catenarias ferroviarias.

Comencemos con un poco de historia. En 1690, uno de los miembros de la más famosa familia matemática de todos los tiempos, Jakob Bernoulli propuso el siguiente problema:

Encontrar la forma que toma una cuerda (o cadena), perfectamente flexible y homogénea, por la acción sólo de su peso, si sus extremos son fijos.

Durante mucho tiempo se creyó que esa forma era la de una parábola; de hecho el propio Galileo hizo tal conjetura. Se parece mucho, pero no lo es; y un joven de 17 años llamado Christiaan Huygens demostró que no era una parábola, aunque no supo precisar qué forma tenía. Fueron, independientemente, Johann Bernoulli, Leibniz y el propio Huygens los que, en 1691, resolvieron el problema.

Como curiosidad relacionada, cabe destacar que la resolución por parte de Johann Bernoulli de este problema planteado por su hermano Jakob fue el origen de la famosa enemistad entre ambos. Jakob lo propuso, pero no tuvo tiempo de dedicarse a él, pues tenía problemas con la Universidad en la que estaba; así que fue Johann, el hermano menor, el que lo pudo resolver, dejando escrito el siguiente párrafo:

Los esfuerzos de mi hermano no tuvieron éxito; por mi parte tuve más suerte, ya que encontré la manera (lo digo sin vanagloriarme, ¿porqué tendría que ocultar la verdad?) de resolver el problema completamente... Es verdad que me costó una noche entera de esfuerzo que hube de robar al descanso...pero a la mañana siguiente, lleno de alegría, corrí a mi hermano que aún estaba luchando miserablemente con este nudo gordiano sin llegar a ninguna parte, siempre pensando, como Galileo, que la catenaria era una parábola. ¡Detente!, !detente!, le dije, no te atormentes más intentando demostrar la identidad de la catenaria y de la parábola, pues esto es totalmente falso.

Pero dejemos a un lado la historia y pasemos a su verdadera formulación. AVISO A NAVEGANTES: esta parte es bastante técnica, si quieres puedes saltártela y recuperar el hilo del post un poco más abajo. Si sigues por aquí te recomiendo que mires el siguiente dibujo de la catenaria:

En él, la catenaria es la curva azul, cuya ecuación, que queremos calcular, será y(x). Para ello vamos a considerar el arco de catenaria que va de O (el punto más bajo de la catenaria) a un punto cualquiera de ella P (sin pérdida de generalidad, vamos a tomarlo en la parte derecha. Las fuerzas implicadas en dicho arco son T(0), la tensión en el origen; T(x), la tensión en el punto P y P(x), el peso del arco de catenaria que va de O a P. Ambas tensiones son tangentes a la curva en O y P respectivamente. Por último a(x) es el ángulo que forma la tensión en x, T(x), respecto de la horizontal.

Para que el sistema esté en equilibrio, hace falta que la suma de las 3 fuerzas implicadas sea 0, por lo tanto T(0)+T(x)+P(x)=0. Ahora bien, si nos quedamos con las componentes horizontales y verticales, obtenemos que:

• Componente Horizontal: T(0)=T(x) cos(a(x)).
• Componente Vertical: T(x) sen(a(x))=P(x)

Está claro que T(0) es una constante, por lo que podemos despejar y obtener que T(x)=cte/cos(a(x)). Por otro lado, el peso es P(x)=masa·gravedad, pero como la cuerda es homogénea, la masa se distribuye proporcionalmente a la longitud, es decir, masa=densidad·longitud. En resumen, como la densidad y la gravedad son constantes, y la longitud del arco de catenaria es L(x)=∫₀^x ?1+y'(t)² dt, se tiene que T(x) sen(a(x))=cte·L(x). Ahora bien, sustituyendo el valor de T(x), conseguimos que tan(a(x))=cte·L(x). Pero la interpretación geométrica del concepto de derivada nos dice que tan(a(x))=y'(x), por lo que tenemos que y'(x)=cte·L(x). Por último, como L(x) es una integral, podemos derivar para encontrar la Ecuación Diferencial que define a la catenaria: y''(x)=cte·?1+y'(x)² Finalmente basta resolver esta ecuación diferencial en 2 pasos. Primero pasamos la raíz al primer miembro e integramos. Así obtenemos que ArcSenh(y'(x))=cx+d, o lo que es lo mismo, y'(x)=Senh(cx+d). Por último, volvemos a integrar y se obtiene que y(x)=Cosh(cx+d)+e. (AVISO A NAVEGANTES: Vuelve a leer aquí) En resumen, la catenaria es, salvo constantes, la función Cosh(x)=(e^x+e^-x)/2 (coseno hiperbólico).

Ahora que ya sabemos qué ecuación tiene esta apasionante curva, ya sólo nos queda ver sus aplicaciones físicas. Tal y como comenté en la introducción, existen las catenarias ferroviarias. Esos cables que van encima de los trenes reciben este nombre, pero en realidad hay (suele haber) 2 cables. El más bajo, que es (casi) horizontal, es el que lleva la corriente eléctrica. El de arriba, sólo sirve para sostener al de abajo. Éste segundo cable tiene la forma de la catenaria.
Si quieres saber más de las catenarias ferroviarias, puedes consultar el artículo dedicado a las catenarias ferroviarias de la Wikipedia.

Pero la estabilidad de la curva catenaria la hace perfecta para la arquitectura. De hecho un arco con tal forma, será capaz de soportar su propio peso sin sufrir consecuencias. Y de este hecho se dio cuenta un arquitecto español: Antoni Gaudí. Y como ejemplo os dejo una foto de la Sagrada Familia y otra de las Bodegas Güell:
Pero Gaudí no es el único que ha usado esta curva. El finlandés Eero Saarinen también la usó en una de sus obras más impactantes, el arco Gateway:

En fin, como véis una un simple problema sobre cuerdas o cadenas planteado en el siglo XVII, tiene muchísimas aplicaciones a la técnica, al arte y a la arquitectura. Las Matemáticas del pasado aplicadas al presente y, quién sabe, si al futuro.

Tito Eliatron Dixit.

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Referencias

• La curva catenaria, en Física con ordenador
• Matemáticas de la vida misma, de Fernando Corbalán
• Catenaria, Wikipedia en español
• Catenary, Wikipedia en inglés
• Los Bernoulli y la serie armónica, de Tío Petros
• La curva catenaria, de Genciencia
• Catenaria, de Las matemáticas de Mario
• La catenaria (PDF 128Kb), de Carlos Ivorra

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Créditos

• Foto de la catenaria ferroviaria extraída de Wikipedia, obra de Barcex
• Foto de la Sagrada Familia extraída de Wikipedia, obra de Montrealis
• Foto de las Bodegas Güell extraída de Wikipedia, obra de Canaan
• Foto del Arco Gateway extraída de Wikipedia, obra de JNEM
• La Foto inicial y el dibujo intermedio son obra mía

Aritmética y zapatos

La Artimética es el arte de de contar hasta 20 sin quitarse los zapatos

Anónimo (dicho más o menos popular)

Esta genial cita la he encontrado leyéndome un no menos genial libro de Claudi Alsina: El club de la hipotenusa. Este libro es un compendio de diversas anécdotas de matemáticos o relacionadas con las matemáticas escritas con gran sentido del humor y en orden cronológico. En una tarde casi consigo acabarlo, y eso que tiene casi 200 páginas.

Tito Eliatron Dixit.

Probabilidades y la prueba del 9

Hoy viernes toca problema. En la última entrada de este blog, hablamos de La Prueba del 9. Pues bien, a colación de esta entrada se me ha ocurrido el siguiente acertijo probabilístico.

Supongamos que queremos hace la división 9825:65. Si escribimos al azar el cociente y el resto, ¿cual es la probabilidad de que la división pase La Prueba del 9?

Pero pensándolo mejor, quizás se algo más fácil tratar de resolver el problema anterior, suponiendo que tenemos el cociente bien calculado y escribimos el resto al azar o viceversa, tenemos el resto bien y el cociente lo escribimos al azar.

¿Os atrevéis a atacar este problema? Pues ánimo, y a por él.

Tito Eliatron Dixit

La ¿prueba? del 9

Cuando era aún un proyecto de matemático y estaba en primaria (hace ya algunos años) mis profesores me enseñaron a hacer divisiones (¡sin usar calculadora!). ¿Cómo sabíamos si la división estaba bien hecha? Pues era fácil. Recurríamos a la prueba de la división, que consistía en multiplicar divisor por cociente, sumar el resto y comprobar que el resultado era el dividendo. Pero claro, cuando las divisiones eran con cifras con muchos dígitos (3, 4 o más) hacer la comprobación era un ejercicio peor y más tedioso que la división en sí. Por ello, alguna mente privilegiada tuvo la genial idea de inventar otra prueba mucho más simple y fácil de ralizar: La Prueba del Nueve. Y de ella vamos a hablar hoy, aunque quizás haya sorpresas, ya que hoy por hoy (y de hecho, ayer por ayer) ya no se explica.

Vamos a recordar la terminología básica de la división (por si alguien es algo dememoriado). Llamaremos Dividendo al número que queremos dividir; el divisor será el número entre el que queremos dividir; el cociente será el resultado sin decimales, y el resto será lo que sobra. La forma habitual de escribirlo (al menos en España) es la siguiente:

donde D representa al Dividendo, d al divisor, c el cociente y r el resto.

La prueba ordinaria (implícita en el concepto de división) consistía en comprobar que D=d·c+r. Pero claro, cuando dividendo, divisor eran números grandes, la tarea se complicaba. Hasta que nos enseñaban la Prueba del 9.

Esta fácil prueba consistía en lo siguiente. Hacemos dos aspas en el papel bien grandes. Cogemos el divisor y sumamos sus cifras y vamos restándole 9 hasta que el resultado sea un número entre 0 y 8; este resultado, que nosotros llamaremos d₉, lo escribimos en la parte superior del aspa. Repetimos el mismo proceso, pero partiendo ahora del cociente, obteníendose el número c₉ que lo escribiremos en la parte de abajo del aspa. En la parte izquierda escribiremos D₉, que es la misma operación aplicada al Dividendo. Finalmente, repetimos el proceso con el resto, obteniéndose r₉ y en la parte derecha del aspa escribimos d₉·c₉+r₉, y restando tantas veces el 9 como sea necesario hasta obtener un número menor que 9. Algo parecido a lo que veis en el dibujo de abajo:
Si la parte izquierda y derecha del aspa coincidían, nuestra división habrá pasado La Prueboa del 9. Pero es mejor que comprobéis en el siguiente ejemplo (si no lo véis bien, click para ampliar):


Parece que queda claro el mecanismo de esta prueba, pero... ¿porqué funciona? Pues esta prueba funciona, básicamente, por 3 motivos. El primero de ellos es matemático y se basa en la aritmética modular. Si a y a' tienen el mismo resto al dividir entre 9, es decir, a=a' (mod 9) y, análogamente, b=b' (mod 9), entonces a+b=a'+b' (mod 9) y a*b=a'*b' (mod 9). El segundo motivo es la facilidad con que se calcula el resto de dividir entre 9: sumar las cifras del número e ir restando 9 hasta que no se pueda más. En efecto, como cualquier potencia de 10 es un múltiplo de 9 más 1 (10=9+1; 100=99+1; 1000=999+1;...), entonces cualquier número (de 4 cifras para abreviar) puede escribirse como abcd=d+10c+100b+1000a, por lo tanto abcd (mod 9)= d+10c+100b+1000a (mod 9) = d+c+b+a (mod 9).

Cualquier lector un poco ducho en la materia comenzará a tener sospechas, y con razón. Todo lo que hemos hablado funciona en un único sentido: Si una igualdad es cierta, entonces también es cierta módulo 9. El problema es que al revés no funciona: hay muchos números que tienen el mismo resto módulo 9, con lo que La Prueba del 9 puede pasarse aun habiéndonos equivocado en las cuentas.

Como observaréis, he hablado de que esta prueba funcionaba por 3 motivos y sólo he planteado 2. El tercer y último motivo por el que la prueba funciona es que cuando nos equivocamos al hacer este tipo de cuentas, los errores son en una cifra; digamos que nos solemos equivocar por poco. Luego entonces, habría que ver cuándo falla La Prueba del 9. Es fácil darse cuenta que 2 número con 2 cifras intercambiadas tendrán el mismo resto módulo 9, por ejemplo 147 y 174. También si en un número sustituimos un 0 por un 9 o viceversa, como por ejemplo 191 y 101 (recordad que hacer resto módulo 9 es sumar las cifras e ir restando 9).

Por lo tanto esta prueba no es infalible. Hay divisiones mal hechas que superan La Prueba del 9, como por ejemplo: 1911:13=174 y resto 0 (comprobadlo vosotros mismos). En general, si una división está bien hecha, seguro que superará La Prueba del 9, pero si una división está mal hecha, puede que la pase o puede que no. Lo que también es cierto es que si una división no supera La Prueba del 9, entonces seguro que está mal hecha. Digamos que, en resumen, esta prueba sólo nos sirve para detectar si hemos dividido mal. Supongo que este es el motivo por el que se dejó de utilizar en las escuelas esta prueba en beneficio de la tradicional, que esta sí que es infalible.

Tito Eliatron Dixit.

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REFERENCIAS:

• Prueba del Nueve en Wikipedia.


• De la prueba del 9 (PDF, 36 Kb), artículo de Carlos Fernández, del IES Aramo de Oviedo.


• La prueba del 9 (PDF, 96 Kb), artículo de Pedro Rupín, de la web El Agujero.
• Tradición familiar

Pedagogía y pseudociencias

PEDAGOGÍA: Brujería disfrazada de medicina. Pseudociencia tan ignorante
que ignora su propia ignorancia.

Extraído del Diccionario LOGSE-Castellano
Vía Los Matemáticos no son gente seria

Además de darme un jartón de reir con algunas definiciones de este genial diccionario, he querido destacar esta curiosa definición de pedagogía. En mi descargo (y el del autor del diccionario) quiero decir que esta definición ha de entenderse en el conjunto de la LOGSE, sé que la pedagogía es mucho más. Pero teniendo en cuenta esta maravillosa Ley educativa que tenemos y recordando mi periodo de 3 meses de C.A.P., no puedo estar más de acuerdo con lo que la LOGSE entiende por pedagogía.

¿Algún profesor en la sala quiere hacer comentarios al respecto?

Tito Eliatron Dixit.

¿Paradoja?

Bicheando un poco por mis blogs favoritos, me tropiezo de nuevo con Brown Sharpie y otra de sus magníficas viñetas matemáticas:

- La Paradoja de Zenon dice que nunca podré abandonar esta habitación.
- ...
- Gracias a Dios por los límites.

(negritas mías).

En fin, no dejéis de visitar este genial blog.

Tito Eliatron Dixit

La esfera cornuda de Alexander

No es lo mismo la Esfera cornuda de Alexander, que la esfera del cornudo de alexander. No. Así que cuidado con lo que leemos. Una vez hecha esta advertencia inicial, veamos que al Tito Eliatron no se le ha ido la cabeza (o sí) y leamos de qué va este artículo.

Hace unos días hemos podido disfrutar en Gaussianos de una entrada sobre El Teorema de la Curva de Jordan. Éste teorema viene a decir que en R² una curva cerrada, simple (es decir, que no se corta a sí misma), divide al plano en dos componentes conexas (en cada una de las partes, 2 puntos cualesqueira pueden unirse sin levantar el lápiz del papel). Un resultado que parece evidente, pero cuya demostración no es para nada trivial. Pero esto no queda aquí, sino que, además, cada una de las partes es homeomorfas (tiene las mismas propiedades topológicas) a las partes en que la circunferencia divide al plano, es decir, hay una parte de dentro o acotada y una parte de fuera o no acotada, igual que el círculo y el exterior del círculo.

La pregunta es si este mismo resultado, tal cual, es válido en el espacio R³. Es decir, si S es una superficie, cerrada que no se autointersecta, entonces divide al espacio en 2 partes, homemomorfas, respectivamente, a cada una de las partes en que la esfera divide al espacio. Es cierto que una superficie así, divide al espacio en 2 partes: la parte de dentro o parte acotada y la parte de fuera o parte no acotada, como en el caso del plano. Pero... ¿tendrán las mismas propiedades topológicas que las partes correspondientes de la esfera? En este caso la respuesta es NO y el ejemplo es, precisamente, La Esfera Cornuda de Alexander. En particular, este curioso objeto dividirá al epacio en 2 partes, pero la parte exterior no va a tener las propiedades topológicas que el exterior de la esfera. Vamos a concretar esto un poco más y vamos a conocer a este objeto.

La esfera cornuda fue introducida en el mundo matemático por James Alexander (que le cedió su nombre) allá por 1925. Explicado de forma rápida, la Esferea Cornuda de Alexander es una esfera a la que le salen 2 cuernos que quieren pero no se tocan; de los extremos de cada cuerno, salen 2 nuevos cuernos que se entrelazan con los otros. Sí es un poco complejo explicarlo con palabras, por lo que os voy a dejar el siguiente vídeo creado por investigadores de la Universidad de Hannover:


Para que os hagáis una idea global de cómo es este curioso objeto, os dejo también una imagen en la que la esfera es más bien un anillo (pero topológicamente, tienen las mismas propiedades):



Ya conocemos el objeto, pero ¿cómo sabemos que tiene esa extraña propiedad de la que hemos hablado? Vayamos paso a paso. En concreto, vamos a comprobar que el exterior de la esfera tradicional y el exterior de la esfera cornuda no son homeomorfos. En particular ocurre lo siguiente.

Una esfera tradicional podemos rodearla con un lazo y este lazo no atrapa la esfera, es decir, la esfera se escapa del lazo. Comprobadlo en el siguiente dibujo:



Sin embargo, si hacemos lo mismo con la esfera cornuda, teniendo cuidado de pasar el lazo entre los priemros cuernos, entonces la esfera quedará atrapada por el lazo, es decir, jamás podremos sacar la esfera cornuda, sin cortar el lazo:



Se podría decir que el interior (parte acotada) de la esfera cornuda de Alexander, se parece (en realidad es homeomorfo) al interior de la esfera, mientras que el exterior de la esfera cornuda de Alexander se parece más al exterior de un toro:



En resumen, para que el Teorema de la curva de Jordan, enunciado al principio, pueda extenderse a dimensiones superiores (se conoce como Teorema de Jordan-Browder), hace falta que la superficie (hipersuperficie, en general) cumpla alguna condición extra de regularidad, como por ejemplo, ser compacta. Pero esto ya es harina de otro cantar costal.

Tito Eliatron Dixit.

ACTUALIZACIÓN: La Esfera Cornuda está en Meneame, gracias al usuario tollendo.

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Créditos:

• Dibujo inicial extraído de MathWorld, original de Simon Fraser, y representa al matemático John H. Conway con una cornamenta semejante a la Esferea Cornuda de Alexander.
• Imagen de esfrera cornuda de fondo azul (y derivados) extraída de Wikipedia (dominio público)
• Resto de imágenes creadas por el autor mediante Wolfram Mathematica.

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Referencias:

• La esfera cornuda de Alexander y El teorema de la curva de Jordan del blog Topología I.
• Alexander's Horned Sphere de Wolfram MathWorld.
• La esfera cornuda de Alexander del blog Juegos Topológicos.
• Artículos de la Wikipedia en Español e Inglés.

Proposiciones sin demostración

No creo que sea totalmente inútil plantear aquellas proposiciones que son muy probables aunque falte una verdadera demostración, pues aun cuando se descubra que son incorrectas, pueden conducir al descubrimiento de una nueva verdad

Christian Goldbach, vía Boletín 180 de la RSME

Cualquiera que lea esta frase y su autor, automáticamente pensará en la famosa Conjetura de Goldbach, de la que ya hablamos indirectamente en este blog y que dice lo siguiente

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Otro hecho que viene a mi memoria a tenor de la cita son los famosos 23 problemas de Hilbert, muchos de los cuales han servido para desarrollar la matemática moderna.

¿Se os ocurren algunos otros ejemplos relacionados? ¿Pensáis igual que Goldbach?

Tito Eliatron Dixit.

Conjuntos y medias

A tenor del último post de este blog, y recordando haber leído lo que os voy a proponer por ahí (lo siento, no recuerdo dónde fue, si alguien lo sabe, que lo comente y daré el crédito oportuno), hoy os traigo un pequeño problema para que penséis:

Encontrar dos conjuntos de números (pueden repetirse los números) tales que si trasladamos un número del conjunto A al conjunto B (es decir, quitamos un número de A y lo ponemos en B) la media de ambos conjuntos aumente.

¿Es posible? ¿siempre? ¿nunca? ¿a veces? En este últim caso... ¿cuando es posible? En fin, muchas preguntas para el viernes.

Tito Eliatron Dixit.

Medias para ir a la moda

No, no me he vuelto loco. No vamos a hablar de la moda en el sentido fashion ni de las medias que aparecen en la imagen. Hoy vamos a hablar un poco de estadística, pero de la facilona.

Todo comienza con una paradoja (en el sentido que atenta contra nuestra primera intuición) que leí en el libro Ajá! Paradojas de Martin Gardner. Os la voy a comentar.

Un codiciado empleado llega a una empresa que lo quiere contratar, pero antes quiere saber algo más de la empresa y de los sueldos. El empleado pregunta acerca del sueldo medio de la empresa, ante lo que el Director le responde que éste asciende a la nada despreciable cifra de 2.500€ mensuales. El empleado se queda perplejo ante tal afirmación y sin dudarlo firma el contrato, sin saber exactamente lo que iba a cobrar. Cual es su sorpresa cuando, al cabo del primer mes, en su cuenta corriente le ingresan sólo 1.000€.

Muy molesto con el Director, va a verlo a su despacho y le acusa de haberle mentido en la entrevista de trabajo sobre el sueldo medio, ante lo cual el director le dice:

- Nada más lejos de la realidad. En esta empresa trabajamos 30 personas en total. 25 de ellas sois empleados, que cobráis cada uno 1.000€ mensuales; mientras que los otros 5 somos directivos y cobramos mensualmente 10.000€. Si hace usted la cuenta, el sueldo medio de la empresa es de 2.500€ mensuales.

¿Cuál ha sido el problema de nuestro empleado? Pues que preguntó por la media y no por la moda. ¿Pero qué es esta jerga? vamos a explicarlo.

Supongamos que tenemos una tabla (o lista finita) de datos numéricos. La media (o media aritmética) es un parámetro estadístico que se calcula sumando todos los valores de la tabla y dividiendo entre el número total de datos obtenidos. En el ejemplo de la empresa anterior, nuestra tabla tendría 30 entradas, 25 de las cuales serían iguales a 1.000 y las 5 restantes serían 10.000. Por tanto la media de esta tabla de valores (el sueldo medio) resulta ser
Sueldo Medio=(25*1.000+5*10.000)/30 = 75.000/30=2.500 Por tanto el director de la empresa no mintió.

Por otro lado, la moda es otro parámetro estadístico que se calcula observando cuál es el valor que más veces se repite en nuestra tabla de datos. En el caso de del ejemplo anterior, la moda sería, evidentemente, 1.000.

¿Dónde está el problema? Pues en que estamos demasiado acostumbrados a entender que la media es un parámetro que representa, por sí mismo, a la tabla completa, y esto no siempre es así. De hecho, según el DRAE, en su 34ª acepción, la media es un

número que resulta al efectuar una serie determinada de operaciones con un conjunto de números y que, en determinadas condiciones, puede representar por sí solo a todo el conjunto.

(negritas mías). Es evidente que la media, por sí sola, no siempre nos da una información veraz sobre una tabla de datos. Es por ello que, acompañando a la media está la desviación típica, que es un parámetro que mide cómo de alejados están los valores de la tabla de la media. Mientras menor sea este nuevo parámetro, mejor. La desviación típica se calcula sumando las diferencias al cuadrado de cada valor de la tabla respecto de la media y dividiendo entre el número total de entradas y a dicho resultado le hacemos la raíz cuadrada. En nuestro caso Desviación Típica=[(25*(1.000-2.500)²+5*(10.000-2.500)²)/30]^1/2 = [337.500.000/30]^1/2 =√11.250.000 = 3.354'1 es decir, nuestra desviación típica es bastante mayor que la media (aproximadamente 1'5 veces mayor). Esto nos indica que los datos están muy dispersos y que la media no es una buena aproximación del comportamiento típico de nuestros valores.

Como conclusión de todo esto, deciros que no siempre la media es una buena medida de lo típico. Para calibrar esto, necesitamos, además, otros parámetros como es la desviación típica o la moda.

Como añadido a todo lo dicho, deciros que en Estadística se utiliza la Media Aritmética, pero que para tablas de valores existen otros tipos de medias como son la media geométrica por ejemplo. Ésta última, que siempre será menor que la aritmética, se calcula multiplicando todos los valores de la tabla y haciendo después la raíz N-ésima, siendo N el número total de datos.

Así que ya sabéis. Ahora que proliferan datos estadísticos en telediarios, periódicos y medios digitales, tened un poco de precaución si os hablan de la media y pensad que no siempre es lo típico. A veces la moda nos da una información más cercana a la realidad. Ya lo dijo el gran Bernard Shaw:

La estadística es una ciencia que demuestra que si mi vecino tiene dos coches y yo ninguno, los dos tenemos uno.

Tito Eliatron Dixit.

ACTUALIZACIÓN: El artículo ha sido meneado por raskalakabra. Si quieres puedes votarlo desde aquí.

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Fotografía obra de zurZa y extraída de su Flickr

Sentido común

En el fondo, la teoría de probabilidades es solo sentido común expresado con números.

Pierre Simon de Laplace

Yo siempre tuve más o menos la misma impresión que Laplace. De hecho, pienso que una parte importante de la Matemática es sólo sentido común bien escrito. ¿Pensáis lo mismo?

Tito Eliatron Dixit.

¿Ángeles o Demonios?

Trasteando por internet, llegué a la página de una antigua compañera (no, ella no es la antigua) y me topé con esta pequeña discusión acerca del origen del Álgebra:

Dios: AHH! Álgebra. ¡Una de mis más maravillosas creaciones!
Demonio: ¿TU creación?

Desacuerdo sobre el origen del álgebra.

Y vosotros, ¿qué opináis? ¿es el álgebra una creación divina o demoníaca?

Tito Eliatron Dixit.