¿Es posible que sumando cosas cada vez más pequeñas al final lleguemos al infinito? Dicho en lenguaje matemático, ¿existen series divergentes cuyo término general tiende a cero? La respuesta es que claro que sí. Y seguro que te ha venido a la mente EL EJEMPLO clásico: La serie armónica. En este artículo vamos a ver alguna forma de probar que la serie armónica es divergente.
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| Idea extraída de aquí |
Una de las demostraciones más sencillas se apoya en la relación que hay entre series e integrales.
Llamemos
![[;H_n=1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tfIX07EZ50BUDD2591jFd57SWvQDrJtjaDWiLTmRp6TcSMbSQYGN_qVb7xijavPXHiGQY70gKQAKVC5pebtj8PytobBXHLgIKU7kHE4uhfmvwvVDRKJKekSXAo_rzwgcCnwh39FJr3yCSdQH6jhuxIKYWoDg7mpyRs_y1OkYw=s0-d "H_n=1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}")
a la suma parcial enésima de la serie armónica. Comencemos hablando un poco del logaritmo:
![[;\log(n+1)=\int_1^{n+1}\frac{1}{x}\,dx =\sum_{k=1}^{n}\int_{k}^{k+1}\frac{1}{x}\,dx < \sum_{k=1}^n\int_k^{k+1}\frac{1}{k}\, dx=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=H_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tbgMNhGD5r6E16wQfwpGyr3c7D_r4bfbI7py4ulG-JAaH56jGt0yBTvWdpkVEMLH-WcBClxggbb8TDLw7NJuNLfAgYtf2LTfvVKotsTe3t1jGM3eLgnHh7vBz6cgJL5bxOcMjtQV2clxBDMnbQDqNlOSpusxWy-FdCo8lyO6ANzb0vClxzfHvZ6FfLCZHFqfn47tuTGqpmE5-pQlFKEwjdOG_mezCaPOBtHIDef9YKPP3kd_LO4dOfFWd-ePkmw8D782T1Rbh4w2a2A_PK3tXGvsOK2499DN24eJSCa9rFHIpZ0RLMlq03RDTjz2_dj6Ji33xEiwxq3MrvoPvmjxf0NVLwoap7b1wBM3jk3fDQF6-YYZMELv_DIUIbOX7f7Q8wGyoUx9maFNGl3pkDI7kzgPBfbN6b2lNyw1IrEm6VvRtgdXFBK2eb1BVfD1v40lV2GIE9zw=s0-d "\log(n+1)=\int_1^{n+1}\frac{1}{x}\,dx =\sum_{k=1}^{n}\int_{k}^{k+1}\frac{1}{x}\,dx < \sum_{k=1}^n\int_k^{k+1}\frac{1}{k}\, dx=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=H_n")
![[;H_n>\log(n+1);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t84VbSLNpoU3mx8B3HuHRypyEG-psWIebVpTtHXWsUha-YX0uvpxPx5_y4GD7EvqPvEtKRDyS-zDT_H0v-v1UJLBh6eoDtFf9vDlyQBzgp8CY7ddRG-w=s0-d "H_n>\log(n+1)")
, de donde se deduce que![[;\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=\lim_{n\to\infty} H_n=+\infty;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uiG8bmXyxQjnPRy5t5PSO-g2GPGvVAhEBJJ_5rRee4M-QOIg-X3O_hhuczb97RvSU04jIDE4M3DDv_mrNAnoYaFxmzKr8j4IagRUu3vcRPo7VLec_sLU2UmxTOYdLGXHpRWjeRUOFP0JVwgFkHiq3-tvG2dj2_YS-hf0_wU5hMmYa5lj6CQzPn_C2g6g2hJw4_dD84LfGYnRx9RhNYzWf0YEGw=s0-d "\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}=\lim_{n\to\infty} H_n=+\infty")
Vale, esta demostración es un poco tramposa precisamente porque hace uso de la relación entre integral y serie. De hecho no muestra realmente cómo se produce la divergencia. Vamos a ver ahora otra demostración muy sencilla que extraje de la web de Leo Goldmakher (concretamente de aquí).
Supongamos, por reducción al absurdo, que la serie armónica es convergente y que su suma es ![[;H;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tW3qeWCmkzPyADStAsKsdUKE-h5vwSd-FjJVSGizf7xPuDhfGtmW2J9kS1j4W-_QJzGsGJ3HCKg6MVEWQsfz2mCWdEJenG=s0-d "H")
, es decir,
, es decir, ![[;H=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\dots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vjpQKvOdbhzOH8KggOmiL0hY8-Ldigu-l3EmZ1wgnBVn-_RAwzS0oEX8f24sHV5WX9KnicyxPXVPFyPCeHJSXOJR92EXP7_1QVT9BnPndMkiY579xdsZ5RWRUtFXDC3Q9pj912ys9REI3DCcGM4UR4xkfKqNHVHw-c8Yx9DY4tMRGECARHk_27kVlJNACpuzkbvuq3NVQ8XLl351TPPFpZDrUSecKbNVdtoBI20mUYmLaIZpMJE4zc9Z7jDKFYpqF8gk2D_yDpldsnR2i0uHGuIlMphkCcNv57j3pHXktlM3DGxed3feCgfgnA=s0-d "H=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\dots")
En general se tiene que ![[;1/n>1/(n+1);]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_unXafi62o0rN4_79mJfqNr5h3KnlkCJDPyf0-LZRQmTW1PfGvcQzuDrmzBu-Xj9AM2LYocvkVmL89CsDX47oXZG9JjphIQpNj2BxNanBl19dxO=s0-d "1/n>1/(n+1)")
, por lo que podemos afirmar que
, por lo que podemos afirmar que![[;H>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\cdots;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tTPuf6VoqF0NrJzS-WXLK8ofwfEmrqRgJE0IPNQqn33ICG13RIUdvjyc7oVY9Taq9Z-0p113qMvc3i1urzLu0SIhUzZmrwG4qIiK2JtkGfmNzK_5DEhIc-hASDvmT4vQ8J8EJcgtuULMUJgYQyQQdau6CrW3uzhmly7auw9z4UJB1Ez-9FZj7I-jg0OXGOExCa5WmHvk3XCG6UpkpLOwDxuHa7HIlAZYJC8H5IBUcZz6DCZG7g-YNhs3OdoaEPOB09FOR7F69MSQSqgpseJz6DPFo-3SePRjZTwgDu_DpCXXquzzZwy5deKophQUVqxftBJO0efcs8x9RmIP_0tcg-1_i6A9tCvOAc2LhkIpS_eT8jajOr1KQLKhDqYig-0Rc=s0-d "H>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\cdots")
Si ahora sumamos cada paréntesis llegamos a que
![[;H>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}\right)\dots=\frac{1}{2}+H>H;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u8avFf8WpGyUhemtwgsBYFc8oZzmOI_yW_keZBhwr8z9DF7cX3gq7KYQVVHr_ayX2aeN9Eu2qcK6qMMjoIe6oFXcfr4XS7sqPVWmrZc2ZH8UwqEZ-tBw_B2LzgNSI14-LB7EFjvQ78qssvz1z8VBAbd1sSPltYsqmRE214b7W5M_BxXpuh00hgSVPG9D990WEFTseaZ-beaWCscquwlqiz2-WdgrU4MejF7Y--POy00Hx-iywvWiBKDxtrj2neywO_VQB5xPNv0qI49xLvn5qs3oDzHPyD9gchWt26Mhtn3_GGu_Fh2wTV4ybR6TQCDbohAsidxAFvC1g=s0-d "H>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}\right)\dots=\frac{1}{2}+H>H")
lo que nos lleva a una clara contradicción. Por lo que la serie armónica no puede ser convergente.
Tal y como apunta el autor de esta demostración, tiene una ventaja con la demostración clásica. En ella, se van agrupando cada vez más términos (de una potencia de 2 a la siguiente) y esto puede hacer que el alumno se pierda. En esta versión, se agrupan términos de 2 en 2, lo que hace las cosas algo más sencillas.
Ya vosotros elegís lo que os gusta más. Yo ya he cumplido. A disfrutar.
PD: Esta entrada participa en la Edición 6.9: Conjunto de Cantor del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog ::ZTFNews.org.
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