miércoles, 14 de abril de 2010

Cómo sumar los naturales y no morir en el intento

Las series divergentes son una invención del diablo. Usándolas se puede llegar a cualquier conclusión y es así cómo estas series han dado lugar a tantas falacias y paradojas
Niels Henrik Abel

Ya los dijo Abel hace mucho tiempo, que esto de sumar infinitas cosas nos iba a traer problemas. Pero esto a Euler no le impidió hacer verdaderas maravillas con ellas.

Si os pregunto cuánto vale la suma de todos los números naturales, probablemente casi todos me diréis que es infinito, y estaréis en lo cierto... siempre que sentemos las bases clásicas de las series infinitas.

Para sumar una serie infinita, lo que hacemos es ir viendo las sumas parciales, es decir, truncando la serie y quedándonos con una cantidad finita de términos. Cada vez, vamos añadiendo un nuevo término y así vamos obteniendo una sucesión de números cada vez más cercanos a la (presunta) suma, que será el límite de estas sumas parciales.

Esto es grosso modo el método clásico de sumación y, según éste, la serie de los números naturales es divergente, es decir, suma infinita. Pero Euler era de todo menos clásico, así que simplemente hizo algunas manipulaciones. Antes, se decidió calcular cuánto valía la suma de los naturales, pero alternando el signo, es decir, 1-2+3-4+5-6+.... para lo que hizo lo siguiente.

S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . . .
S =   + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . .
S =   + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . .
S =       + 1 - 2 + 3 - 4 + . . . . . . .
--------------------------------------------
4 S = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . .

Por lo tanto, la suma anterior es S=1/4.

Esto no es demasiado extraño ni alejado de lo clásico ya que si desarrollamos en series de potencias la función 1/(1+x)^2 resulta que
1/(1+x)^2=1-2x+3x2-4x3+...
y este desarrollo es válido cualquiera que sea el valor de x entre -1 y 1. En principio, el -1 debería estar excluido, epro si hacemos x=-1 en la expresión anterior, resulta que nos da, precisamente, que S=1-2+3-4+...=1/4.

Ahora estamos en disposición de sumar los números naturales, según la versión de Euler.

   z(s) = 1-s + 2-s + 3-s + 4-s + ...
2-sz(s) = 2-s + 4-s + 6-s + ...
Ahora, a la primera suma, le restamos 2 veces la segunda y obtenemos
(1-2·2-s)z(s)=1-s-2-s+3-s-4-s+ ...

Finalmente, haciendo s=-1, se obtiene que
-3(1+2+3+4+...)=1-2+3-4+....

Y como ya habíamos visto que esta última suma era 1/4, resulta que
1+2+3+4+...=-1/12

Paradójico, ¿verdad? Pues lo mejor de todo es que todos estos cálculos se pueden hacer rigurosos, ya que la expresión z(s) que hemos utilizado es, en realidad, la función Zeta de Riemann que está perfectamente definida para todo número complejo s≠1. Así que, en el fondo, Euler no andaba muy desencaminado.

Pero es que la cosa no queda aquí, es que este cálculo dibaólico es el que justifica que la Teoría Bosónica de Cuerdas funcione en las 26 dimensiones que debe funcionar. Pero esto ya es harina de otro costal.

Sólo finalizar esta entrada con el peor chiste de matemáticas de mundo que dice lo siguiente:
Esto es un número infinito de matemáticos que entran en un bar. El primero pide una cerveza. El segundo pide media cerveza. El tercero pide un cuarto de cerveza… Entonces el camarero dice «¡Idiotas!» y les pone dos cervezas.

Pues bien, gracias a los cálculos que hemos realizado, y como bien apuntan en God Plays Dice, este chiste se puede mejorar de la siguiente forma:

Esto es un número infinito de matemáticos que entran en un bar, uno de los cuales lleva ya una cerveza enla mano. El primero pide una cerveza. El segundo pide 2 cervezas, el tercero 3 y así sucesivamente. Así que el camarero coje la cerveza que traían y les quita, exactamente 1/12 de ella. Y todos los matemáticos se fueron contentos.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Esta entrada va a formar parte de la III Edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión será el blog Geometría Dinámica.


Referencias:
1-2+3-4+..., en la Wikipedia.
My Favorite Numbers, de John Baez.

6 comentarios:

  1. Muy buena entrada, Eliatron!

    Sorprendente tanto por lo que cuentas como por la genialidad de Euler.

    Además, he de reconocer humildemente que me he reído con el chiste, aunque sí que es malo :D

    Un saludo.

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  2. ¿Lo que dice la entrada es verdad? No encuentro el fallo.

    En cuanto al chiste a mi no me parece el peor del mundo, me he reído bastante.

    Saludos

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  3. Esto, evidentemente, no es correcto (desde el punto de vista clásico).

    Para sumar una serie, ANTES, hay que estar seguro de su convergencia. Entonces y sólo entonces, se puede manipular como Euler lo hizo.

    Euler (creo) propuso todo esto para demostrar, en cierto modo, lo acertado de la cita inicial.

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  4. No me he enterado muy bien de que va la cosa, pero tratare de esforzarme un poco mas para entenderlo, pues aunque sea de letras puras, quiero aprender a hacer derivadas e integrales. Me lo he propuesto

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  5. La formula es 1/(1-x)^2 deberian cambiarlo para que la gente no entre en confusiones

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Si no comentas, Gauss se comerá una integral.
Y, por favor, respeta a todos con tus opiniones.

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