Números primos y decimales de π

Esta entrada es una Inocentada

Que el número $\pi$ tiene algo especial, ya lo sabemos todos. Que algo extraño pasa con los números primos, también lo sabemos. Pero el que mejor conoce a ambos es el matemático australiano Terry Tao. Y es él quien ha descubierto recientemente una curiosa relación entre ambos.

Terry Tao y un servidor en Sevilla en 2008

Todos sabemos que Terry Tao, medalla Fields en el año 2006, es, probablemente, el matemático que mejor ha escudriñado en los secretos de los números primos (véase la charla que dio en Sevilla en 2008).  Además, su insaciable sed de conocimiento le ha llevado a poner en marcha los proyectos PolyMath en los que matemáticos de todo el mundo colaboran para resolver problemas de extrema dificultad.


Como consecuencia de uno del proyecto número 12 Understanding the behavior and structure of covering arrays parece ser que Tao ha encontrado una fórmula para encontrar el enésimo número primo, sea cual sea el natural $n$ elegido. Y la sorpresa está en que dicha fórmula está estrechamente relacionada con el número $\pi$.

En un addenda a un post de hace menos de 1 año, Tao explica cómo obtener dicha fórmula. Si mi inglés no me falla, viene a ser lo siguiente.

El enésimo número primo comenzará en la posición que determine el siguiente polinomio de grado 20.

Aquí os lo dejo en formato seleccionable:

-(11097956568928106344073156323/3707614147359906201600000) + ( 9701484620203607114942329806996213637439557 \ x)/1798770602759360671761704945713152000000 - ( 1865960907891724133695294819313681230134691 \ x^2)/449692650689840167940426236428288000000 + ( 142617819273634020074402518167184243654387 \ x^3)/78207417511276550946161084596224000000 - ( 810766608093296211486899318836622380657 \ x^4)/1572351925488951636155336491008000000 + ( 391986509283556574408350594244628359339 \ x^5)/3910370875563827547308054229811200000 - ( 393118003976760651689912799774016074763 \ x^6)/28105790668115010496276639776768000000 + ( 1102175072739216540766295131539061409 \ x^7)/763484975704312679016003796992000000 - ( 4603107306145014554683949841193059209 \ x^8)/40881150062712742540038748766208000000 + ( 6058061272338282612380932439414245459 \ x^9)/899385301379680335880852472856576000000 - ( 8227503902595352481618225288551 \ x^10)/26374935524330801638734676623360000 + ( 10103333554558194371247288696311131 \ x^11)/899385301379680335880852472856576000000 - ( 70705834594569768505891386800543 \ x^12)/224846325344920083970213118214144000000 + ( 3060232208366048996721415612229 \ x^13)/449692650689840167940426236428288000000 - ( 44227044952848142710426373 \ x^14)/393087981372237909038834122752000000 + ( 125226026245005007073446693 \ x^15)/89938530137968033588085247285657600000 - ( 11211107104619920570851521 \ x^16)/899385301379680335880852472856576000000 + ( 136970215563112821332669 \ x^17)/1798770602759360671761704945713152000000 - ( 892012488203717873 x^18)/3144703850977903272310672982016000000 + ( 5425784489122493 x^19)/11172488215896650135165869228032000000

Según dice Tao, su fórmula no detecta la primera aparición (que es lo que hasta ahora se ha estado buscando) sino que afirma que en dicha posición comienza el enésimo primo y que, posiblemente, pueda aparecer antes alguna vez.

Por ejemplo, podéis comprobar (yo lo he hecho con el Mathematica) que la fórmula dice que el 5 aparece en la 10ª posición (cosa que es cierto), pero este número también aparece en las posiciones 4 y 8 de $\pi$.

Este nuevo descubrimiento puede parecer una mera curiosidad. Pero la potencia actual de los ordenadores permite hacer una búsqueda extremadamente rápida y precisa en una cadena numérica extra larga. Y esto es un problema. Pues toda nuestra seguridad informática radica en la dificultad de encontrar números primos. Si este descubrimiento se confirma y llega a malas manos, el sistema de seguridad de internet puede caer en segundos.

Estaremos pendientes de confirmaciones.

Tito Eliatron Dixit