El Cuerno de Gabriel o las matemáticas de la vuvuzela.

Cuenta la leyenda, que un día el Arcángel San Gabriel hará sonar su cuerno.

Extraído de Flickr

  Y entonces comenzará el Apocalipsis


Escena extraída de Así en el cielo como en la tierra
Pero tranquilos, ¿eh? que aún no ha llegado el día del Juicio Final, ni siquiera el del EXAMEN FINAL (por ahora sólo vamos por los Primeros Parciales). Además, esto es un blog de matemáticas y de matemáticas vamos a hablar. En concreto del objeto matemático conocido como Cuerno de Gabriel o Trompeta de Torricelli. (en honor a Evangelista Torricelli quien, al parecer, ideó este objeto allá por 1641).

En primer lugar, vamos con la descripción. Consideremos la curva de ecuación $f(x)=\frac{1}{x}$:

Pero quedémonos solo con la parte que va desde $x=1$ hasta $+\infty$ y hagámosla rotar alrededor del eje $OX$.

Lo que nos queda... es una vuvuzela:

solo que ésta llega (por el lado derecho) hasta el infinito haciéndose cada vez más y más estrecho.

Pues bien, señores, como antaño no conocían las grandezas de los animadores futboleros sudafricanos, a semejante objeto tuvieron a bien ponerle el nombre de Cuerno de Gabriel o Trompeta de Torricelli, teniendo el primero de ellos un nombre así como APOCALÍPTICCO.

Y es que las propiedades de este objeto matemático en su día casi resultan apocalípticas.

En primer lugar, ¿Qué área hay entre el trozo de hipérbola y el eje $OX$? Basta resolver una sencilla integral impropia:
$$A=\int_1^{+\infty}f(x)\,dx =\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx=\ln(x)\bigg|_1^{+\infty}=\ln(+\infty)=+\infty.$$

Más aún, ¿Cuánto mide el área de la superficie de revolución que genera?

$$S=2\pi\int_1^{+\infty}f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx\ge2\pi\int_1^{+\infty}f(x)\,dx=2\pi A=+\infty$$ luego $S=+\infty$. Vamos, que nuestra vuvuzela infinita se genera a partir de un área infinita y para recubrirla necesitamos una cantidad infinita de papel de regalo.

Hasta aquí todo normal (salvo el dinero que nos gastaríamos si quisiéramos regalar a alguien una trompetita de estas). Lo chungo viene ahora. ¿Cual es el volumen que encierra la vuvuzela? Vamos allá:
$$V=\pi\int_1^{+\infty}f(x)^2\,dx=\pi\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx=\pi\left(\frac{-1}{x}\bigg|_1^{+\infty}\right) =\pi\left(\frac{-1}{+\infty}-\frac{-1}{1}\right)=\pi.$$

¡Ahí va, mi madre! Un chisme que necesito una cantidad infinita de papel de regalo para envolverlo... pero sólo necesito una cantidad finita ($ \pi\, ua^2$) de pelotillas de papel para rellenarla. O visto de otro modo. Si quieres pintar por dentro tu vuvuzela infinita, en vez de pasar la brocha por la superficie (cosa que te saldría carísimo) te trae más a cuenta ponerle un tapón en el infinito y llenarla de pintura líquida. ¿Es o no es APOCALÍPTICO este objeto matemático?

Todo esto no deja de ser una mera anécdota hoy en día. Pero en el siglo XVII todo esto del infinito no se acababa de comprender bien y generaba bastantes quebraderos de cabeza a la sociedad matemática contemporánea. Cosas del Cálculo Infinitesimal.

Pero aquí no queda la cosa. Hemos encontrado un objeto de revolución con superficie lateral infinita y volumen finito: un sólido que se puede rellenar pero no pintar. ¿Existirá un objeto que se pueda pintar pero no rellenar? Más matemático, ¿habrá un objeto (de revolución) con superficie lateral finita pero volumen infinito?

Gracias a van Maanen [1] sabemos que NO. Vamos a precisar un poquito más (y simplificar algo). Supongamos que tenemos una función $\displaystyle f:[1,+\infty)\to[0,+\infty)$ continua y derivable (y con derivada continua, por si acaso) y sea $C$ el cuerpo de obtenido al girar alrededor del eje $OX$ el recinto $\{(x,y)\in{\mathbb R}^2:\ 1\le x,\, 0\le y\le f(x)\}$.

Lo que vamos a demostrar es que si la superficie lateral de $C$ es finita, entonces su volumen también lo será.

En primer lugar vamos a demostrar que una tal función debe ser acotada en todo el intervalo $[1,+\infty)$. A ver si lo podemos hacer de forma geométrica. Imaginad que la función explota en algún punto $a\in[1,+\infty)$ y elijamos un intervalo de la forma $(a,b)$ en donde $f$ sea continua y derivable y todo lo demás. Ahora construyamos el plano perpendicular al eje de rotación que pasa por $x=a$ y proyectemos el trozo de superficie entre $x=a$ y $x=b$ sobre dicho plano. ¿Veis que claramente el área de dicha proyección debe ser menor que la superfice lateral de ese trozo de cuerpo? Vale. Y ahora decidme, ¿cuánto vale el área de esa proyección? Pues como la función explota en $x=a$ dicha área será infinita, luego la superficie lateral de un trozo de $C$ también lo será. Luego la función no puede explotar en ningún punto y un razonamiento similar puede hacerse en el infinito.

En la imagen se ve que la proyección será una corona circular que, a medida que el objeto de revolución se aproxima al punto donde explota la función, la circunferencia superior se hace más y más grande cada vez.

Que no te convence esta prueba, vamos a hacerlo de forma analítica (recordad que $f(x)\ge0$) y llamemos $S$ a la superficie lateral de $C$:
$$\limsup_{x\to+\infty}\left|f(x)^2-f(1)^2\right|= \limsup_{x\to+\infty} \left|\int_1^x\left(f(t)^2\right)^\prime\, dt \right|\le \int_1^{+\infty}\left|\left(f(t)^2\right)^\prime\right|\, dt =$$ $$=2\int_1^{+\infty}f(t)|f'(t)|\,dt \le 2\int_1^{+\infty}f(t)\sqrt{1+f'(t)^2}\,dt= \frac{S}{\pi}<\infty$$
Por tanto la función $f(x)^2$ ha de ser acotada y, como $f(x)\ge0$, también estará acotada $f(x)$.

Por tanto, existe $M>0$ tal que $f(x)\le M$ para todo $x\ge 1$ y tendremos que:
$$V=\pi\int_1^{+\infty}f(x)^2\,dx\le M\pi\int_1^{+\infty}f(x)\,dx \le \frac{M}{2}\left(2\pi\int_1^{+\infty} f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\, dx\right)=\frac{M}{2}\cdot S<\infty$$


En resumen, si un sólido de revolución (sobre $[1,+\infty)$) se puede pintar, entonces también se puede rellenar. Y en realidad el intervalo $[1,+\infty)$ se puede sustituir por cualquier intervalo no acotado.

Tito Eliatron Dixit

PD: Este post participa en la Edición 7.X del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el Blog del IMUS.


Referencias:

[1] J. van Maanen, Alluvial deposits, conic sections, and improper glasses or history of Mathematics applied in the classroom. En  F. Swetz, J. Fauvel, O. Bekken, B. Johansson, and V. Katz (Eds.) Learn from the masters, 73-92. Washington, DC (1995), Mathematical Association of America.
[2] M. Rogers, Gabriel's other possessions, en PRIMUS 22 (4), 338-351
[3] Wikipedia, Gabriel's Horn.