La vida secreta de los números. Parte III: De cero a lo más complejo.

El presente artículo es la segunda parte de "La Vida Secreta de los Números" que fue publicado en verano de 2012 en el nº2 de la Revista Amazings (hoy Naukas).

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Hasta ahora hemos visto cómo se construye el edificio matemático de los números y cómo comienza la historia de la construcción humana de los mismos. Aunque ambos comiencen igual, ya hemos apreciado bastantes diferencias. Y la cosa aún es más diferente a partir de ahora.

Y el cero encontró su sitio.


El siguiente gran descubrimiento numérico es la aparición del cero. Son diversas las culturas antiguas (Egipto, Babilonia o Grecia) de las que se dispone de documentos matemáticos o astronómicos en los que aparecen símbolos indicativos de la nada, pero por diversas particularidades de sus sistemas de numeración no siguieron avanzando en el concepto numérico del cero. En particular, la primera aparición de un símbolo para este número tiene lugar en las postrimerías de la civilización babilónica. Aunque su sistema de numeración era de carácter posicional, ya vimos que ante la ausencia de una determinada posición, no escribían símbolo alguno. Sin embargo en sus dos últimos siglos de historia, alrededor del año 400 de nuestra era, aparece un rudimentario símbolo (dos cuñas) para indicar que en esa posición no hay número. El cero acaba de entrar en escena, al menos, como símbolo o signo de puntuación.

Glifo maya para el cero

En la América precolombina también se tiene constancia del uso del cero. Concretamente, el calendario de tres posiciones de la cultura maya, implica el uso de algún símbolo (glifo) para la ausencia de unidades en determinadas posiciones. En cualquier caso, parece que el uso del cero en el continente americano es anterior a los mayas y se cree que su verdadero origen data de la cultura de los olmecas.

En Europa, el primer documento en el que aparece un símbolo para el cero (un círculo con una pequeña barra sobre él) es de Claudio Ptolomeo en el Almagesto (año 150 de nuestra era). Simplemente se trata de retomar el clásico sistema posicional babilónico con un símbolo específico. Sólo unos pocos astrónomos siguieron esta notación que pronto cayó en desuso.

Pero sin lugar a dudas la principal aportación al concepto de cero se produce en la cultura hindú (y que nos llega gracias a la civilización árabe). De hecho, la palabra cero, etimológicamente proviene de la transcripción del sánscrito (shunya) al árabe (sfir). En la obra Brahmasphutasiddhanta (en torno al 650 de nuestra era) es donde podemos decir que el cero es tratado, por primera vez, como número de pleno derecho. En ella se trata con detalle la numeración posicional y se estudian las diferentes operaciones aritméticas con respecto al cero (y a otros números). Quizás lo más sorprendente es que se afirma que $0/0=0$, mientras que $a/0$ (con $a\ne 0$) es simplemente la fracción que tiene por denominador al $0$ (os recuerdo que tanto $0/0$ como $a/0$, no tienen sentido como operaciones aritméticas). Todas estas aportaciones llegaron finalmente a occidente gracias al matemático árabe, Al-Juarizmi.

Y llegaron las deudas: los números negativos.

Tal y como ocurre hoy en día en los colegios, la mejor forma de entender y aceptar los números negativos es hablar de deudas y beneficios. Y así surgen por primera vez estos números.

Sus primeros pasos los dan en la obra Jiuzhang Suanshu (Nueve capítulos sobre el Arte de las Matemáticas), un documento compilado a lo largo de varios años y que algunos investigadores datan en torno al comienzo de nuestra era. En esta obra se habla, entre otros muchos problemas, de temas de contabilidad y finanzas (capítulos VI y VII) y resolución de ecuaciones lineales (Capítulo VIII). En este último, se trata de explicar el concepto de número negativo. Como curiosidad, y al contrario que nuestras costumbres actuales, se utilizaban cuentas rojas para los números positivos y negras para los negativos.

Sin embargo, durante mucho tiempo, los números negativos no calaron en los matemáticos del momento. Y no lo hicieron porque las matemáticas se dedicaban a resolver problemas eminentemente geométricos, por lo que las soluciones negativas eran consideradas como absurdas, tal y como apostillara Diofanto en su Arithmetica sobre el siglo III de nuestra era.

Nuevamente la contabilidad hizo que los negativos volvieran a aparecer en la matemática hindú. Y lo hicieron gracias, en parte, al desarrollo que se hizo del concepto de cero. Otra vez en la obra Brahmasphutasiddhanta se tratan soluciones negativas de problemas geométricos y se utilizan los números negativos para obtener una fórmula para las soluciones de una ecuación de segundo grado, muy similar a la actual.

Esultura de Fibonacci
Camposanto monumentale. Pisa

En occidente, sin embargo, los números negativos no llegan hasta que Leonardo de Pisa (Fibonacci) publica su Liber Abaci (alrededor del año 1202). En esta magnífica obra no sólo divulga las bondades del sistema de numeración posicional árabe (derivado del hindú y que usamos hoy en día) sino que de nuevo se tratan problemas financieros y busca soluciones de ecuaciones de tercer grado (usando, otra vez, números negativos). Estas técnicas le llegaron de sus viajes por los países árabes y de aprender los métodos hindúes a través de los libros de Al-Juarizmi.

La aceptación final de los números negativos en Europa, surge a raíz de la aparición de las coordenadas cartesianas en geometría y su aplicación a los problemas de esta índole. Sin embargo, hasta el siglo XVIII aún era común descartar las soluciones negativas a los problemas de carácter geométrico, debido, en gran parte, a su relación con magnitudes de tipo longitud, área o volumen, en donde carecen de significado físico.

Y una variable no fue suficiente: los números complejos.

Girolamo Cardano

Las primeras referencias conocidas a raíces de números negativos provienen del trabajo del matemático griego Herón de Alejandría (siglo I de nuestra era). Sin embargo, éstas surgen como resultado de un error de cálculo en la sección de una pirámide y rápidamente es descartada (los números negativos no tenían sentido para los griegos) y sustituida por la raíz del mismo número pero positivo.

En el siglo XV, Chouquet en su Triparty trata, entre otros temas, la resolución de ecuaciones. Y en algún caso concreto llega a la conclusión de que la solución debería ser la raíz de un cierto número negativo. Sin embargo para él, tal número no tiene sentido.
 
Realmente la verdadera aparición de los números complejos tiene lugar en la Europa del siglo XVI. Tartaglia y Cardano buscaban soluciones a ecuaciones de tercer grado. Pero cuando la ecuación cúbica poseía tres raíces reales, las fórmulas obtenidas conducían a raíces de números negativos. Estos extraños números eran la clave para concluir su trabajo así que había que tratar de contar con ellos. En cualquier caso, Cardano los cataloga como meras manipulaciones sutiles pero inútiles y los llama fantasmas de los números reales. Sin embargo, otro colega suyo, Bombelli, tiene una idea loca y comenzó a trabajar con pares de estos números (hoy son los que llamamos conjugados, misma parte real y partes imaginarias opuestas). Es él quien concreta las reglas específicas para sumar y multiplicar números en los que intervienen raíces de negativos.

Fórmula de Euler
Brazo de @EugenioManuel
Tatuadora: Icíar Orozco

Fue Descartes quien acuñó el término imaginario para raíces de números negativos en 1637. trataba de hacer notar que dicha operación era imposible, por lo que en un principio tenía la intención de que fuera algo despectivo. Unos años más tarde, Leibniz ya los trataba como anfibios que nadaban entre la existencia y la no existencia.

Un primer impulso a estos nuevos conceptos llegó de la mano de una de las más privilegiadas mentes matemáticas de toda la historia: Leonhard Euler. De él es la actual notación de $i$ para representar a la unidad imaginaria $\sqrt{-1}$. A partir de aquí resultó mucho más sencillo manipular expresiones en las que intervenían este tipo de números y así obtener resultados en el cuerpo de los reales. De esta forma, el propio Euler llegó a la identidad que hoy lleva su nombre y que, en un caso particular, también es conocida como la fórmula de Dios o la fórmula más bella.

Portada de la obra De Algebra Tractatus
con grabado del autor

Pero el empujón final que terminó de popularizar el uso de los complejos fue la interpretación geométrica de estos números como puntos del plano. Esta idea había sido ya sugerida en 1685 en el De Algebra Tractatus de John Wallis, pero realmente fue Caspar Wessel quien en 1799 la introdujera de forma rigurosa. Unos años más tarde, Jean-Robert Argand redescubría esta interpretación y gracias a él, Carl Friedrich Gauss la conoció y terminó de popularizarla. Hoy se conoce como Plano de Argand al plano formado por los números complejos.


Y seguimos más allá: cuaterniones y octoniones.

Placa conmemorativa de la invención de los cuaterniones.
Broom Bridge in Dublin.

Hasta aquí hemos visto los números más conocidos. En la construcción de los conjuntos numéricos, nos detuvimos en este punto. Sin embargo los matemáticos no han parado y han continuado ampliando el concepto de número.

El procedimiento que permite pasar de los reales a los complejos (la construcción de Cayley-Dickson) puede aplicarse, partiendo de los complejos, para llegar a un nuevo conjunto numérico, los cuaterniones, definidos por Hamilton en 1843 y que tienen dimensión 4. Y si partimos de los cuaterniones, llegamos a otro conjunto de números llamados octoniones (Graves y Cayley 1843 y 1845), de dimensión 8. En cada uno de estos pasos, sin embargo, se pierden propiedades interesantes e importantes de los números, como conmutatividad del producto (el orden de los factores aquí sí que altera el producto) o la distributividad del producto (no es lo mismo $a\cdot (b\cdot c)$ que $(a\cdot b)\cdot c$, el orden en que se hacen las operaciones sí influye). Y podríamos seguir aplicando este procedimiento y doblando en cada paso la dimensión. Pero estos conceptos dan ya para otro artículo.

Conclusión.

Queridos lectores, si habéis llegado hasta aquí, enhorabuena. Creo que habréis aprendido, como yo, muchas cosas de nuestros viejos conocidos los números. Nos habían hecho creer que su vida era demasiado estricta y rigurosa, pero en realidad su historia es la historia de las matemáticas. Asociado a cada descubrimiento numérico van de la mano muchos de los más importantes avances matemáticos. Podríamos concluir diciendo que la vida secreta de los números, su historia, nos revela la evolución de las Matemáticas.

Dedicado a mi padre con motivo de su jubilación.


Tito Eliatron Dixit

PD1: Puedes descargar el artículo completo a través de idUS.

PD2: Esta entrada participa en la Edición 8.6 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matemático Soriano.