Un rectángulo de sobremesa

Os voy a proponer un problema que me planteara el gran Claudi Alsina cuando estuvo por Sevilla hace ahora casi 2 años.

Coged un folio. Para que no haya problemas con posibles deformaciones, coge una cartulina de tamaño A4, por ejemplo. Situadla de forma que uno de los vértices (y sólo 1), esté tocando la mesa; el resto de vértices, estará por encima de ella. La pregunta es ¿qué relación hay entre las alturas de estos 3 vértices?

Para centrar ideas, os dejo con un applet de GeoGebra que yo mismo he diseñado






Quiero dejar constancia que este applet no hubiera sido posible sin el curso que mis amigos Mariano Real y Pepe Muñoz Santonja me dieron sobre GeoGebra.

ADDENDUM: Si queréis, os dejo con una demostración analítica

Es claro que , pero como es un rectángulo (de hecho, basta con que sea un paralelogramo), se tiene que , luego . Tomando como , llegamos a que y, por tanto, tomando las alturas de estos 3 puntos, resulta que .

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 6.7 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es Matifútbol.