La vida secreta de los números. Parte I: Números y su construcción.

El presente artículo es la primera parte de "La Vida Secreta de los Números" que fue publicado en verano de 2012 en el nº2 de la Revista Amazings (hoy Naukas).

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Cuando uno ve un número, automáticamente piensa en Matemáticas. Se podría decir que son el alfabeto de esta ciencia. Sin embargo, cuando uno se adentra en su conocimiento le produce algo de respeto. En este artículo pretendemos despojarlos de ese temor que suelen infundir y presentarlos tal y como surgieron. Para ello, vamos a ver su construcción y a contemplar la verdadera historia de los números, de la forma más cronológica posible. ¿Estáis preparados para conocer (una parte) de la verdad?

¿Qué es un número?

Comencemos por el principio, que para algo vamos a contar. ¿Qué es un número? Se trata de una pregunta muy simple… pero cuya respuesta no parece serlo.

Los números son esos símbolos que utilizamos para contar, podríamos pensar. Esta definición, quizás la más intuitiva (la que daría cualquier niño), puede satisfacer a muchos, pero si lo pensamos bien, sólo contempla a los números naturales (1, 2, 3,…) ¿Qué pasa con los negativos? ¿Y con el 0? ¿Qué ocurre con las fracciones? Hay que ampliar este concepto.

Según la Real Academia Española, en su primera acepción (la correspondiente a matemáticas), un número es la expresión de una cantidad con relación a su unidad. Esta definición puede resultar bastante satisfactoria. Nuestra intuición puede que nos deje tranquilos: ya tenemos la respuesta. Pero si uno busca la definición de cantidad, la sexta acepción (de nuevo, la matemática) nos dice que se trata del número que resulta de una medida u operación. Vaya, una definición circular: un número es una cantidad, y una cantidad es un número. Bueno, no nos pongamos quisquillosos. Todo tiene arreglo.

Para centrar ideas, podemos pensar que un número es la representación matemática de una cierta magnitud (longitud, área, volumen,…), y en cierto modo esta definición sí aparece en el Diccionario de la Real Academia Española (primera acepción de cantidad: porción de una magnitud). Pero si la aceptamos, ¿qué significa una longitud o un área negativa? Parece que algo sigue fallando.

Tener una definición concreta y exacta de lo que es un número parece, pues, una ardua tarea. Lo es. Euclides, Leibniz, Kant… son tres ejemplos de pensadores que trataron de dar una respuesta. Según el Nobel de Literatura Bertrand Russell, la respuesta no llega hasta que Frege la proporciona en sus Fundamentos de la Aritmética (1884). Pero esta definición es poco manejable.

Un número es cualquier cosa que es el número-de-clase de alguna clase, 

donde un número-de-clase

es la clase de todas aquellas clases que son semejantes a ellas.

De la necesidad de contar, a la filosofía, pasando por la geometría. El concepto de número resulta algo esquivo. Vamos a conformarnos con ir construyendo nuestros números de una forma consistente y luego veremos cómo van surgiendo históricamente.

La construcción de los números.

Para construir nuestro edificio, debemos partir de lo más básico. Y en nuestro caso se trata de los números naturales. Dijo Leopold Kronecker que

Dios inventó los naturales, el resto es cosa del hombre. 

Posiblemente, Kronecker tuviera en mente lo que vamos a ver a continuación.

Nuestra construcción parte de los números naturales (que se denotan por $\mathbb{N}$), es decir, 1, 2, 3, 4,… Estos números surgen de la necesidad que tiene el hombre de contar (de ahí la ausencia del 0). Sin embargo, a la hora de construir un edificio consistente, conviene incluir el 0 en este conjunto.

Varios han sido los matemáticos que han intentado fundamentar el concepto de número natural. En particular, destacamos a Cantor, quien se basó en su Teoría de Conjuntos para definir los naturales a partir del conjunto vacío; y a Peano, quien desarrolló una definición axiomática de los naturales, partiendo de la existencia de un primer elemento (el cero, por ejemplo) y estableciendo una serie de reglas de sucesores.

Los números naturales los podemos sumar y el resultado es otro número natural (más grande, obviamente). Podemos decir que la suma es una operación que se comporta bien con los números naturales. El siguiente paso consiste en restar. Si a un número natural le restamos otro más pequeño volvemos a obtener un número natural. Pero si le restamos otro más grande, el resultado ya no es un natural: obtenemos un número negativo. En este caso, decimos que la resta no es una operación interna en el conjunto de los naturales.

La solución a este problema es inventar un nuevo conjunto numérico, los números enteros (que representaremos por $\mathbb{Z}$). Este nuevo conjunto contiene a todos los naturales y todos los números negativos. Ahora sí que podemos hacer restas de todo tipo entre los números enteros con la seguridad de que el resultado seguirá estando en $\mathbb{Z}$. En este conjunto, la resta sí es una operación interna.

Perfecto, los números enteros los podemos sumar y restar. Incluso los podemos multiplicar, si atendemos a la regla de los signos. Pero… ¿qué ocurre si queremos repartir cosas? O dicho de otro modo, ¿qué pasa con la división? En $\mathbb{Z}$ hay muchas divisiones cuyo resultado son de nuevo enteros, por ejemplo $4/2=2$, $6/(-3)=-2$ ó $27852969751/115327=241513$. Pero hay muchos otros cocientes, cuyo resultado se escapa de nuestro conjunto $\mathbb{Z}$ y ¿cuál es la solución? Crear un nuevo conjunto.

En efecto, como la división no es una operación interna en los enteros, surgen los números racionales y que denotaremos por $\mathbb{Q}$. Estos números son aquéllos que se pueden escribir como cociente (fracciones) de dos números enteros, con la salvedad de que el 0 no puede ser el divisor (denominador). De esta forma, la división se convierte en una operación interna en los racionales (exceptuando el 0, que siempre se quita al hablar de cociente para evitar problemas).

Con los racionales hemos llegado a una de las metas principales: ahora tenemos un conjunto de números en el que podemos sumar, restar multiplicar y dividir (excepto entre cero) sin necesidad de preocuparnos por si el resultado se sale fuera de nuestros límites. Además, estas operaciones se comportan muy bien unas con otras, tanto que el conjunto $\mathbb{Q}$ con las operaciones + (suma) y * (producto) adquiere una estructura de cuerpo. Y esto en matemáticas implica que tiene buenas propiedades.

Pero los racionales, a pesar de todo lo dicho, no son lo mejor que podemos conseguir, ya que siguen teniendo problemas. Quizás el más importante aparece cuando efectuamos las divisiones. Si procedemos por el método que nos enseñan a todos en el colegio (el de Euclides), nos damos cuenta de que los decimales que obtenemos o son finitos o son periódicos. Antes o después se repiten los mismos decimales. ¿Qué ocurre si pienso en un número cuyos decimales estén desordenados? O mejor dicho, ¿qué ocurre si los decimales carecen totalmente de un patrón de repetición determinado? Así, el número de Champernowne 0,12345678910111213141516171819202122… no es un número racional, pues ni es finito, ni sus decimales se repiten a partir de cierto momento. Nos hemos salido de los racionales.

Si hacemos un ejercicio mental y ponemos a todos los elementos de $\mathbb{Q}$ en línea recta, nos percatamos de que ésta tiene agujeros. Agujeros muy pequeños, infinitesimales, pero agujeros. Eso sí, siempre seremos capaces de encontrar un racional tan cerca como queramos de cada agujero. Y viceversa, tan cerca como queramos de un racional, hay un agujero. Los matemáticos decimos que tanto los racionales como los agujeros son densos en la recta.

El problema de los agujeros pone de manifiesto que se hace necesario ampliar el conjunto de los racionales. Y la idea de terminar de llenar la recta se nos presenta como la más adecuada. Ahora disponemos de un nuevo conjunto, los números reales $\mathbb{R}$, en el que están incluidos los racionales y cualquier decimal infinito y sin patrón de repetición definido. Estos últimos números, los irracionales, son precisamente estos agujeros que faltaban a los racionales para completar la recta.

Pero los reales, a pesar de seguir teniendo buenas propiedades (también tienen estructura de cuerpo), no resuelven todos los problemas. Elevar un número real al cuadrado es fácil, basta multiplicarlo por sí mismo. Sin embargo, si pretendemos extraer raíces cuadradas, esto no siempre es posible. Y el fallo surge con ejemplos muy sencillos: $\sqrt{-1}$. Esta simple operación no puede resolverse dentro del cuerpo real y se hace necesario ampliar nuestro conjunto.

Los números complejos, que se denotan por $\mathbb{C}$, son la suma de un número real y otro imaginario. Si llamamos i a la unidad imaginaria ($i=\sqrt{-1}$), los podremos escribir como $a+bi$, donde $a$ y $b$ son números reales. Los complejos contienen a los reales y además también tienen estructura de cuerpo. Por el camino no hemos tenido que pagar un precio demasiado alto. Los complejos son un cuerpo no ordenado. Podemos encontrar formas de ordenar los complejos, pero estos órdenes no pueden ser compatibles con el producto (más concretamente, con la regla de los signos).

La llegada de los complejos trae consigo uno de esos resultados que deberían enmarcarse en cualquier clase de matemáticas: el Teorema Fundamental del Álgebra. Este teorema afirma que cualquier polinomio (una expresión del tipo $-5x^4+3x^3-2x+3$) con coeficientes complejos, posee exactamente tantas raíces (soluciones, iguales o no, de la ecuación resultante de igualar el polinomio a 0) como grado tenga el polinomio.

Continuará

Vamos a detenernos aquí. La construcción que hemos visto de los diferentes conjuntos numéricos, a veces se cuenta como historia. Quizás desde un punto de vista didáctico y a niveles básicos de enseñanza, pueda resultar interesante contar esta construcción de forma simplificada. Sin embargo, lo que hemos visto es una abstracción matemática. El resultado final de un elaborado proceso de pensamiento. La cronología de la aparición de los diferentes tipos de números no sigue esta lógica matemática. ¿Quieres hacer un viaje a través de los números y del tiempo?

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Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 8.4 “Matemáticas de todos y para todos” del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matematicas Cercanas.