Tito Eliatron Dixit: Pon orden... si puedes

viernes, 26 de junio de 2015

Pon orden... si puedes

Foto extraída de luispita.com

Una de las ramas más interesantes de las matemáticas (por lo menos para el que os escribe) es la variable compleja. Ya hemos hablado varias veces en este blog sobre cosas que pasan allí (aquí o aquí). Pero en esta ocasión vamos a ir, quizás a lo más simple. Al primer hecho que debe hacer ver a cualquier estudiante que los complejos son diferentes. Que algo raro tiene que pasar con ellos.
En este artículo vamos a demostrar que los complejos no pueden ser un cuerpo ordenado.

Para mi gusto es, quizás una de las demostraciones más bonitas que se pueden hacer. Antes de empezar, tendremos que ver qué significa estar ordenado.

Consideremos u conjunto cualquiera de cosas u objetos matemáticos y llamémoslo $[;A;]$ . Pues bien, diremos que $[;A;]$ es un conjunto ordenado si existe una relación de orden $[;\preceq;]$ (es decir, una forma de relacionar 2 elementos de $[;A;]$ ) que cumple las siguientes propiedades (que podemos considerar como axiomas):

Es reflexiva: $[;\forall a\in A;]$ , se tiene que $[;a\preceq a;]$ .
Es antisimétrica: $[;\forall a,b\in A;]$ , si $[;a\preceq b;]$ y $[;b\preceq a;]$ , entonces $[;a=b;]$ .
Es transitiva: $[;\forall a,b,c\in A;]$ , si $[;a\preceq b;]$ y $[;b\preceq c;]$ , entonces $[;a\preceq c;]$ .
Es total: $[;\forall a,b\in A;]$ , o bien $[;a\preceq b;]$ o bien $[;b\preceq a;]$ .

Vale, pero si queremos hacer esto con los números complejos, resulta que éstos tienen estructura de cuerpo. Así que la relación de orden debe llevarse bien con las operaciones propias del cuerpo complejo: suma y producto.

Así pues, si nuestro conjunto $[;A;]$ tiene estructura de cuerpo, se deben cumplir los dos siguientes axiomas

Compatibilidad con $[;(+);]$ : $[;\forall a,b,c\in A;]$ , si $[;a\preceq b;]$ , entonces $[;a+c\preceq b+c;]$ .
Compatibilidad con $[;(\cdot);]$ : $[;\forall a,b\in A;]$ , si $[;0\preceq a;]$ y $[;0\preceq b;]$ , entonces $[;0\preceq a\cdot b;]$ , (donde $[;0;]$ es el elemento neutro de la operación $[;+;]$ ).

Pues ya podemos ver que el cuerpo $[;\mathbb{C};]$ de los complejos no puede estar ordenado.

Como $[;0,i\in\C;]$ , el axioma de totalidad (4) nos permite dos opciones, o bien $[;0\preceq i;]$ o bien $[;i\preceq 0;]$ . Además, no se pueden dar las dos a la vez, ya que si así fuese, el axioma (2) nos diría que $[;i=0;]$ y eso sabemos que no es verdad (claro, $[;i^2=-1;]$ pero $[;0^2=0;]$ ).

Así pues, tenemos dos opciones mutuamente excluyentes:

Si fuese $[;0\preceq i;]$ , entonces por el axioma (6), $[;0\preceq i\cdot i=i^2=-1;]$ . O sea, que el número $[;-1;]$ debe ser positivo.Claro, aquí los alumnos ya dicen que debe haber alguna contradicción... pero se equivocan. ¿Qué pasa su el orden $[;\preceq;]$ en $[;\mathbb{C};]$ alterara el orden en $[;\mathbb{R};]$ ? Pues que la cosa sería aún más rara. Pero tranquilos que esto no se para aquí.

Como $[;0\preceq -1;]$ , entonces, de nuevo el axioma (6) implicaría que $[;0\preceq(-1)(-1)=1;]$ ; pero por el axioma (6), si $[;0\preceq -1;]$ , entonces $[;1=0+1\preceq -1+1=0;]$ . En resumen, tenemos que $[;0\preceq 1;]$ y que $[; 1\preceq 0;]$ luego debería ser $[;1=0;]$ lo cual no es cierto.

Vale, pero es que hay otra posibilidad. ¿Qué pasa si fuese $[;i\preceq 0;]$ ? En este caso, el axioma (5) nos diría que $[;0=i+(-i)\preceq 0+(-i)=-i;]$ . Por tanto $[;0\preceq -i;]$ y el axioma (6) diría que $[;0\preceq(-i)\cdot(-i)=-1;]$ . Ahora basta con proceder como en el caso anterior para llegar a la misma contradicción.

¿Que los complejos se pueden ordenar? Eso sí es cierto. Basta con ordenarlos primero por sus partes reales y luego por las imaginarias; o primero por sus módulos y luego por sus argumentos (tomados en $[;[0,2\pi);]$ por ejemplo). Lo que acabamos de demostrar es que sea cual sea el orden que definamos en $[;\mathbb{C};]$ , éste no respeta las operaciones básica de suma y producto. Y si os fijáis bien, la que mete la pata es, fundamentalmente, el producto.

Tito Eliatron Dixit

PD: Este post participa en la edición 6.5 “primos de Mersenne” del Carnaval de Matemáticas, alojada en el Blog del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla