Ir a la Parte I - Parte III.
Lo que habéis leído en la Parte I de este artículo no es la verdadera cronología de la aparición de los números. Lo que vais a leer a continuación tampoco lo será en un sentido estricto. Los diferentes conceptos numéricos han tenido muy diversos orígenes tanto en el espacio como en el tiempo. Desde un punto de vista formal, sería una historia de los números bajo la mirada de occidental (de Europa, concretamente). Y es que aunque nos sintamos el centro de la historia, al menos en matemáticas (que es de lo que yo sé, y no demasiado) resulta que hay muchas culturas con aportaciones tremendamente importantes y sin las cuales las matemáticas no podrían haberse desarrollado.
Y el hombre creó los números naturales.
Históricamente, los primeros números de los que se tienen noción son los naturales y surgen de la necesidad del hombre de contar. Pero estos números no aparecen tal y como los conocemos ahora, es decir, como todos los miembros de la sucesión 1, 2, 3, 4… sin fin. Ante las necesidades propias del hombre primitivo, tan sólo los primeros naturales son los que verdaderamente se hacen necesarios. Más allá del 7 o el 8, todo se convierte en un simple mucho.
Hoy en día se pueden encontrar tribus con costumbres primitivas y aisladas de la verdadera civilización cuyo sistema de numeración (o mejor dicho, su forma de expresar verbalmente los números) es bastante rudimentario. Así, algunos nativos del Estrecho de Torres (que separa Australia de Nueva Guinea) utilizan el vocablo urapun para representar la unidad y okosa para representar la paridad (el dos); cuando quieren decir tres no tiene más que sumar y decir okosa-urapun y si lo que les preocupa son 5 pescados, basta con decir okosa-okosa-urapun. Es muy posible que algo similar ocurriera con nuestros antepasados.
De todas formas, el hecho de que los hombres primitivos sólo tuvieran percepción de unos pocos números naturales no es nada extraño. También nos pasa a todos nosotros. Vamos a poner a prueba nuestra propia percepción de los números.
A continuación voy a mostrar un dibujo dividido en dos partes. En cada una de ellas hay una cantidad determinada de objetos (manzanas, en particular). El objetivo es el siguiente: sin contarlos, es decir, a simple vista, ¿cuántas manzanas hay en la imagen de la izquierda? ¿y en la de la derecha?
Prácticamente a todos los lectores les habrá resultado sencillo ver que eran 3 las manzanas de la imagen de la izquierda, mientras que no creo que hayáis sido muchos los que hayáis dicho que en la imagen de la derecha había 9. Y si lo habéis dicho, muchos de vosotros sois unos mentirosos por haber contado.
Pues esto mismo ocurría en la antigüedad. El hecho de que no seamos capaces de percibir visualmente las cantidades hizo necesario el surgimiento de los números: los naturales. Podríamos decir que el dedo es más poderoso que el ojo.
Poco a poco, las necesidades del hombre hicieron que se necesitara algo más elaborado que los sistemas okosa-urapun. Esta nueva contabilidad se llevaba a cabo mediante piedras: 1 por cada objeto a ser contado. El uso de piedras o calculi en el conteo, da origen etimológico a nuestro cálculo actual.
Hueso de Ishango |
Con esta forma de llevar la contabilidad es claro que se impone ir agrupando los símbolos (o piedras) para no acabar con un buen montón de ellas. Así surgen los sistemas de numeración que combinan el principio aditivo (ir sumando símbolos de la unidad) con el multiplicativo, creando símbolos nuevos para grupos de 5, 10, 50, 60… unidades. Uno de los más conocidos es el clásico sistema de numeración romano (aunque con reglas más complicadas en las que también interviene, en cierto modo, la posición).
Y llegaron los racionales: fracciones babilónicas y egipcias
En cuanto las civilizaciones avanzaron, pronto surgió la necesidad de expresar numéricamente partes de un todo. No pensemos en los típicos trozos de tarta, porque dudo que a orillas del Nilo hubiese. Pensemos mejor en partes de terrenos, o cualquier otra cuestión relacionada con la agrimensura.
Ejemplo de tablilla babilonia: Plimpton 322 |
Papiro de Rhind |
Ejemplos de fracciones egipcias. |
Y se perdió la razón: los números irracionales.
Acabamos de ver que los egipcios, a través de su particular forma de escribir las fracciones, podían trabajar con cualquiera de ellas. Las bases de los números racionales estaban sentadas. Estos conceptos fueron poco a poco extendiéndose hasta llegar a la cultura griega, en donde adquirieron una nueva dimensión.
Busto de Pitágoras |
Un grupo que se significó mucho en las cuestiones numéricas (y en otras menos científicas) fueron los integrantes de la escuela pitagórica, seguidores de Pitágoras de Samos. El lema de los pitagóricos es “todo es número”, lo que podemos interpretar como “todo era mensurable” o expresable en términos de números naturales y sus razones, los números racionales. Es a partir de este momento que la razón entre dos medidas, es decir, una medida racional, pasa a ser algo común en la cultura griega. Los racionales ya se han integrado en nuestras vidas.
Pero la gran aportación de los griegos y de los pitagóricos en particular (en torno al año 500 antes de nuestra era), es el descubrimiento de los números irracionales. La filosofía pitagórica, hemos visto, estipulaba que todo en el mundo era expresable a través de naturales o sus razones. Sin embargo la aparición del famoso Teorema de Pitágoras cambiaría esta visión del mundo.
Demostración visual del Teorema de Pitágoras |
El Teorema de Pitágoras establece que si tenemos un triángulo rectángulo y levantamos un cuadrado sobre cada uno de los tres lados, la suma de las áreas de los cuadrados levantados sobre los catetos (los que forman el ángulo recto) coincide con el área del cuadrado levantado sobre la hipotenusa (la diagonal). Este resultado ya aparece en algunas tablillas babilónicas como mera enumeración de ternas pitagóricas (es decir, números naturales $m$, $n$ y $p$ que cumplen $p^2=m^2+n^2$). Pero no es hasta la llegada de la matemática griega (y de la escuela pitagórica) cuando se establece como enunciado general. Pasa de ser una colección de casos particulares a ser un teorema cierto en todos los casos.
Si tomamos un cuadrado de lado 1, el Teorema de Pitágoras asegura que su diagonal es un número cuyo cuadrado es 2. Hoy en día lo conocemos como $\sqrt2$, pero en aquella época era algo bastante extraño. Durante mucho tiempo, y siguiendo su lema de “todo es mensurable” los pitagóricos trataron de encontrar una forma de expresar esta cantidad como cociente de números naturales. Todo intento resultó infructuoso. Pero tanto trabajo dejó como fruto la asombrosa conclusión de que $\sqrt2$ no es racional. Todo un terremoto intelectual.
Este descubrimiento atacaba la línea de flotación de su idea numérica del mundo, iba contra toda lógica. De ahí que comenzaran a llamar a estas cantidades alogos (sin-lógica o sin-razón, es decir, irracionales). Pero no quedó ahí la cosa. Los pitagóricos eran una suerte de secta matemática y sus descubrimientos (en particular los que atentaban contra sus ideas) no podían ser desvelados.
Espiral de Teodoro |
Al parecer, uno de los miembros de la escuela, Hipaso de Metaponto, no cumplió el voto de silencio que pesaba sobre la irracionalidad de $\sqrt2$, por lo que la hermandad pitagórica lo habría expulsado de la escuela. Cuentan las leyendas que para demostrar al mundo que Hipaso estaba muerto para los pitagóricos, se levantó una tumba con su nombre. Otras versiones afirman que los propios miembros de la hermandad pitagórica hicieron que el barco en el que Hipaso huyó de su ciudad naufragase. Pero claro, esto entra en el mundo de las leyendas. Quizás sólo fuese expulsado por meras discrepancias de carácter político y su naufragio se tratase de un terrible accidente.
De todas formas, según dice Platón en Teeteto, parece ser que Teodoro de Cirene ya habría probado también la irracionalidad de $\sqrt3$, $\sqrt5$ hasta $\sqrt{17}$. Con la llegada de Eudoxo de Cnido se estableció rigurosamente el concepto de irracional a través de una teoría general de proporciones que permitía trabajar con los inconmensurables.
Bastante después, el matemático egipcio Abu Kamil (entre el año 850 y el 930 de nuestra era) se considera que fue el primero en aceptar los números irracionales como soluciones de ecuaciones de segundo grado o como coeficientes en una de ellas, normalmente en forma de raíces cuadradas, cúbicas o cuartas. En el siglo X la matemática árabe proporciona ya pruebas generales (en lugar de las demostraciones geométricas) de la irracionalidad de ciertos números. Todos estos conceptos fueron llegando a Europa a través de las traducciones latinas del siglo XII.
Ir a la Parte I. Continúa leyendo la tercera parte de esta entrada en este mismo blog.
Tito Eliatron Dixit
PD: Esta entrada participa en la Edición 8.5 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es, en esta ocasión, Santi García desde Raíz de 2.
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