¡Vaya Cuerpo!

Pues no, no vamos a hablar de este tipo cuerpos, sino del concepto matemático de Cuerpo, es decir, de estructuras algebraicas. En particular, nos vamos a centrar en los cuerpos numéricos.

En principio, un cuerpo es una estructura algebraica sobre un conjunto de elementos (vulgarmente llamados cosas) en el que hemos definido 2 tipos de operaciones: la suma (+) y el producto (*). En principio, estas operaciones no tienen porqué ser lo que nosotros entendemos habitualmente por suma y producto, pero si nos centramos en el conjunto de los números, podemos pensar que son nustras bien conocida operaciones aritméticas básicas.

Pero claro, no basta con sólo tener las operaciones, sino que éstas deben cumplir una serie de propiedades. Vamos a fijar ideas. Un conjunto (X,+,*) (es decir, un conjunto y sus 2 operaciones) es un cuerpo cuando se cumplen las siguientes propiedades:

Con estas propiedades, y ya vamos a centrarnos en los Números el cuerpo más pequeño que se puede encontrar, con la suma y el producto habitual (y esto es tremendamente importante), es el Cuerpo de los Números Racionales.

En el siguiente nivel, se encuentra el cuerpo más utilizado por todos: el Cuerpo de los Números Reales. Incluso podemos extendernos un poco más y llegar al Cuerpo de los Números Complejos. Realmente este último conjunto, el de los complejos, es una extensión de los números reales para que la operación RADICAL (tomar raíz de índice cualquiera) tenga sentido. Básicamente, este cuerpo surge de partir de (R²,+), es decir, el plano con la suma habitual de vectores, e inventarse una operación, llamada producto (*), que cumple todas las propiedades de cuerpo. Este operación actúa de la siguiente forma: (a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc) Y si escribimos esta operación entre números complejos en su forma habitual, resulta que (a+bi)*(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i

incluir como número permitido la unidad imaginaria i=&radic-1 y trabajar con él, como si de una segunda coordenada se tratase.

Pero, ¿podríamos extender, de alguna forma, el concepto de número complejo alguna dimensión más? Realmente sí se puede. De hecho, podemos hablar de los Cuaterniones, que son a los Complejos, lo que éstos a los reales. Pero el problema que surge es que este conjunto NO tiene estructura de cuerpo. Y carece de ella, no por su propia definición, sino porque es imposible que la tenga, ya que allá por 1863, un tal Weierstrass probó un hecho interesante es el conocido como Teorema Final de la Aritmética, el cual afirma que para n≥3 es imposible dotar al grupo aditivo Rⁿ de una operación de producto (*) de modo que (Rⁿ,+,*) tenga estructura de cuerpo. En otras palabras, que por mucho que nos empeñemos, no vamos a poder encontrar una definición del producto que extienda al producto de números complejos y que cumpla todas las propiedades de Cuerpo anteriormente descritas.

Para concluir, vamos a volver un poco atrás, allá donde hablaba del

el cuerpo más pequeño que se puede encontrar...

Si nos olvidamos de las operaciones suma y producto estándar, el cuerpo más pequeño que se puede construir con números se suele llamar Z₂ y está formado por los 2 elementos neutros: {0,1}. Las operaciones suma y producto se definen como sigue:

• SUMA:
• 0+0=0
• 0+1=1+0=1
• 1+1=0
• PRODUCTO
• 0*0=0
• 0*1=1*0=0
• 1*1=1

Básicamente son las operaciones estándar, pero dentro de la Aritmética Modular, en donde, en este caso particular, 0=2=4=6=..., 1=3=5=7=...

En fin, que creo que ya nos hemos hartado de hablar de cuerpos. Si no te ha gustado el contenido de este artículo, al menos espero que hayas disfrutado con la imagen incial. Por cierto ¿has visto a la chica que hay tras la espiral?.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Esta entrada va a formar parte de la Segunda Edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión será el blog Juan de Mairena [v.2.71828].

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Imagen extraída de la cuenta Flickr de Labregonet

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