miércoles, 10 de marzo de 2010

¡Vaya Cuerpo!

Pues no, no vamos a hablar de este tipo cuerpos, sino del concepto matemático de Cuerpo, es decir, de estructuras algebraicas. En particular, nos vamos a centrar en los cuerpos numéricos.

En principio, un cuerpo es una estructura algebraica sobre un conjunto de elementos (vulgarmente llamados cosas) en el que hemos definido 2 tipos de operaciones: la suma (+) y el producto (*). En principio, estas operaciones no tienen porqué ser lo que nosotros entendemos habitualmente por suma y producto, pero si nos centramos en el conjunto de los números, podemos pensar que son nustras bien conocida operaciones aritméticas básicas.

Pero claro, no basta con sólo tener las operaciones, sino que éstas deben cumplir una serie de propiedades. Vamos a fijar ideas. Un conjunto (X,+,*) (es decir, un conjunto y sus 2 operaciones) es un cuerpo cuando se cumplen las siguientes propiedades:

Con estas propiedades, y ya vamos a centrarnos en los Números el cuerpo más pequeño que se puede encontrar, con la suma y el producto habitual (y esto es tremendamente importante), es el Cuerpo de los Números Racionales.

En el siguiente nivel, se encuentra el cuerpo más utilizado por todos: el Cuerpo de los Números Reales. Incluso podemos extendernos un poco más y llegar al Cuerpo de los Números Complejos. Realmente este último conjunto, el de los complejos, es una extensión de los números reales para que la operación RADICAL (tomar raíz de índice cualquiera) tenga sentido. Básicamente, este cuerpo surge de partir de (R2,+), es decir, el plano con la suma habitual de vectores, e inventarse una operación, llamada producto (*), que cumple todas las propiedades de cuerpo. Este operación actúa de la siguiente forma:
(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)
Y si escribimos esta operación entre números complejos en su forma habitual, resulta que
(a+bi)*(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i


incluir como número permitido la unidad imaginaria i=&radic-1 y trabajar con él, como si de una segunda coordenada se tratase.

Pero, ¿podríamos extender, de alguna forma, el concepto de número complejo alguna dimensión más? Realmente sí se puede. De hecho, podemos hablar de los Cuaterniones, que son a los Complejos, lo que éstos a los reales. Pero el problema que surge es que este conjunto NO tiene estructura de cuerpo. Y carece de ella, no por su propia definición, sino porque es imposible que la tenga, ya que allá por 1863, un tal Weierstrass probó un hecho interesante es el conocido como Teorema Final de la Aritmética, el cual afirma que para n≥3 es imposible dotar al grupo aditivo Rn de una operación de producto (*) de modo que (Rn,+,*) tenga estructura de cuerpo. En otras palabras, que por mucho que nos empeñemos, no vamos a poder encontrar una definición del producto que extienda al producto de números complejos y que cumpla todas las propiedades de Cuerpo anteriormente descritas.

Para concluir, vamos a volver un poco atrás, allá donde hablaba del
el cuerpo más pequeño que se puede encontrar...

Si nos olvidamos de las operaciones suma y producto estándar, el cuerpo más pequeño que se puede construir con números se suele llamar Z2 y está formado por los 2 elementos neutros: {0,1}. Las operaciones suma y producto se definen como sigue:
  • SUMA:
    • 0+0=0
    • 0+1=1+0=1
    • 1+1=0
  • PRODUCTO
    • 0*0=0
    • 0*1=1*0=0
    • 1*1=1
Básicamente son las operaciones estándar, pero dentro de la Aritmética Modular, en donde, en este caso particular, 0=2=4=6=..., 1=3=5=7=...

En fin, que creo que ya nos hemos hartado de hablar de cuerpos. Si no te ha gustado el contenido de este artículo, al menos espero que hayas disfrutado con la imagen incial. Por cierto ¿has visto a la chica que hay tras la espiral?.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Esta entrada va a formar parte de la Segunda Edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión será el blog Juan de Mairena [v.2.71828].


Imagen extraída de la cuenta Flickr de Labregonet

10 comentarios:

  1. Como curiosidad comentar que desde hace unos 60 años, en geometría algebraica se habla del "cuerpo con un elemento":

    http://en.wikipedia.org/wiki/Field_with_one_element

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  2. De hecho el cuerpo Z2 que mencionas es equivale a tomar los dos valores lógicos (Verdadero, Falso) y las operaciones O-exclusivo (XOR) e Y (AND). Con la O normal (verdadero O verdadero = verdadero) no se verifica el elemento opuesto.

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  3. Y hablando del cuaternión y de otros entes hipercomplejos como los octoniones, la cuestión está en que el cuerpo de los complejos ya es cerrado algebraicamente. Es decir que cualquier polinomio tiene solución dentro de los complejos. Por tanto yo veo a estas estructuras como herramientas "tecnológicas" que pueden ser útiles para simplificar determinados cálculos en física, o en lo que sea: pero no como algo que aporte demasiado a la teoría matemática.

    A mi este tipo de entradas didácticas me encantan.

    Sobre la foto decir que el chorro de agua me da la sensación de trucado :-)

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  4. ¿Y todo eso del cuerpo de 0 y 1 no se llama "Álgebra de Boole"? Porque me suena haberlo estudiado en informática como la base del sistema binario de los ordenadores.

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  5. Querido Agustín:
    ¿...:pero no como algo que aporte demasiado a la teoría matemática?
    Lamento discrepar contigo. Los Cuaternios, Octoniones, Sedeniones y demás álgebras de Cayley-Dickson generalizadas constituyen una teoría matemática por sí sólas.
    Cuaternios y Octoniones constituyen el ejemplo más sencillo de álgebras de división reales y su estructura viene siendo estudiada desde su descubrimiento (o construcción) en 1843 y 1845 respectivamente.
    Porfa, no menosprecies a las criaturitas ,-)

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  6. ¡Huy! Está bien escrito, incluso yo me he enterado de algo, gracias. :-)

    Por cierto, en la imagen con las propiedades de los cuerpos creo que hay una errata. La propiedad de elemento neutro para el producto sería "x*1=x" y no "x*0=x" ¿O me entero menos de lo que creía?

    Por otro lado a la espiral no consientas que les pongan "peros", ni trucado ni tonterías; está perfecta. :-)

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  7. Cierto, amigo @Conde, cierto, la propiedad de elemento neutro del producto tiene una errata.

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  8. Pregunta: un espacio vectorial, con la definición de producto vectorial ¿sería un cuerpo también?

    ¿Espiral? ¿Qué espiral?
    Saludos

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  9. @Toro Sentad: no. en primer lugar pq el producto VECTORIAL sólo se puede definir en R^3.

    Además, ese prod.vectorial no es simétrico

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  10. Querida Clara:

    La idea que quizás no he expresado bien, es que mientras que los números complejos cubren una necesidad acuciante en la matemática, que es la de hacer que cada polinomio tenga sus raices (tantas como su grado); los números hipercomplejos son más bien una construcción que un descubrimiento. Aunque no soy ni mucho menos experto en el tema, creo que hay un cierto isomorfismo entre números hipercomplejos y matrices. Algo resoluble a través de números hipercomplejos puede ser resuelto también con matrices, aunque posiblemnete de forma menos eficiente en algunos casos. Y es por eso que lo califico más de "tecnología". De todas formas prometo no menospreciar a esas criaturitas :-)

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Si no comentas, Gauss se comerá una integral.
Y, por favor, respeta a todos con tus opiniones.

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