jueves, 31 de enero de 2013

Por qué 2 y 2 son 4.

Esto es verdad, como que 2 y 2 son 4
Si de algo se tacha a las matemáticas en la sociedad es de ser completamente exactas; de decir verdades como puños, vamos. Y si de verdades matemáticas hablamos, la primera que nos viene a la cabeza es lo que todos aprendemos de pequeños: 2+2=4.

Pero claro... cuando dices que eres matemático, una de las primeras cosas que te suelen preguntar es ¿y por qué 2+2=4? Para dar respuesta a esta intrigante pregunta está este pequeño post. Para que no se diga que los matemáticos dejamos cosas sin explicar. Eso sí, amigo. Para demostrar, habrá que pagar un precio. ¿Estás dispuesto a ello?

Para comenzar, hemos de establecer las bases más profundas del saber matemático: la construcción de los números naturales. El establecimiento de estos cimientos, se pude realizar de varias formas, pero aquí vamos a elegir una de las más naturales (bajo mi peculiar punto de vista): la Axiomática de Peano (si te interesa, también se puede axiomatizar los naturales a partir de la Teoría de Conjuntos).

Por si no estás muy puesto en esta terminología, te recuerdo que un axioma es un principio fundamental en el que se basa una teoría y que se acepta sin demostración. Habitualmente, se trata de postulados lógicamente evidentes, aunque, a veces, algunos axiomas son necesarios, pero para nada evidentes (véase el V postulado de Euclides). Para entendernos, los axiomas son los diferentes tipos de ladrillos con los que se levanta una teoría matemática (o científica).

Dar consistencia a las matemáticas fue algo que, durante mucho tiempo, preocupó a matemáticos de gran importancia. Y para establecer esas bases, lo primero que se debía hacer es dotar de fuerza a lo más íntimo de las matemáticas: los números naturales.

En lo que sigue, vamos a suponer que existe un cierto conjunto, que llamaremos Conjunto de Números Naturales y que denotaremos por [;\mathbb{N};]. Le vamos a dar contenido, vamos a definir algún concepto sencillo auxiliar. Definiremos qué entendemos por suma y, finalmente, comprobaremos que, con estas premisas, 1+1=2. Como corolario, obtendremos nuestro pretendido resultado.

Comencemos con los ladrillos, es decir, los Axiomas de Peano.
     P1.- El 1 es un número natural ([;1\in\mathbb{N};])
     P2.- Todo número natural [;n;] tiene un sucesor [;n^*\in\mathbb{N};].
     P3.- El 1 no es el sucesor de ningún otro número natural.
     P4.- Si [;n^*=m^*;] entonces [;n=m;].
     P5.- Si  [;1\in K\subset\mathbb{N};] y dado un elemento cualquiera [;k\in K;], se tiene que [;k^*\in K;], entonces [;K=\mathbb{N};].

Con estos axiomas ya tenemos uno de los ingredientes necesarios de nuestro teorema, el número 1. También tenemos otro ingrediente importante, como es el concepto de sucesor de un número natural. Gracias a este concepto, vamos a poder definir lo que entendemos por suma. Pero antes, nos conviene demostrar alguna que otra cuestión.

Proposición1: [;n\ne n^*;] para cada [;n\in\mathbb{N};].

Demostración. Sea [;K=\{n\in\mathbb{N}:\ n\ne n^*\};]. Por el axioma P3, se tiene que [;1\ne1^*;], por lo que [;1\in K;]. Además, si [;n\in K;] se tiene que [;n^*\in K;]. En efecto, si [;n^*\notin K;], entonces [;n^*=(n^*)^*;] pero entonces, por el Axioma P4 se tendría que [;n=n^*;] llegando a contradicción con que [;n\in K;].
Por lo tanto, podemos aplicar el Axioma P5 a nuestro conjunto [;K;] para concluir que [;K=\mathbb{N};].

Proposición2: Si [;n\in\mathbb{N};] con [;n\ne 1;], entonces existe [;k\in\mathbb{N};] tal que [;k^*=n;].
Demostración. Sea [;K=\{n\in\mathbb{N}:\ \exists k\in\mathbb{N}\text{ con }k^*=n\}\cup\{1\};].
Por definición, [;1\in K;]. Además, si [;n\in K;], es obvio que [;n^*\in K;] (basta tomar [;k=n;]). Por lo tanto, por el Axioma P5 se tiene que [;K=\mathbb{N};] y se concluye la prueba.

Definición: Sean [;n\in\mathbb{N};].
  • Se define [;n+1=n^*;].
  • Si [;m\in\mathbb{N};] y suponemos conocido [;n+m;], entonces [;n+m^*=(n+m)^*;].

Por cierto, que la Proposición2 me garantiza que esta definición abarca la suma de cualquier par de números naturales. En efecto, fijadas [;n,m\in\mathbb{N};], si [;m=1;] es claro que [;n+m=n+1=n^*;]; pero si [;m\ne1;], por la Proposición2 se tiene que existe [;k\in\mathbb{N};] con [;k^*=m;], por lo que [;n+m=n+k^*=(n+k)^*;].

Además, el Axioma P4 garantiza que la suma es única, mientras que el Axioma P2 nos asegura que la suma es una operación interna de los naturales, es decir, que la suma de naturales vuelve a ser otro número natural.


De todas las propiedades buenísimas que posee la suma (sí chicos, ésta es la definición de la suma de toda la vida), sólo vamos a necesitar, para nuestros propósitos, una: la conmutatividad. De hecho, tan sólo vamos a necesitar demostrar que el 1 conmuta con cualquier otro natural.

Proposición3: Para cada [;n\in\mathbb{N};] se tiene que [;n+1=1+n=n^*;].
Demostración. Por la definición de suma, sabemos que [;n+1=n^*;]. Veamos la otra igualdad, es decir, [;1+n=n^*;].
Para ello (y para variar un poco), vamos a volver a usar el Axioma P5. Sea [;K:=\{n\in\mathbb{N}:\ 1+n=n^*\};]. Es obvio que [;1\in K;] (vamos, [;1+1=1^*;] por la primera parte de la definición  de suma). Supongamos que [;n\in K;], entonces [;1+n=n^*;]. Ahora aplicamos la segunda parte de la definición de suma para conseguir: [;1+n^*=(1+n)^*;]. Pero [;1+n=n^*;], por lo que [;1+n^*=(n^*)^*;] y se tendría que [;n^*\in K;].
Ahora dejamos trabajar al Axioma P5 para deducir el resultado.


¿Ya? ¿Ya tenemos todo? ¿Ya podemos demostrar nuestro resultado? No. Aún no. De hecho, ni siquiera podemos entender nuestro resultado, ya que no hemos definidio qué entendemos por 2. Así que allá vamos.

Definición: Llamaremos [;2=1^*;].


Ahora sí que sí. Ya tenemos todo... Que sí, que sí, que no me mires con cara rara, que por el Axioma P2 sabemos que [;2\in\mathbb{N};] y, por la Proposición1 también sabemos que [;2\ne1;] (claro, 2 es el sucesor de 1 y ningún número es igual a su sucesor). Así que vamos a probar nuestro resultado principal.

Teorema: 1+1=2.
Demostración: Por la primera parte de la definición de SUMA, se tiene que 1+1=1*=2.

Si ahora llamamos [;4=(2^*)^*;], obtenemos como corolario, nuestro preciado resultado.

Corolario: 2+2=4.
Demostración. Por la definición de 2 y la de SUMA, se tiene que [;2+2=1^*+1^*=(1^*+1)^*;]. Por la Proposición3, sabemos que [;1^*+1=1+1^*;] y, de nuevo por la definición de suma, conseguimos que [;1+1^*=(1+1)^*;]. Ahora, tan sólo hace falta escribir todo junto y aplicar el Teorema anterior para conseguir que:
   [;2+2=1^*+1^*=(1^*+1)^*=(1+1^*)^*=[(1+1)^*]^*=(2^*)^*=4;]
Que es justamente lo que queríamos probar.

Pues hala, cuando alguien os pregunte que por qué demonios  2 y 2 son 4, ya tenéis a dónde acudir o a dónde enviar al cuestionador (nooooooooo!!!! a la mierda noooooo, sr. Fernán Gómez!): a este artículo. Y ya os podéis olvidar de dar respuestas tan extrañas como depende del espacio en donde sumes y cosas por el estilo que no harán más que liar a vuestro amado interlocutor... ¿o quizás no?

Tito Eliatron Dixit

PD: Fuente original MathForum a la que llegué a través de un tuit de @pickover. También usé parte de mis viejos apuntes de Álgebra así como mi puto cerebro matemático.
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