Acertijo de Navidad

En estas fechas tan entrañables... qué mejor que un acertijo para que Tito Eliatron os desee Feliz Navidad.

En la imagen de aquí abajo, escribid los números del 1 al 9 en las bolas del árbol y la estrella, de tal forma que en cada lado del árbol (base incluída) las cifras sumen lo mismo.


Ya sé que no es muy complicado, pero es que tras las copitas de esta noche, no creo que estemos para pensar demasiado.

Feliz Navidad a Todos.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Acertijo extraído de About.com: Mathematics, obra de Deb Russell.

Vacaciones de Navidad

Sólo unas líneas para comentar que el Tito Eliatron se va a tomar unas Navidades sabáticas (o casi) y va a disfrutar de su retoño como buen padre primerizo babeante.

Os espero de vuelta el 8 de Enero, aunque quizás haya alguna mini-sorpresa algún día de estos.

Feliz Navidad a todos.

Tito Eliatron Dixit.

¿Papá Noël? No. ¡π!

... ese misterioso 3,14159... que se cuela por todas las puertas y ventanas, que se desliza por cualquier chimenea...

Anónimo, vía Wikiquote

En estas fechas tan próximas a la Navidad, no me he podido resistir a incluir esta cita, que, no sé por qué, me ha recordado a algún señor gordo vestido de rojo.

Tito Eliatron Dixit.

My paper was rejected again Mi artículo ha sido rechazado otra vez

Hoy, gracias a una buena amiga (y traductora), os traigo hoy algo de música. Se trata del tema My paper was rejected again (MP3), que traducido es Mi artículo fue rechazado otra vez, del grupo The (21st Century) Monads.



Aquí os dejo la letra completa de la canción:

To the editor, please consider
My paper for review
The manuscript has been prepared
So my identity can’t be deduced

Your website says the turnaround time’s four months
But you’ll be four months overdue
And I’ll be feeling so blue.

And then my paper will be rejected once again

The first round was so maddening
The comments were almost laughable
But that was better than the second round
In which I received no comments at all

I waited for eight months
But no explanation was given
Not a single word of
Constructive criticism

And then my paper was rejected once again

Help me through the night,
Tell me when will this process ever come to an end?
I think my paper’s got it right
But should I throw it into the garbage bin?
Revise and submit to another journal
This process sure feels like it is eternal
But I will resend
And then

My paper will be rejected once again

Y su traducción, obra y gracia de @irenuita:

Al editor: por favor considere
someter mi artículo a evaluación.
El manuscrito se presenta
de forma que no pueda deducirse mi identidad.

En su página web pone que contestan en cuatro meses,
pero se retrasarán cuatro meses más
y yo mientras tanto estaré muy triste.

Y entonces volverán a rechazarme el artículo.

La primera ronda fue demencial,
los comentarios eran casi de risa,
pero fue mejor que la segunda,
en la que simplemente no recibí ningún comentario.

Esperé ocho meses,
pero no se me dio ninguna explicación;
ni una sola palabra
de crítica constructiva.

Y entonces volvieron a rechazarme el artículo.

Ayúdeme a sobrellevar la noche,
dígame cuándo tocará este proceso a su fin.
Creo que mi artículo está en lo cierto,
pero ¿debería arrojarlo a la basura?
Revisarlo y presentarlo a otra revista,
este proceso desde luego se hace eterno.
Pero lo volveré a enviar
y entonces

volverán a rechazarme el artículo.

En fin, a los que están en el mundo de la investigación, seguro que esto les suena. A los que no... bueno eso que ganan. Disfruten de la música.

Tito Eliatron Dixit.

Tito Eliatron Dixit en La hoja Volante

A los lectores más asiduos de este blog, les debe sonar La Hoja Volante. Se trata de una publicación que se realiza de forma trimestral, a cargo del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid (en la persona de Carlos Vinuesa), y que versa sobre matemáticas recreativas. En ella puedes encontrar desde artículos curiosos, hasta otros algo más profundos, anuncios, algo de humor, acertijo... vamos, todo lo que querría para Tito Eliatron Dixit.

Pues bien, en el último número (PDF 1,46Mb), aparece una adaptación del artículo La Paradoja del Segundo As, publicado en este blog, junto con algunas modificaciones hechas a partir de los comentarios vuestros. En principio, no será la última aparición, sino que es nuestra intención seguir colaborando con La Hoja Volante, y viceversa, como ya se pudo comprobar con el artículo sobre La Conjetura de Hcabdlog. Es posible que se cree una buena colaboración entre ambas publicaciones.

Disfrutad de ella.

Tito Eliatron Dixit.

Matemáticas para repartir una pizza entre dos personas de forma justa

Imaginemos que vamos 2 personas a un italiano y pedimos una pizza. Cuando la trae el camarero, nos disponemos a partirla en 8 trozos. Para ello hacemos primero 2 cortes perpendiculares y luego otros 2 por las bisectrices de los cortes anteriores. Justo cuando vamos a empezar a comerla, nos damos cuenta que hemos hecho los cortes... pero no pasan por el centro, y claro, ahora hay trozos más grandes que otros. ¿Se podrá repartir la pizza de forma que cada uno de los 2 comensales coman exactamente la misma cantidad de pizza (sin volver a cortar, claro)?

Esta situación ya no es un problema gracias a los matemáticos Rick Mabry and Paul Deiermann, para quienes eso de calcular el área de cada trozo y sumar era demasiado aburrido y decidieron completar un problema tan común como este.

En primer lugar vamos a establecer las reglas del problema. Tenemos una pizza perfectamente circular a la que le hacemos cortes rectos que van de borde a borde de la pizza (cuerdas de la circunferencia), de forma que todos los cortes pasan por un punto (que vamos a suponer que no es el centro geométrico de la pizza), y, además, nos vamos a asegurar que los ángulos que forman los cortes son todos iguales.


Aunque todo esto pueda parecer una verdadera tomadura de pelo (matemáticamente hablando), la realidad es que el problema viene de antiguo, pues la primera vez que aparece es en 1967 cuando L. J. Upton (Mathematics Magazine 40 (5), p. 163) propone el problema para 4 cortes formando ángulos de 45º.

Pero vayamos a explorar un poco el problema. El caso más sencillo es cuando uno de los cortes pasa exactamente por el centro de la pizza, ya que así es muy fácil comprobar que en este caso, la pizza queda dividida de forma simétrica respecto de dicho corte, por lo que si comenzamos a comer cada uno de los 2 comensales de forma alternativa trozos adyacentes, al final cada uno tomará exactamente la mitad de la pizza, pues así si el primer comensal toma un trozo, el segundo comensal, comerá (en algún momento) el trozo simétrico.

Ahora bien, ¿qué ocurre si ningún corte pasa por el centro de la pizza? (sería el caso del dibujo anterior): esto empieza a ponerse algo serio.

El caso de 1 único corte es el más sencillo y no hace falta ni siquiera explicarlo. Para 2 cortes, podemos ver una demostración gráfica muy muy simple de que el que come el trozo que contenga el centro, comerá más:
En el dibujo se ve cómo los trozos con númetros iguales tienen la misma área, luego el que coma los trozos grises (el más grande de los cuales contiene el centro de la pizza), comerá más.

Para el caso de de 4 cortes, que fue el problema planteado por Upton en 1967, el desafío no duró demasiado, ya que en 1968 Michael Goldberg (y Robert Brennan y Hussein Demir, de forma independiente) lograron resolver el problema, e incluso generalizarlo para el caso en que haya un número par de cortes (cf. Mathematics Magazine 41 p.46).

El resultado de Goldberg nos dice que si se corta la pizza un número par de veces (mayor estricto que 2) de forma que todos los cortes pasen por un punto, que no sea el centro de la pizza y que, además, ningún corte pase por el centro, entonces si vamos tomando trozos adyacentes de forma alternativa, cda comensal comerá exactamente la mitad de la pizza.

Pero... ¿qué pasa si hacemos un número impar de cortes? ¿Ocurrirá lo mismo? En este caso las cosas se complican bastantes. El primer resultado al respecto data de 1994 cuando, de nuevo en Mathematics Magazine (vol 67, p.304), Larry Carter propone el problema para el caso de 3 cortes, indicando que la solución debe ser que el comensal que elija la parte con el centro comerá menos.

Tan complicado ha sido el problema, que no ha sido completamente resuelto hasta Mayo de 2009, cuando los matemáticos Mabry y Deiremann (citados al principio del artículo) publicaron el siguiente artículo: Of Cheese and Crust: A proof of the Pizza Conjecture and other tasty results, American Mathematical Monthly, 116 (5), pp.423-438 (esta revista no es cualquiera, en el área de matemáticas tiene un índice de impacto en 2008 de 0.361 y ocupa la posición 176 de entre las 215 revistas indexadas en el Journal of Citations Report).

En dicho artículo, utilizando grandes dotes de cálculo y técnicas de series algebraicas y funciones trigonométricas, logran completar el resultado. Así, consiguen demostrar que, en el caso de un número impar de cortes, ocurre lo siguiente:

• Si se realizan 3, 7, 11, 15, ..., 4n-1, ... cortes, y repartimos sectores adyacentes de forma alternativa, el comensal que coma el trozo que contenga el centro, comerá más que el otro (esto también es válido si se realizan exactamente 1 ó 2 cortes).
• Por el contrario, si se corta en 5, 9, 13, 17..., 4n+1, ... cortes, y hacemos el reparto habitual, entonces el comensal que tome la porción que contenga el centro comerá menos que el otro.

En resumen, que el dicho de El que parte y reparte, se lleva la mejor parte se pude hacer realid, siempre que sepas las matemáticas necesarias para comprender el Teorema del reparto equitativo de una pizza.

Sin embargo, éste no es el único problema que tratan Marbry y Deierman en su artículo, sino que estudian algunos porblemas relacionados como ¿Quién comerá más corteza? o ¿quien comerá más queso? o incluso qué ocurriría si en vez de una pizza tuviéramos un calzone.

Espero que, a partir de ahora, cuando vayáis a un italiano con vuestra pareja y pidáis una pizza, os acordéis que una vez, un bloguero matemático os contó el método para poder comer más que ella y parecer todo un caballero.

Tito Eliatron Dixit.

ACTUALIZACIÓN 17:00: Gracias a un comentario de emulenews en meneame.net, me he enterado que el artículo original de Mabry y Deiermann está disponible de forma gratuita The Pizza Conjecture y así os lo hago saber, por si queréis echarle un vistazo a los detalles técnicos (y no tan técnicos) que, en algún caso, puede resultar muy interesante para los no especialistas.

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Créditos:
Imagen inicial extraída del Flickr de akuban.
La segunda y tercera imagen son obra mía.

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Referencias:
The perfect way to slice a pizza, de New Scientist.
Mathematics Magazine vol 40 p.163, vol 41 p.46 y vol 67 p.304.
American Mathematical Monthly vol 116 (5) pp.423-438.

Lector avanzado

El lector avanzado que pase por alto partes que le parecen muy elementales podría perderse más que el lector menos avanzado que pase por alto partes que le parecen muy complejas.

George Polya,
Matemáticas y razonamiento plausible.
vía La Hoja Volante nº18

Me ha gustado mucho la reflexión de este gran matemático húngaro, ya que para poder comprender las matemáticas más complejas, debemos saber explicar las más simples. Y os dejo un ejemplo extremo: ¿seríamos capaces de enseñar a sumar a un niño?

Tito Eliatron Dixit.

Símbolos extraños

Hoy viernes os traigo un pequeño acertijo de esos de completar la serie.
Fijáos en el dibujo de aquí abajo:


En él, podéis ver 8 símbolos extraños, pero... ¿qué símbolo debería ir allá donde hay una interrogación? Y lo más importante ¿por qué?

Tito Eliatron Dixit.

PD: La solución, si nadie la encuentra, la publicaré dentro de una semana en los comentarios.

Cifras y letras: El número e

Volvemos hoy a la serie Cifras y Letras dedicada a esas constantes matemáticas que se representan a través de letras. En esta ocasión nos vamos a centrar en, probablemente, el segundo número trascendente más importante tras el archiconocido número π. Me estoy refiriendo al número e.

La definición de este número no es para nada geométrica, sino más bien analítica. Se suele definir el número e como el límite de la sucesión a_n:=(1+1/n)ⁿ, o bien como la suma de los inversos de los factoriales de los naturales, es decir e=1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+...+1/n!+....
Su valor, truncado, es e≅2,7182818284590452353602874713527... y su importancia radica en que es la base natural de los logaritmos, de hecho la función exponencial de base e es la única función cuya derivada es ella misma. Además, es parte fundamental de la Identidad de Euler e^iπ+1=0.

Pero... ¿por qué usar la letra e para denotar este número? Vamos a hablar un poco de su historia. La primera vez que se hace referencia a este número es en 1618, en un apéndice de un trabajo de John Napier donde se observa una tabla en donde se da el logaritmo natural de varios números. Sin embargo, el valor de esta constante no está explícitamente calculado. Unos años después, en 1624, Henry Briggs dio una aproximación numérica de log₁₀e, aunque sin mencionar ni el número e ni, por supuesto, la notación que hemos utilizado aquí. específicamente en su trabajo.

En 1647, Grégoire de Saint-Vincent calculó el área bajo una hipérbola rectangular, y este hecho se considera fundamental en el posterior desarrollo del logaritmo natural (en base e), aunque parece que el matemático no se percató en aquel entonces de este hecho.

Quien sí lo hizo fue Christian Huygens, quien hacia 1661 comprendió la relación existente entre la hiperbola rectangular y el número e: Dada la hipérbola yx=1, el número e es el único número a tal que el área bajo la hipérbola entre 1 y a es exactamente 1 (hoy, basta calcular la sencilla integral ). Incluso el prpopio Huygens, gracias a su función logarítmica (ojo, que no es la actula definición, sino otra) logró calcular 17 decimales exactos de log₁₀e. Sin embargo, en su trabajo aparece como el cálculo de una constante y no es reconocida como el logaritmo de un número.

En 1668, Nicolás Mercator logra obtener el desarrollo en series de potencias de log(1+x). En este trabajo Mercator usa el término logaritmo natural por primera vez para los logaritmos en base e, aunque nuestro protagonista sigue sin aparecer de forma explícita.

Sorprendentemente, la primera vez en que aparece de forma explícita el número e es en un trabajo de Jacob Bernoulli sobre el interés compuesto en 1683, en el que reiteradamente Bernoulli precisó calcular el límite que define al número e (y que vimos más arriba). Bernoulli no calculó el límite, perso sí demostró que existía y que su valor estaba comprendido entre 2 y 3 (su demostración, basada en el binomio de Newton, es la que hoy en día se sigue enseñando en los primeros cursos de cálculo).

La primera referencia escrita a este número es en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690, aunque en la misiva, Leibniz utiliza la notación b para este número.

Finalmente, la notación actual de la letra e se debe a Euler, aunque, contrariamente a lo que se piensa, esta notación no procede de la inicial del apellido del insigne matemático; ni siquiera del término exponencial o exponente. La versión más plausible es la casualidad: e es la segunda vocal tras la a y esta letra estaba ya siendo usada por Euler en sus trabajos.

Independientemente de los motivos, la notación actual aparece por primera vez en 1731 en una carta que Euler escribió a Goldbach. Además de darle el nombre actual, Euler logró demostrar que e es el límite de la sucesión a_n:=(1+1/n)ⁿ así como la serie 1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+...+1/n!+... (en realidad demostró que ambos números debían ser el mismo), incluso dio una aproximación de e con 18 decimales exactos y el desarrollo en fracción continua de e-1 y (e-1)/2.

El problema del cálculo de decimales de e no ha resultado, al parecer, tan interesante como el análogo para el número π. De todas formas, en 1854 William Shanks fue el primero en calcular una gran cantidad de decimales de e, aunque James Whitbread Lee Glaisher hizo notar que sólo los 137 primeros decimales eran correctos y, tras las pertinentes correcciones de Shanks, consiguió 205 decimales exactos. Recientemente, Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo han conseguido más de 200.000.000.000 decimales exactos de e. Aunque nosotros nos vamos a conformar con ver 1 millón de decimales de e.

Sobre e se sabe que es trascendente (probado por Charles Hermite), luego irracional (hecho que parece fue demostrado previamente por Euler). Sin embargo, aún no se sabe si e^e es trascendente o no, aunque parece que o bien e^e, o bien e^e2 es trascendente.

Como colofón, se sabe que e^π (conocida como constante de Gelfond) es trascendente, sin embargo no se conoce si π^e es, si quiera, irracional. De todas formas, sí que hemos aprendido en este blog que π^e<e^π, sin usar la calculadora.

Tito Eliatron Dixit.

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Referencias:

• Artículo de la Wikipedia sobre el número e en Español e Inglés.


• The number e, en The MacTutor History of Mathematics archive y su traducción de Astroseti


• Imagen extraída de la galería Flickr de gail m tang, vía Cocina y Matemáticas.

Las Matemáticas dan la nota: ¿apostamos algo?

Sigo apostando al cinco y cada dos por tres sale seis.

Fito&Fitipaldis, Me equivocaría otra vez (youtube, ca. 2'28'')

¿Estarían Fito y sus amigos jugando a los dados? ¿Es esto el colmo de un matemático, que cada 2 por 3, no salga 6?

Tito Eliatron Dixit.

PD: Con esta cita musical, inauguramos una nueva sección en Tito Eliatron Dixit, que vamos a llamar Las Matemáticas dan la Nota, en la que iremos proponiendo citas extraídas de canciones, que tengan algo que ver con las matemáticas.
Si conocéis alguna más, podéis ir dejándola bien en los comentarios, bien en algún correo electrónico, e irán apareciendo por aquí.

Más hechos matemáticos de Chuck Norris

Ante el apabullante éxito de los Hechos Matemáticos de Chuck Norris y, sobre todo, visto el grado de implicación de todos los lectores, vamos a escribir una recopilación de aquéllos hechos que hayáis dejado en los comentarios y que más me han llamado la atención.

1. El viajante del problema visitó a Chuck Norris en primer lugar (Gracias J.H.S.)


2. Para resolver un problema en, Chuck Norris lo piensa en y después simplifica.
   


3. no era tan pequeño antes de toparse de bruces con Chuck Norris.


4. Como Chuck Norris no podía demostrar la conjetura de Goldbach por falta de tiempo, sumó todos los primos dos a dos y la comprobó.


5. Chuck Norris puede hacer poliedros regulares de 3 caras, se llaman ChuckNorrisedros. (Gracias Noxbru)


6. Chuck norris puede recorer el perimetro de un fractal.


7. i se hizo imaginario por miedo a Chuck Norris.


8. Schrödinger utilizo a Chuck Norris para demostrar su paradoja, pero finalmente utilizo un gato por lo inexplicable de los resultados de la primera prueba: al abrir la caja chuck siempre vivia y no habia rastro de los demás elementos.


9. Chuck Norris puede expresar los números irracionales en forma de fracción. (Gracias Rafalillo) Es más, cuando Chuck Norris se enteró de que Hipaso demostró que era irracional, fué él mismo el que lo ahogó y no los Pitagóricos.
   


10. Los agujeros del Conjunto de Cantor son los lugares donde el intervalo [0,1] recibió alguna patada voladora de Chuck norris.

Realmente, y tal y como dijo un comentarista, he preferido obviar aquellos hechos en los que se diga que Chuck Norris es capaz de hacer algo que un determinado Teorema matemático afirma que es imposible. Espero que no les importe.

Tito Eliatron Dixit

Manifiesto en defensa de los derechos fundamentales en Internet

Dado que esto nos atañe a todos los que nos movemos en el mundo de los blogs, desde Tito Eliatron Dixit nos unimos a este gran clamor popular que es el Manifiesto en defensa de los derechos fundamentales en Internet.

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Ante la inclusión en el Anteproyecto de Ley de Economía Sostenible de modificaciones legislativas que afectan al libre ejercicio de las libertades de expresión, información y el derecho de acceso a la cultura a través de Internet, los periodistas, bloggers, usuarios, profesionales y creadores de internet manifestamos nuestra firme oposición al proyecto, y declaramos que:

1. Los derechos de autor no pueden situarse por encima de los derechos fundamentales de los ciudadanos, como el derecho a la privacidad, a la seguridad, a la presunción de inocencia, a la tutela judicial efectiva y a la libertad de expresión.
2. La suspensión de derechos fundamentales es y debe seguir siendo competencia exclusiva del poder judicial. Ni un cierre sin sentencia. Este anteproyecto, en contra de lo establecido en el artículo 20.5 de la Constitución, pone en manos de un órgano no judicial -un organismo dependiente del ministerio de Cultura-, la potestad de impedir a los ciudadanos españoles el acceso a cualquier página web.
3. La nueva legislación creará inseguridad jurídica en todo el sector tecnológico español, perjudicando uno de los pocos campos de desarrollo y futuro de nuestra economía, entorpeciendo la creación de empresas, introduciendo trabas a la libre competencia y ralentizando su proyección internacional.
4. La nueva legislación propuesta amenaza a los nuevos creadores y entorpece la creación cultural. Con Internet y los sucesivos avances tecnológicos se ha democratizado extraordinariamente la creación y emisión de contenidos de todo tipo, que ya no provienen prevalentemente de las industrias culturales tradicionales, sino de multitud de fuentes diferentes.
5. Los autores, como todos los trabajadores, tienen derecho a vivir de su trabajo con nuevas ideas creativas, modelos de negocio y actividades asociadas a sus creaciones. Intentar sostener con cambios legislativos a una industria obsoleta que no sabe adaptarse a este nuevo entorno no es ni justo ni realista. Si su modelo de negocio se basaba en el control de las copias de las obras y en Internet no es posible sin vulnerar derechos fundamentales, deberían buscar otro modelo.
6. Consideramos que las industrias culturales necesitan para sobrevivir alternativas modernas, eficaces, creíbles y asequibles y que se adecuen a los nuevos usos sociales, en lugar de limitaciones tan desproporcionadas como ineficaces para el fin que dicen perseguir.
7. Internet debe funcionar de forma libre y sin interferencias políticas auspiciadas por sectores que pretenden perpetuar obsoletos modelos de negocio e imposibilitar que el saber humano siga siendo libre.
8. Exigimos que el Gobierno garantice por ley la neutralidad de la Red, en España ante cualquier presión que pueda producirse, como marco para el desarrollo de una economía sostenible y realista de cara al futuro.
9. Proponemos una verdadera reforma del derecho de propiedad intelectual orientada a su fin: devolver a la sociedad el conocimiento, promover el dominio público y limitar los abusos de las entidades gestoras.
10. En democracia las leyes y sus modificaciones deben aprobarse tras el oportuno debate público y habiendo consultado previamente a todas las partes implicadas. No es de recibo que se realicen cambios legislativos que afectan a derechos fundamentales en una ley no orgánica y que versa sobre otra materia.

Este manifiesto, elaborado de forma conjunta por varios autores, es de todos y de ninguno. Se ha publicado en multitud de sitios web. Si estás de acuerdo y quieres sumarte a él, difúndelo por Internet.

La conjetura de... Hcabdlog

¿Hcabdlog? Pero Tito eliatron, ¿qué te pasa en la boquita?
Todo tiene su explicación. Comencemos viendo el siguiente vídeo:



¿Y con la conjetura de Goldbach se liga? En fin, dejémonos de amoríos y centrémonos en las matemáticas. Como bien dicen en este vídeo (introducción de la película La Habitación de Fermat), la Conjetura de Goldbach aventura que

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Christian Goldbach (1742).

Como muchos de vosotros ya sabréis (de hecho, ya se comentó algo en este blog) este resultado es una conjetura, ya que, a pesar de su simplicidad, no se conoce demostración alguna, aunque sí se ha comprobado para una gran cantidad de números.

En el presente artículo, no vamos a demostraros esto (lástima). Si en la Conjetura de Goldbach se trata de escribir números impares como suma de dos primos, aquí vamos a escribir números primos como suma de dos números. Vamos como en Goldbach pero al revés, de ahí el nombre: Conjetura de Hcabdlog (¡anda!, la única letra muda, más las 4 primeras letras del abecedario desordenadas, más un logaritmo; curioso):

Un número es primo impar si y sólo si se puede escribir como suma de 2 números naturales consecutivos, pero no se puede escribir como suma de 3 ni de 4, ni de 5,..., ni de más números consecutivos.

De hecho, esta conjetura es, en realidad, un resultado, ya que no es muy difícil demostrarlo, como vamos a ver a continuación.

En primer lugar vamos a familiarizarnos con las sumas de números consecutivos (dos o más). Ni el 1 ni 2 se pueden escribir como suma de números consecutivos; 3=1+2; el 4 tampoco se puede expresar como suma de consecutivos; 5=2+3; 6=1+2+3; 7=3+4; el 8 tampoco se puede; 9=2+3+4=4+5; 10=1+2+3+4; 11=5+6; 12=3+4+5; 13=6+7; 14=2+3+4+5; 15=1+2+3+4+5=7+8; y el 16 tampoco se puede escribir. Así visto, parece que los únicos números que no se pueden expresar como suma de consecutivos son el 1, 2, 4, 8, 16,... es decir, las potencias de 2.

De una forma más organizada:

• Si sumamos 2 números consecutivos, obtenemos los números imapres, a partir del 3: n+(n+1)=2n+1={3,5,7,9,11,13,...}.
• Si sumamos 3 números consecutivos, obtenemos los múltiplos de 3, a partir del 6: n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)={6,9,12,15,18,...}.
• Si sumamos 4 números consecutivos, obtenemos los múltiplos de 4 más 2, a partir del 10: n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6=4(n+1)+2={10,14,18,22,26,...}.
• Las sumas de 5 consecutiivos dan {15,20,25,30,...}
• Las sumas de 6 dan {21, 27, 33, 39,...}
• Las sumas de 7 dan {28, 35, 42, 49,...}

En general, si sumamos d números naturales consecutivos obtendremos lo siguiente: n+(n+1)+(n+2)+...+(n+d-1)=n·d+(1+2+...+(d-1))=n·d+d(d+1)/2. Es decir, las sumas de d números consecutivos son {d(d+1)/2+d, d(d+1)/2+2d, d(d+1)/2+3d, d(d+1)/2+4d,...} Curiosamente, los números que son suma de una cantidad impar de números consecutivos, son todos múltiplos de dicho número. En efecto, si d=2k+1, entonces n+(n+1)+(n+2)+...+(n+d-1)=n(2k+1)+(2k+1)(2k+2)/2=
=(2k+1)(n+k+1)=d(n+k+1). Sin embargo, la suma de un número par de números consecutivos, no es múltiplo de ese número (y esto, ya os lo dejo a vosotros, queridos lectores).

Con todo esto, nos damos cuenta de que es importante saber si el número d de números consecutivos es par o impar. Y ahora vamos a comenzar la demostración de la Conjetura de Hcabdlog, de hecho, vamos a probar aún más cosas.

Elijamos un número natural n y vamos a ver si lo podemos escribir como suma de d números consecutivos.

En primer lugar, como 1+2+3+...+d=d(d+1)/2, es imprescindible que nuestro número n sea mayor o igual que este valor. En segundo lugar, vamos a diferenciar si d es par o impar.

En el caso en que d sea impar, vamos a efectuar la división n/d. Si nos sale exacta, es decir, si d es un divisor de n, basta tomar d números consecutivos de forma que n/d esté justo en medio, es decir, de forma simétrica. En resumen, tomamos los números {n/d, n/d±1, n/d±2,...,n/d±(d-1)/2}. Mira el dibujo si no te queda suficientemente claro:
Por ejemplo si n=60 y d=3, como 60/3=20, tomamos los números 19+20+21=60.

Resumiendo, para cada divisor impar de n tal que d(d+1)/2≤n, tenemos una representación de n como suma de d números consecutivos. Y además, no hay más formas de escribir n como una suma de un número impar de números consecutivos.

En el caso en que d sea par, la cosa ya no funciona igual. Ahora vamos a necesitar que al dividir n entre el número de sumandos d (que ahora, repito, es par) nos dé un número situado justo en medio de dos naturales (un coma 5 vamos), es decir, vamos a necesitar que d sea divisor de 2n pero no de n. Así que si llamamos k=2n/d (que, tal y como hemos dicho, ha de ser impar), entonces k/2=n/d estará justo entre dos naturales. Ahora basta con coger de forma simétrica d/2=n/k naturales a un lado y a otro de k/2. Pero mira mejor el siguiente dibujo:
Por tanto, dado un divisor impar k de n, tenemos expresado n como suma de 2n/k números consecutivos. La única condición que hay que imponer es que, con este proceso, no tomemos números negativos, es decir, k/2+1/2>n/k, o lo que es lo mismo, k(k+1)/2>n, que es la misma condición que que obtuvimos al principio. Además, ésta es la única forma de expresar n como suma de una cantidad par de números consecutivos.

En resumen, si juntamos lo obtenido para los casos impar y par resulta que

Un número se escribe como suma de consecutivos de tantas formas como divisores impares tenga.

Por lo que ya tenemos todo hecho y podemos obtener los siguientes resultados.

• Los números que no se pueden expresar como suma de consecutivos son las potencias de 2, ya que éstos son los únicos números sin divisores impares.
• Los únicos números que se pueden escribir como suma de 2 consecutivos pero no de 3, ni de 4 ni de 5,..., ni de más, son los primos impares, pues son los que tienen un único divisor impar, luego sólo se pueden escribir de 1 única forma y esta forma es, claramente, con 2 consecutivos.

Como habréis podido ver, el resultado de la Conjetura de Hcabdlog a pesar de parecerse mucho a la Conjetura de Goldbach, sí se puede demostrar y, además, su demostración no es demasiado técnica, tan sólo hay que escribir bien las cosas y tener mucho cuidado.

Tito Eliatron Dixit.

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Este artículo es una adaptación de otro de similar nombre aparecido en la Hoja Volante de Octubre de 2009 (PDF, 1.75Mb) obra de Carlos Vinuesa, quien nos dio permiso para utilizarlo. Muchas gracias, Carlos.

Carnaval de Física en Gravedad Cero

Aunque con un día de retraso, os anuncio que ayer se celebró el Primer Carnaval de Física, organizado por los chicos de Gravedad Cero. Y, la verdad, fue todo un éxito.

En el primero de los enlaces que os he dejado, podéis encontrar todas las contribuciones que, desde la blogosfera científica, han ido apareciendo durante la semana pasada. En particular, desde Tito Eliatron Dixit, a pesar de no ser un blog específicamente sobre física, hemos aportado nuestro pequeño granito de arena con una interesante cita de Oppenheimer que apareció el pasado lunes bajo el título Niños de los que juegan en la calle.

Pero lo mejor es que seáis vosotros mismos los que vayáis descubriendo diferentes aspectos divulgativos relacionados con la física que muy buenos bloggers han creado para nuestro deleite.

Entrad y descubrid la magia de la física.

Tito Eliatron Dixit.

Muros, selvas, caminos y puertas

Vi un alto muro y como tenía la premonición de un enigma, algo que podría estar escondido detrás del muro, trepé por él con alguna dificultad. Sin embargo, al otro lado caí en una selva y tuve que abrirme camino con gran esfuerzo hasta que llegué a la puerta abierta, la puerta abierta de las matemáticas. A partir de aquí, caminos muy transitados conducían en todas las direcciones y desde entonces he pasado tiempo allí. A veces pienso que ya he recorrido todo el área, que ya he pisado todos los caminos y admirado todas las vistas, y entonces descubro de repente un nuevo camino y experimento nuevas delicias.

Maurits Cornelis Escher
Vía Boletín 204 (PDF) de la RSME.

Aparte de ser una cita del gran dibujante de la geometría, me ha encantado el símil que hace de la matemáticas con una especie de laberinto, en el que a cada paso que das, encuentras un nuevo camino inexplorado en el que adentarte.

Realmente, a mi me ha pasado casi lo mismo que a Escher.

¿Y a vosotros?

Tito Eliatron Dixit.

Cosas de profesores III: El origen de la palabra "pormenorizar"

Os pongo en situación. En una clase de álgebra básica, estaba yo explicando a mis alumnos cómo se calcula el rango de una matriz cualquiera. Como bien sabréis, para calcular el rango de una matriz, se pude recurrir, bien al método de Gauss, bien, si la matriz no es muy grande, por la propia definición: buscar menores (dentro de la matriz) distintos de cero.

Y aquí es donde viene la frase que se me escapó el año pasado:

Así que también podéis calcular el rango de una matriz, por menores. Y de aquí viene la palabra "pormenorizar".

Ni que decir tiene, que el origen de pormenorizar, no es éste ni mucho menos. Pero claro, en ese momento todos los alumnos intercambiaron miradas entre inocentes, enigmáticas y socarronas.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Si eres profesor, has soltado alguna perla como esta y no te importa compartirla, házmelo saber y aparecerá en futuras entregas de Cosas de Profesores. Incluso si eres alumno y has presenciado alguna ida de olla de tu profesor, compártelo con el mundo a través de Tito Eliatron Dixit.

Para contactar conmigo, puedes hacerlo escribiéndome a eliatron{AT}gmail.com.

32 sobre el 32

Hoy os traigo 32 curiosidades matemáticas del número 32. ¿Y por qué este número? Todo se desvela al final.

1. 32 es la quinta potencia de 2.


2. 32 es el menor número que es producto de 5 primos.


3. Todos sus divisores propios son las anteriores potencias de 2.


4. 32 es el menor número entero tal que la suma de sus dígitos es su logaritmo en base 2.


5. 32=1¹+2²+3³.


6. Las cifras que lo forman son los dos primeros números primos.


7. La suma de sus cifras es el tercer número primo.


8. 2³²-1 es el producto de los 5 primeros Primos de Fermat.


9. 2³²+1 es el sexto primo de Fermat.


10. El balón de fútbol, hasta hace muy poco, tenía la forma de un icosaedro truncado, que tiene 32 caras.


11. Es un número práctico, porque cualquier número menor que él, puede expresarse como suma de (algunos de) sus divisores propios.


12. Es el número de aristas de un hipercubo.


13. φ(32)=16=32/2.


14. 32 es el menor número entero, n, tal que la ecuación φ(x)=n tiene exactamente 7 soluciones.


15. π(32)=11


16. 32=2⁴+4², luego es un Número de Leyland.


17. Es el noveno número feliz


18. Puede escribirse de 2 formas distintas, como suma de 2 primos 32=19+13=29+3.


19. Es el primer número nialpdrómico tal que el anterior (31 en este caso) no es nialpdrómico.


20. 32=100000 en binario, luego es un número odioso.


21. 32·6±1 son primos gemelos.


22. Puede escribirse como suma de 2 cuadrados (16+16) y como diferencia de 2 cuadrados (81-49).


23. El 32º decimal del número π es un 0. De hecho, es la primera vez que aparece el 0.


24. Es el menor número de la forma 2^2p-1, donde p es un primo de Mersenne.


25. 1⁸+1⁵+2³+3²+5¹+8¹=32. Las bases son los 6 primeros números de la sucesión de Fibonacci, y los exponentes igual, pero en orden inverso. Lo mismo ocurre, pero con los 3 primeros términos de la sucesión de Lucas 32=2⁴+3³+4².


26. Es el menor número natural, cuyo cuadrado contiene exactamente 1 cero.


27. Es el menor número, cuyo cuadrado tiene exactamente 4 cifras.


28. 32 es divisor de p³²-1, para p cualquier número impar.


29. Es el menor número entero n, tal que la suma de sus dígitos coincide con la suma de los dígitos del enésimo número primo.


30. Es el primer número natural, cuyo cuadrado contiene esactamente 4 cifras distintas.


31. Es el menor número entero, tal que la ecuación φ(x)=n tiene exactamente 7 soluciones


32. 32!-1 es primo. Además, 32! se puede expresar como producto de otros factoriales: 32!=31!·2!·2!·2!·2!·2!


33. Y, finalmente, 32 son los años que hoy mismo cumple Tito Eliatron.

Tito Eliatron Dixit.

Niños de los que juegan en la calle

Hay niños, de los que ahora juegan en la calle, que pueden resolver algunos de mis problemas de física más complejos, pues tienen modos de percepción sensorial que yo perdí hace mucho tiempo.

Julius Robert Oppenheimer
físico estadounidense y el director científico del proyecto Manhattan

¿De verdad creéis que un poco de la frescura propia de la juventud, es capaz de ir más allá y dar con la clave de alguna situación física o científica complicada? Lo que yo creo es que para resolver algún problema físico, hay veces que uno debería tomar un punto de vista no-físico.

¿Y vosotros? ¿qué opináis?

Tito Eliatron Dixit.

PD: Esta entrada será parte del Carnaval de Física que desde Gravedad Cero han propuesto. A los que aún no habéis participado, tenéis hasta el Viernes 27 de Noviembre para publicar vuestra entrada. El lunes día 30 de noviembre Gravedad Cero publicará un post con todos los links a los blogs que se hayan sumado a esta iniciativa, con el objetivo de divulgar la física en todas sus facetas y también de aumentar la visibilidad de los blogs que participen en el evento. Ánimo a todos.

El panorama de la matemática moderna

Acabo de encontrarme en el blog Abstruse Goose (el cual os recominedo encarecidamente) la siguiente viñeta:


La verdad es que el panorama de la matemática moderna lo veo perfectamente detallado en este comic: Pequeñas montañas o reinos de Taifas, en los que cada matemático sólo sabe de lo que ocurre en su pequeño grupo de interés, y poco o nada nos interesa de lo que ocurre más allá de nuestro pequeño dominio.

¿Dónde quedaron matemáticos como Gauss, Euler o incluso Poincaré, que sabín y hacían todo tipo de matemáticas? ¿es posible encontrar esto hoy en día?

A mi modo de ver, y al del autor de la viñeta, la respuesta es NO.

¿y tú, qué opinas?

Tito Eliatron Dixit

Callejero Matemático Español: Newton

Tras un largo periodo de ausencia, volvemos hoy con la serie Callejero Matemático Español con un monográfico sobre Sir Isaac Newton.

Newton fue un físico, filósofo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, o Principios Matemáticos de la naturaleza. Si alguien nos pregunta algúh hecho famoso de este matemático inglés, seguro que automáticamente pensamos en la Manzana, esa historia según la cual a Newton se le ocurrió la Ley de Gravitación Universal tras recibir el golpe de una manzana al caer.

Sin embargo, en el aspecto matemático, quezás es más conocido por ser uno de los padres del Cálculo Diferencial. A través de su mentor, tocayo y predecesor en la Cátedra Lucasiana, Isaac Barrow, publicó su libro Analysis per aequationes número terminorum infinitos en el que, según el propio Newton, se da la introducción a un potente método general, que desarrollaría más tarde: su cálculo diferencial e integral.

Pero no fue él el único que inventó esta potente herramienta, sino que otro matemático, esta vez alemán, Leinbiz, también dio con ella. Newton y Leibniz protagonizaron una agria polémica sobre la autoría del desarrollo de esta rama de la matemática, aunque, finalmente, los historiadores de la ciencia consideran que ambos desarrollaron el cálculo independientemente. De todas formas, la notación de Leibniz, como , ha sido, a todas luces, la que más éxito ha tenido entre los matemáticos y físicos, aunque la notación de Newton como también se utiliza en algunos casos más prácticos. Esta polémica dividió aún más a los matemáticos británicos y continentales, aunque no fue capaz de impedir el intercambio de resultados entre sus dos protagonistas.

Y sin más dilación, vamos a presentaros algunas de las calles dedicadas a Newton y que, gracias a Google Street View (y a su reciente ampliación a prácticamente todo el territorio nacional), podemos ver.

En primer lugar, os traigo la calle que en mi ciudad, Sevilla, le han dedicado.
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Se trata de una calle en el antiguo recinto de la EXPO'92, en donde la mayor parte de las calles cercanas están dedicadas a personajes históricos de la ciencia y la tecnología, y no muy lejos de donde se ha desarrollado el Evento Blog España'09.

En otra de las ciudades donde he vivido, Madrid, nos encontramos con una calle dedicada a Newton.
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Se trata de una de las calles del recinto universitario de la UAM, en donde también trabajé, y que en su gran mayoría están dedicadas a personajes relevantes de la ciencia y la cultura.

En A Coruña, encontramos otra calle dedicada a Newton.
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Esta calle se encuentra en el Parque Empresarial A Grela Bens, el más antiguo de la provincia, y en el que, de nuevo, la mayoría de sus calles están dedicadas a científicos internacionales.

Finalmente, en una zona residencial de las afueras de Badajoz, nos encontramos con diversas calles dedicadas a científicos y matemáticos. En particular, una dedicada a Newton
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Y, de regalo, otra paralela dedicada al gran Pitágoras de Samos:
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Por supuesto que hay más calles dedicadas a Newton, en Carbajosa de la Sagrada, (Salamanca), Arlanzón (Burgos), San José de la Rinconada (Sevilla) o incluso en Mataró (Barcelona). Sin embargo, si buscamos calles en España dedicadas a Leibniz, sólo encontramos una (al menos yo sólo he encontrado esta), y de esta calle ya hablamos al final de la anterior entrega del Callejero Matemático Español. Por lo tanto, para nuestro callejero español, el ganador de la polémica Newton-Leibniz es, a la vista de los resultados, Newton.

Tito Eliatron Dixit.

De regalo, un teorema

Si te regalan un teorema, se te entregará con un certificado de garantía establecido para la eternidad. Las matemáticas son la única empresa humana que puede ofrecerte esta seguridad.

Denis Guedj (Las matemáticas explicadas a mi hija).
Vía Boletín 202 (PDF) de la RSME.

Me ha encantado esta cita acerca de la inmutabilidad de los resultados matemáticos. En otras ciencias, una teoría es lo más parecido a la realidad que se conoce hasta este momento; sin embargo es susceptible de ser derrumbada por una teoría mejor (mecánica clásica frente a mecánica cuántica por ejemplo).

¿Pensáis igual que el autor de esta cita? Yo, al menos, sí.

Tito Eliatron Dixit.

Gemelos simétricos

Hoy os traigo una de esas pequeñas curiosidades numéricas que suelen aparecer en el blog Simplemente Números, aunque en este caso, porcede de otro magnífico blog como es Futility Closet:

42263001=6501²
10036224=3168²

Es decir, el tanto el número 42263001 como su imagen especular 10036224 son cuadrados perfectos.

¿Conocéis algún caso más?

Tito Eliatron Dixit

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Imagen extraída de la Wikipedia

Matemáticos premios Nobel... de Literatura

No, no os voy a contar la manida historia leyenda urbana sobre por qué no hay premio Nobel de Matemáticas. Sí, hombre, esa que dice que cierto matemático (Mittag-Leffler, según algunas crónicas) mantenía más que conversaciones con la señora esposa de Nobel, hecho este que no era muy del agrado del inventor de la dinamita y que supuso un odio a los matemáticos. Pero como he dicho, esto es una leyenda, ya que, parece ser, que el bueno de Alfred nunca se casó.

Pero el hecho de que no exista un premio Nobel destinado a las Matemáticas, no quita que a lo largo de la historia no haya habido matemáticos galardonados con tal premio, aunque en otras disciplinas. En este artículo vamos a hacer un breve repaso por los más destacados matemáticos en cuyas vitrinas (o chimeneas) lucen el distinguido diploma.

Ya que este blog lo escribe un español, vamos a comenzar con uno de los pocos españoles que poseen el premio Nobel. Se trata del ingeniero de Caminos, Canales y Puertos, dramaturgo, político español y... matemático José Echegaray. Este ilustre y polifacético personaje nació en Madrid el 19 de abril de 1832. Estudió en la Escuela de Ingenieros, donde se graduó como Ingeniero de caminos, canales y puertos siendo el primero de su promoción. Allí se quedó como docente y comenzó a dar clases de matemáticas matemáticas, estereotomía, hidráulica, geometría descriptiva, cálculo diferencial y física. Ingresó en la Real Academia de Ciencias Exactas con 32 años y llegó a ser su presidente entre 1901 y 1907; mientras que en 1903 funda la Real Sociedad Española de Física y Química. Considerdo el mejor matemático español del siglo XIX, Julio Rey Pastor dijo de él que

Para la matemática española, el siglo XIX comienza en 1865 y comienza con Echegaray.

Su obra científica abarca desde el cálculo de variaciones, hasta la geometría analítica, pasando por el álgebra lineal e incluso la termodinámica.

Como hemos podido comprobar, este genial matemático podría haber recibido casi cualquier premio matemático que exista, de hecho, la Academia de Ciencias, a petición de Ramón y Cajal, creó la medalla Echegaray en 1907 en su honor y él fue el primer galardonado.

Sin embargo, José Echegaray pasó a la historia al ser el primer español en recibir el premio nobel de Literatura (compartido, en 1904, con el francés Frédéric Mistral) siendo su obra teatral El Gran Galeoto la destacada por la academia.

Curiosamente, el caso de José Echegaray no es único. Existe otro matemático (esta vez británico) que también ha recibido el premio nobel de Literatura. Me refiero a Bertrand Russel. Sin emabrgo, en el caso de Russel, recibió en 1950 el Nobel de Literatura siendo destacada una obra matemática (escrita junto con Alfred North Whitehead) Principia Mathematica.

Su aportación matemática más reconocida quizás es la hoy conocida como Paradoja de Russel, genialmente traducida al lenguaje ordinario como la Paradoja del Barbero:

En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:
-En mi pueblo soy el único barbero. Si me afeito, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto no debería afeitarme el barbero de mi pueblo ¡que soy yo! Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero me debe afeitar, ¡pero yo soy el único barbero de allí!
El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz.

Bertrand Russel escribió sobre una amplia gama de temas, desde los fundamentos de las matemáticas y la teoría de la relatividad al matrimonio, los derechos de las mujeres y el pacifismo. Al menos, su talento matemático fue premiado con el Nobel de Literatura.

Sé que aún quedan más matemáticos que han recibido el premio Nobel, pero van a quedar para otras entregas de esta nueva serie que inauguramos hoy. Cualquier aportación que podáis hacer, será bienvenida.

Tito Eliatron Dixit.

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REFERENCIAS y CRÉDITOS

• Biografía de José Echegaray en la Wikipedia.


• Biografía de José Echegaray en la Enciclopedia Libre Universal en Español


• Biografía de Bertrand Russel en la Wikipedia


• La Paradoja de Russel o del Barbero en la Wikipedia


• Premios Nobel de Literatura en la Wikipedia


• Imagen del Premio Nobel extraída de Wikipedia.


• Fotografía de Echegaray extraída de la Wikipedia


• Fotografía de Russel extraída de la Wikipedia

Del Saber a las Estrellas

Gracias a la RSME me he enterado de la siguiente noticia relacionada con el Año mundial de la Astronomía.

En Madrid, en la Biblioteca Histórica "Marqués de Valdecilla" de la Universidad Complutense, se ha inaugurado Del Saber a las Estrellas: Libros de Astronomía en la Biblioteca Complutense, una exposición donde se muestran libros de Astronomía de los riquísimos fondos históricos de la Biblioteca de la Universidad Complutense. Esta exposición permanecerá abierta desde el 3 de noviembre hasta el 29 de Enero de 2010.

Pero no tardéis mucho, ya que una de las mayores joyas de esta exposición será el códice original de los "Libros del saber de la Astronomía" (mal llamado en algunos sitios "de la Astrología") de Alfonso X el Sabio estará expuesto sólo hasta el 17 de noviembre, única obra científica de este sabio rey español que ha llegado intacta a nuestros días.

Los Libros del Saber de Astronomía son, en realidad 16 tratados científicos escritos por una sola mano. Aunque faltan algunas páginas, el estado de conservación general es relativamente bueno tras su restauración en 1977.

Pero si no tienes tiempo de acercarte antes del 17 de noviembre, o bien, no puedes ir a Madrid a disfrutar de esta exposición, siempre tienes la oportunidad de hacer una Visita Virtual y disfrutar desde tu ordenador de todas las magníficas obras que, sobre astronomía, se han recopilado.

La exposición se ha dividido en 4 secciones: Observación, Usos y Aplicaciones, Descripción y Concepciones del Cosmos. En palabras de los organizadores de la propia exposición

Del Saber de las Estrellas: libros de Astronomía en la Biblioteca Complutense, en la que, a través de una cuidada selección de 105 obras (manuscritos e impresos de los siglos XV a XVIII), se ofrecerá un recorrido por los títulos y autores más relevantes de la historia de la Astronomía. Un conjunto de textos científicos que durante más de cinco siglos han sido utilizados por alumnos, profesores e investigadores para su formación en las artes astronómicas.

Desde Tito Eliatron Dixit animo a todos aquéllos que podáis acercaros, a que disfrutéis de un magnífico rato contemplando la mejor colección de obras astronómicas que se puede ver.

Lugar: Biblioteca Histórica "Marqués de Valdecilla", Universidad Complutense de Madrid. C/ Noviciado 3, Madrid.

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Fechas: 3 de noviembre 2009 – 29 de enero 2010

Horario: De lunes a viernes, de 9.00 a 20.30 h.

Servicio de información:
Teléfono: 91 394 66 12
Fax: 91 394 65 99
www.ucm.es./BUCM/foa
buc_foa@buc.ucm.es

Más información
Díptico (en formato PDF).
Exposición Virtual, con imágenes de todos los libros y explicaciones.

Tito Eliatron Dixit

Probabilidad: urnas y bolas

¿A quién le importa si saco una bola blanca o una bola negra de una urna? Si tan preocupado estás por el color de la bola que sacas, no lo dejes en manos del azar: ¡mira en la maldita urna y saca la bola del color que quieras!

Stephanie Plum, personaje de ficción.
Vía Citas sobre Probabilidad
de la web personal de Pablo Fernández Gallardo.

Genial frase que hace referencia a los clásicos porblemas de probabilidad sobre urnas y bolas de colores. Amigo lector, si alguna vez has estudiado algún curso de probabilidad, ¿acaso no has pensado en decir esto mismo alguna vez? Yo, por lo menos, sí.

Tito Eliatron Dixit.

El monstruo matemático

Desde el blog CruCemos Los DeDos y El Ornitorrinco Enmascarado, lanzaron una viñeta humorística y nos pidieron al resto de bloggers, que hiciéramos, con la misma imagen, nuestra propia viñeta. Aquí os dejo la mía, espero que os guste.





Tito Eliatron Dixit.

PD: En el post original, también os podéis descargar la viñeta vacía para que vosotros hagáis la vuestra.

Cifras y letras: el número π

Uf, que yo soy de letras, no me hables de números

¿Cuantas veces habremos oído esta frase? Pues en este artículo vamos a inaugurar una nueva serie en este blog que pretende desmontar la cita anterior y vamos a ver la relación que existe entre el mundo de las cifras y el de las letras. En particular, nos centrarenos en una serie de números y constantes matemáticas que se suelen representar mediante letras. Veremos un poco la historia de estas constantes y buscaremos una razón para que sean denotadas por las letras que lo son.

Vamos a comenzar por, posiblemente, el número más importante de todos, por su aparición en innumerables aspectos de la matemática y la física. Me refiero al número π.

π es la razón que existe entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

Ésta es la definición del número π. El uso de esta letra parece claro: π proviene de la palabra griega "περιφέρεια" (periferia) y "περίμετρον" (perímetro), pero ¿cuándo se comenzó a utilizar esta letra griega?

Fue el matemático inglés William Jones en 1706 (Synopsis Palmariorum Matheseos) quien utilizara por primera vez la letra griega π como símbolo para este número, aunque ya anteriormente se había utilizado, de alguna forma, esta letra en la definición de esta constante, aunque no con el significado que le damos hoy en día. En concreto, William Oughtred en 1647 utilizó la π/δ para referirse al cociente entre una semicircunferencia y su radio, al igual que Isaac Barrow en 1664. Posteriormente, David Gregory en 1697 utilizó π/ρ para denotar el cociente entre la circunferencia y el radio. Pero no fue hasta 1737 cuando se extendió el uso de esta letra, gracias a Leohnard Euler, que decidió utilizar π en vez de p. La influencia posterior de este matemático supuso el impulso definitivo al uso de π para denotar a este número.

Con respecto al cálculo de π cabe destacar que en el antiguo Egipto afirmaban que

el área de un círculo es similar a la de un cuadrado, cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9

de donde se obtiene que π≈256/81. En mesopotamia algunos matemáticos (calculadores) utilizaron la aproximación π=3+1/8; incluso en la Biblia (1 Reyes 7:23) aparece una aproximación de este número, aunque algo más pobre: π=3. En el siglo III a.C. Arquímedes acotó el valor de π entre 3+10/71 y 3+1/7, lo que proporciona una aproximación de entre 0,024% y 0,040%. Un siglo más tarde, Ptolomeo aproxima su valor a través de la fracción 377/120, cuyos 4 primeras cifras decimales son las archiconocidas 3,1416.

Los matemáticos chinos, también aproximaron el valor de π. De hecho, Hacia 120, el astrónomo chino Chang Hong (78-139) fue uno de los primeros en usar la aproximación &radic10, mientras que por el método de polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia, llegaron a obtener que π=3,14159 empleando un polígono de 3.072 lados. A finales del siglo V, el matemático y astrónomo chino Zu Chongzhi determinó que el valor de π oscilaba entre 3,1415926 y 3,1415927, y dio dos aproximaciones racionales de π: 22/7 y 355/113, siendo la primera el origen del Día de la Aproximación de π y la última tan buena precisa que no fue igualada hasta más de nueve siglos después.

En la India utilizaron durante mucho tiempo la conocida aproximación π=3,1416, hasta que hacia 1400 se obtiene una aproximación exacta de 11 dígitos 3,14159265359.

El conocido matemático árabe Al-Kwarizmi, comenta que

El hombre práctico usa 22/7 como valor de π, el geómetra usa 3, y el astrónomo 3,1416.

En el siglo XV, el matemático persa Al-Kashi calculó el valor aproximado de π con nueve decimales exactos pero empleando una base numérica sexagesimal, lo que equivale a una aproximación de 16 decimales: 2π = 6,2831853071795865.

En 1610 el matemático Ludolph van Ceulen calculó los 35 primeros decimales de π, y se sintió tan orgulloso de este hecho, que los hizo grabar en su lápida a modo de epitafio. De hecho, el número π fue conocido en Europa durante esta época como la Constante de Ludolph.

Desde entonces y hasta la aparición de las primeras computadoras, muchos han sido los matemáticos que han ido aumentando la precisión de los decimales de π desde Leibniz hasta Euler pasando por Fibonacci.

Hoy en día y gracias a los ordenadores, se han llegado a conocer muchos decimales de π. Desde 1949 cuando un ordenador ENIAC fue capaz de obtener 2.037 cifras decimales en 70 horas, hasta 2009 cuando Daisuke Takahashi, utilizando un ordenador T2K Tsukuba System, consiguió 2.576.980.370.000 decimales de π.

Si quieres tener una cronología detallada de los avances en el cálculo de π puedes consultar el artículo Pi Chronology, de la magnífica web The MacTutor History of Mathematics archive.

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REFERENCIAS:

• Artículo de la Wikipedia sobre el número π en Español y Alemán.


• A history of Pi, en The MacTutor History of Mathematics archive y su traducción de Astroseti


• Pi, en Wolfram MathWorld.


• Imagen de π extraída de la Wikipedia, obra de Prolineserver. Esta imagen está tomada en la entrada del edicicio de matemáticas de la TU Berlín

Los mejores blogs de ciencia del mes de Noviembre, según Wikio

De nuevo me vuelven a dar la oportunidad de publicar anticipadamente el ranking de blogs científicos de Wikio. Y cual es mi sorpresa cuando veo que este humilde blog se encuentra entre tantos blogs científicos tan buenos. Pero sobre todo me gusta ver cómo la ciencia encuentra su lugar en la blogosfera hispana. Mi más sincera enhorabuena a todos aquellos que aportan su granito de arena y, en particular a los que, según Wikio, lo hacen mejor y aparecen en este TOP30.

1 Fogonazos 2 Maikelnai's blog 3 Ciencia en el XXI. Mirando con la mente 4 El blog verde 5 Tecnologia obsoleta 6 Ciencia Kanija 7 Erenovable 8 Genciencia 9 Magonia 10 Redes en la Red 11 La ciencia es la única noticia 12 Eduard Punset 13 La Cartoteca 14 Francis (th)E mule Science's News 15 La revolución naturalista 16 Museo de la Ciencia 17 Wis Physics

18 Física en la Ciencia Ficción 19 Tall & Cute 20 Historias de la ciencia 21 Ciencia en Espaciociencia 22 El PaleoFreak 23 Co2 24 Apuntes científicos desde el MIT 25 Más Allá de Somosaguas (UCM) 26 Tito Eliatron Dixit 27 Eureka 28 Diario de un copépodo 29 Ojo Cientifico 30 Cienciaaldia.wordpress.com Blogs Wikio

Tito Eliatron Dixit

Arriesgar

Un viajero que rehúse pasar sobre un puente hasta haber comprobado personalmente la solidez de cada una de sus partes no irá muy lejos; es necesario arriesgar algo, incluso en matemáticas.

Horace Lamb, matemático y físico británico.
Vía Boletín 199 (PDF) de la RSME.

Me ha gustado mucho esta cita, poruqe le da un toque aventurero a las Matemáticas. ¿Qué hubiese pasado si los pitagóricos no hubiesen puesto a prueba sus propias convicciones y no hubiesen encontrado los primeros núemros irracionales? Yo soy de la misma opinión que Horace Lamb. ¿Y vosotros?

Tito Eliatron Dixit.

Cómo hacerse rico: el método lógico

Cuentan las malas lenguas que hubo un tiempo en que se leía un curioso anuncio en los periódicos locales. El anuncio era de una empresa desconocida que decía lo siguiente:

Hazte rico fácilmente. Envíanos 1 Euro y te diremos cómo hacerlo.

Y adjuntaban la dirección.

Alguien envió ese euro a la dirección indicada y recibió una curiosa respuesta, aunque, si lo pensamos, absolutamente lógica:

Haz como nosotros.

Digamos que esto sería una estafa autorreferente.

Moraleja, no te fíes de los anuncios que ofrecen hacerte rico porque, a veces, sólo es cuestión de aplicar la lógica.

Tito Eliatron Dixit.


Extraído del libro Ajá! Paradojas, de Martin Gardner.

Porcentajes y pendientes: el seno o la tangente

Cualquier persona que se haya sacado el carnet de conducir, o incluso alguien que circule por carretera y tenga un mínimo de curiosidad, sabrá perfectamente el significado de las señales de tráfico que abren este artículo. ¿Seguro que lo saben? ¿Y tú, lector, estás seguro de conocer el significado de esta señal?

Según la D.G.T. se trata de subida y bajada con fuerte pendiente respectivamente (la cifra indica la pendiente en porcentaje). Y ahora llega el punto central de este artículo ¿qué significa "pendiente"? o mejor dicho ¿cómo se calcula la pendiente?

Matemáticamente hablando (que para eso esto es un blog de matemáticas) la pendiente de una recta es la razón (cociente) que existe entre la distancia vertical recorrida y la distancia horizontal. Si pensamos en un triángulo como el de la imagen siguiente
la pendiente será p=v/c, o lo que es lo mismo, p=tan(α). De todas formas, es mucho más corriente, para cuestiones topográficas, expresar la pendiente de una carretera en forma de porcentaje. En este caso, la pendiente será p=(v/c)·100, y el número resultante se expresará en tanto por ciento. Y aquí es donde comienzan los problemas.

Estamos habituados a que un porcentaje suele ser un valor entre 0 y 100, donde 100% representa el máximo posible. Pero en este caso y según esta definición, ¿qué significa una pendiente del 100%? ¿una recta vertical? No. Una pendiente del 100%, según la definición, es aquélla en donde la distancia vertical recorrida coincide con la distancia horizontal, en definitiva, una pendiente de 45º. ¿Y cómo se representa una recta vertical? Estrictamente hablando, en una recta vertical, la distancia horizontal es 0, mientras que la vertical es la que sea; por lo que p=100 v/0, y podemos entender que se corresponde con una pendiente ∞%.

Así que ya sabemos lo que significa, matemáticamente hablando, el numerito (en porcentaje) que aparece en las señales de grandes pendientes. Otra cosa es cómo se calcula es número, porque el método puede resultar complicado. Pensemos que para calcular una pendiente vamos a necesitar la distancia vertical y la horizontal, pero... ¿cómo calculamos la horizontal? ¿atravesamos el suelo? porque el porblema es que nosotros sólo podemos movernos por la carretera, es decir, por la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Así que en la práctica (obviando la utilización de la moderna tecnología de los GPS, y aplicando métodos manuales) sólo podemos calcular la distancia verctical y la distancia total recorrida, es decir, en el triángulo rectángulo de antes (lo vuelvo a poner) sólo podremos conocer v y d. Por lo tanto, y repito de nuevo, en la práctica vamos a calcular la pendiente utilizando la fórmula p=v/d=sen(α).

Pero claro, esta forma de proceder provoca errores. Sin embargo, para ángulos pequeños, estos errores son también muy pequeños, dado que cerca del 0, el x y sen(x) son tremendamente parecidos, tanto que lim_x->0sen(x)/x=1. ¿Y cómo de pequeños han de ser los ángulos para que el error sea también pequeño? Pues aquí debajo os dejo una pequeña hoja de cálculo en la que tenéis los ángulos desde 0º a 90º, la pendiente (usando la tangente) y la aproximación (usando el seno).


Si no ves nada aquí arriba, consulta el Documento siguiendo el enlace anterior.

Como podéis comprobar, para ángulos de hasta 15º, el error cometido es menor que el 1%. De todas formas, en muy raras ocasiones nos vamos a encontrar con carreteras cuya pendiente sea superior al 20%, en este caso, estaríamos hablando de ángulos de unos 11º o 12º, por lo que el método del seno es una muy buena aproximación.

En resumen, en este artículo hemos aprendido qué es la pendiente de una recta (o carretera), qué significa el porcentaje que aparece en las señales de la DGT, así como el método más rápido para calcular la pendiente de una recta. También nos hemos dado cuenta de que una pendiente del 100% no significa una pendiente vertical, sino un ángulo de 45º (según la definición matemática de pendiente). Así que ya sabéis, incluso en la carretera hay matemáticas.

Tito Eliatron Dixit.

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REFERENCIAS:
Cálculo de la Pendiente, de la web Altimetrías de puertos de montaña.
Métodos de cálculo de la dificultad de un puerto de montaña, de la web Ciclistas Sierra Sur de Jaén.
Grade (Slope), artículo de Wikipedia en Inglés sobre la pendiente.


Imagen inicial editada de originales (descendente y ascendente) extraídos de la Wikipedia (contenido libre).
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