miércoles, 11 de febrero de 2009

La Paradoja del segundo As

Supongamos que tenemos una baraja francesa (52 cartas con picas, corazones, diamantes y tréboles) y distribuimos las cartas aleatoriamente en 4 montones (de 13 cartas). Alguien (yo mismo, sin ir más lejos) levanto un mazo, lo miro al completo y digo
En este mazo hay un As.
¿Cual es la probabilidad de que en ese mismo mazo haya un segundo as? Según Martin Gardner, esta probabilidad es 5359/14498, que aproximadamente es del 37%. Sin embargo, si cambio ligeramente mi anuncio y dijera:
En este mazo está el As de Picas.
¿Cual sería ahora la probabilidad de que hubiera un segundo As? Paradójicamente, ahora la probabilidad es mayor, de hecho, es 11686/20825, aproximadamente del 56%.

¿Cómo es esto posible? Bueno, como bien indica Martin Gardner en su libro Aja! (predecesor del conocidísimo Ajá! Paradojas), los cálculos para esta situación resultan demasiado tediosos. Pero podemos reducirnos a un caso más sencillo pero totalmente equivalente. Vamos a suponer que tenemos 4 cartas (As de Picas Ap, As de Tréboles At, un Jack cualquiera J y una Dama cualquiera Q) y las repartimos en 2 mazos de 2 cartas. Vamos a ver las posibles parejas que puede haber en el mazo que voy a observar:

  1. Ap-At

  2. Ap-J

  3. Ap-Q

  4. At-J

  5. At-Q

  6. J-Q

Si ahora digo: En este mazo hay un As, un observador externo sabría que hay 5 casos posibles para mi mazo (los 5 primeros) pero sólo 1 caso favorable para que tenga el segundo As. Por lo tanto, la Probabilidad de que tenga el segundo As es de 1/5, es decir, del 20%.

Sin embargo, si digo que En este mazo está el As de Picas, entonces sólo hay 3 casos posibles (los 3 primeros), mientras que sigue habiendo 1 único caso favorable. Por lo tanto la probabilidad es ahora de 1/3, es decir, 33.33%

Bueno, pues como veis, la Teoría de la Probabilidad no es para nada algo intuitivo y a menudo produce este tipo de paradojas que atentan contra nuestro sentido común, como ésta misma o la famosa Paradoja del Cumpleaños.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Las preguntas sobre la probabilidad se hacen a una persona que no ha visto ningún mazo.

ACTUALIZACIÓN: Cambiados los iconos de los Ases para una mejor visualización y comprensión de la explicación.

ACTUALIZACIÓN (16/02/2009): Gracias a un comentario de nuestro amigo oraculador, encontramos un ejemplo que, no sólo da luz a esta paradoja, sino a la hermosísima discusión que se ha planteado en los comentarios de esta entrada sobre la interpretación del problema. Veamos lo que él platea:
Vamos a tenar sólo 3 cartas Ap, At, y J y vamos a darle a nuestro observador 2 cartas. Obviamente, habrá 3 posibles combinaciones: Ap-At; Ap-J y At-J. Luego la probabilidad de que le hayamos dado los dos ases es 1/3.
Si el observador mira sólo una de esas dos cartas (elige al azar la que mira) y dice
Esta carta es un As,
la probabilidad de que la otra sea un as es el 50% (puede ser J o el otro As). Si dice
Esta carta es el As de picas,
también hay el 50% de que la otra sea At (lo mismo ocurre si marca el As de tréboles). En este caso que nos digan el palo es irrelevante. Ésta es la tesis apoyada por los usuarios oraculador y Sergio Hernández.
Sin embargo, puede interpretarse el problema de la siguiente forma. Supongamos que el Observador mira las dos cartas y dice
Aquí hay un as.
Esta afirmación no nos dice absolutamente nada, pues las tres posibles combinaciones contienen un As. Por tanto, la probabilidad de que tenga dos ases sigue siendo 1/3. Ahora bien, si nos especifica el palo y, por ejemplo, dice
aquí está el as de tréboles,
entonces se cae una combinación, la Ap-J, por lo que la probabilidad de que tenga los dos ases es el 50%. Ésta es la versión original de Martin Gardner, y que yo mismo apoyaba.

Por último añadir un enlace que ha resultado esclarecedor: La Paradoja del Niño o la Niña (en inglés, eso sí).




Autor de la Foto: Tage Olsin
Fuente: Wikipedia
Visto en Futility Closet

28 comentarios:

  1. Pues no estoy deacuerdo con el razonamiento en absoluto, lo diga Gardner o quien sea, creo que está mal planteado desde el pricnipio... a ver si consigo converceros de mi punto de vista:

    Si digo que tengo un as, ese as, por fuerza, ha de ser alguno de los 4 que existen, eso es de cajon, asi que si a continuación añado "y es el as de picas", eso NO nos añade ninguna información (alguno tenía que ser), y si no añade información NO PUEDE variar las probabilidades, lo diga quien lo diga.

    Bajemos al caso simplificado de 4 cartas a ver que ocurre: Abró la primera carta de mi grupo de dos y digo "tengo un as", la siguiente carta puede ser cualquiera de las otras 3, asi que, visto asi, la probabilidad de que sea el otro as es de 1/3.

    Ahora, en el mismo caso, digo "Tengo el as de picas", pues de nuevo ocurre que la otra carta puede ser... cualquiera de las otras 3, y sera un as en 1 caso, asi que, de nuevo, sale 1/3 de probabilidad.

    Asi si que me convence: Añadir que el as es el de picas, no nos da más información, y no modifica la probabilidad de dos ases: 1/3 en ambos casos.

    ¿Y donde esta la "falacia"? Pues en que, cuando digo "tengo un as", los casos 3 y 4 del ejemplo (un as + J y el otro as + J) son el MISMO caso, ya que solo nos importa cual es la OTRA carta y el as en concreto no nos importa, asi que 3 y 4 NO son equiprobables respecto del caso 1 (dos ases), que sería "el doble de probable".

    Vamos, que si no me equivoco, y no veo como podría estarlo, el libro en cuestión es un filfa y está mal planteado el ejemplo entero.

    ResponderEliminar
  2. Esto es lo bueno de la probabilidad, que un mismo problema puede tener tantas soluciones como puntos de vista haya.

    De todas formas, la idea subyacente es la de probabilidad condicionada. Si añado información, reduzco los casos posibles y aumenta la probabilidad.

    ResponderEliminar
  3. Quería haber cambiado un detalle pero "se me publico" solo el comentario... en mi explicación me ha faltado suponer que el que "reparte" las cartas, me las da ordenadas de menor a mayor, así elimino el caso de que me salga una J y después un as. Asi, si tengo un as, ha de salirme en la primera carta que vea y la explicación queda mas clara.

    Esto no modifica en nada la explicación, solo que si no se supone la prob. no sería 1/3, sería algo distinta pero poco.

    El porqué falla el ejemplo del libro se puede ver de otra forma: Las 6 combinaciones son equiprobables SOLO si no sabemos nada, cuando recibimos la información de que hay, al menos, un as, la probabilidad de "AS-AS" dado que ya sabemos que hay un as es doble que "AS PICAS-J", ya que en el caso AS-AS no se supone que el AS reportado es uno concreto, pero en el otro caso si.

    Asi, de los 6 casos posibles, nos quedan 5, pero el 1 es "dos veces" más probable que los otros 4: 2/(2+1+1+1+1)=2/6=1/3 es la probabilidad correcta.

    Si me dices que es el as de picas, entonces solo nos quedan 3 casos posibles, y todos equiprobables, con probabilidad 1/3... ahora si que cuadra todo!

    Tito, ese libro es muy famoso? Espero que no!

    ResponderEliminar
  4. Ya, Tito, pero en este caso NO añades nighuna información, por eso la probabilidad no cambia!

    ResponderEliminar
  5. Además, Tito, un problema de probabilidades solo puede tener una solución correcta, y la solución que da ese libro al caso de la baraja completa -o al simplificado de 4 cartas- es totlamente ERRONEA, sin paliativos, no ha aplicado bien las probabilidades condicionales y ha supuesto algo que es falso.

    ResponderEliminar
  6. Vamos a poner las cosas claras
    1.- Hay una persona que mira el mazo y otra que no lo mira.
    2.- las cartas se reparten al azar.
    3.- Las dos Frases que dice el que mira el mazo, NO las hace sobre el mismo reparto, es decir, Se reparte 1 vez, se mira el mazo y se dice "Aquí hay 1 AS". Se pregunta por la probabilidad y todo eso. Ahora se baraja, se reparte otra vez, se mira un mazo y se dice, "Aquí está el AS de PICAS". Y se pregunta por la probabilidad.

    Digamos que hay 2 experimentos independientes. Igual el problema viene de no haberme explicado bien.

    ResponderEliminar
  7. Yo, siempre que leo sobre una paradoja, parto de una certeza: Las paradojas NO existen, solo hay problemas mal planteados o soluciones mal entendidas.

    Siempre es una de estas dos cosas, auin no conozco una verdadera paradoja!

    ResponderEliminar
  8. No, Tito, te has explicado bien, yo entendí eso mismo, y con ese ejemplo que tu dices, la probabilidad es de 1/3 en ambos casos.

    Si en un experimento te dicen "tengo un as", te esta dando la misma información que si te dicen "tengo el as de picas". NO hay información extra en decir el palo del as -respecto a la probabilidad que nos interesa calcular- porque de algún palo tenia que ser! Es un detalle sin importancia alguna.

    Lo que estoy diciendo es que los cálculos de Gardner están genuinamente equivocados: si al añadir el palo del as esto cambia el resultado, ha de estar mal, por lógica.

    Es como si digo "tengo un as, es de picas, y esta al revés la carta". Si esto ultimo varia la probabilidad de tener dos ases, sin pensar mucho, se que el razonamiento es erróneo.

    ResponderEliminar
  9. Visto mas "academicamente":

    La probabilidad de tener dos ases dado que sé que tengo un as cualquiera, es el doble que la probabilidad de tener un as de picas + J dado que sé que tengo un as cualquiera.

    Esto quiere decir que, una vez sé que tengo un as, de las 5 parejas posibles que quedan, no todas son equiprobables y no puedo hacer la cuenta de 1/5. NO puedo hacerlo, y si lo hago, me estoy equivocando del todo, no es cuestión de punto de vista ni nada, está mal.

    Lo correcto es ver primero que la pareja 1 es doble de probable que las otras 4, y todas han de sumar 1, asi que las probabilidades son 2/6 para el caso 1, y 1/6 para los otros 4 casos.

    ResponderEliminar
  10. Comprobado: La probabilidad buena es 11686/20825, que serias 48/51*47/50*...*37/40.

    En el caso de un as "sin apellidos", el resultado es... el mismo! (este calculo no lo he hecho, pero se podría, claro, es solo el caso de 4 cartas "complicado" un poco).

    ResponderEliminar
  11. No veo cuál es el problema. Sí, es una paradoja porque verbalmente mucha gente pensaría que estamos ante dos casos iguales, cuando en realidad estamos ante dos probabilidades con una condición de partida distinta, y por lo tanto distintos resultados.

    ResponderEliminar
  12. Ni, Milhaud, es UN solo caso, con una sola probabilidad, aunque se puede expresar de dos formas "verbales" distintas que pueden confundir al mas pintado y llevarle a pensar que son dos casos distintos.

    ResponderEliminar
  13. yo estoy con Sergio. Creo que lo ha clavado con el comentario de que la pareja 1 tiene el doble de probabilidades que las otras 4, ya que sé que hay un as seguro.
    Cuando leí el post pensé lo mismo: "no añade nada que te digan que es de picas, luego no puede cambiar la probabilidad", pero el ejemplo de Tito parecía confirmar lo contrario y no sabía explicar por qué.
    Pero es que es eso, la pareja 1 tiene el doble de probabilidades.
    Tito, qué opinas?
    muy interesante, esto.

    ResponderEliminar
  14. Se me ha ocurrido otra forma de explicarlo:

    si te dicen “Aquí hay 1 as”, caben dos posibilidades: que sea el At o que sea el Ap. Ambas tienen el 50% de probabilidad.

    Si es el At, la probabilidad de que la segunda carta sea el Ap es 1/3
    Si es el Ap, la pb de que la segunda carta sea el At, es 1/3

    luego la probabilidad total de que la segunda carta sea otro as es 1/3!!
    Creo que Sergio tiene razón.

    ResponderEliminar
  15. Yo estoy con Gardner...

    De hecho, esto me redcuerda al famoso problema de las 3 puertas, ese del concurso en que tras 1 de las 3 puertas hay un premio. Elijes 1, el presentador abre otra en la que NO hay premio, y entonces, si cambias de puerta, aumenta tu probabilidad de ganar el premio...

    ResponderEliminar
  16. Si sé que tengo un as, la probabilidad de 1 pareja de ases es:

    Prob. el as era de picas * Prob. la otra es el otro as + Prob. el as era de corazones * Prob. la otra es el otro as = 1/2 * 1/3 + 1/2 * 1/3 = 1/3.

    Ya que la prob. de que el as cantado sea de picas es 1/2, y ya sabido cual es el as, la prob. de que la otra carta sea cualquiera de las posibles -incluido el segundo as o la J- es 1/3.

    En el caso de "as de picas + J" el calculo es algo diferente: Solo aparece UNO de los dos sumandos, ya que el otro as fijo que no está con lo que el segundo sumando es cero:

    Prob. as era el de picas * Prob. la otra es J = 1/2 * 1/3 = 1/6, la mitad.

    Como veis, la combinacion as+as es doble de probable una vez que se que tengo un as. Igual que la combinacion as+J seria mas probable si nos dijesen que tengo una J. Esto es lo que os debería convercer... o si no intentad refutarlo.

    Tito, el ejemplo no es igual que el de las puertas, en ese SI que sé mas cosas una vez abren una puerta, pero si una vez que se que tengo un as luego me dicen el palo... no me dan ninguna informacion sobre cual puede ser la segunda carta: Sigue teniendo 1/3 cada carta restante, igual que antes de saber qué as era.

    ResponderEliminar
  17. Plantéatelo de la siguiente forma:

    Levanto la Primera carta (y sólo la primera) y entonces voy diciendo todo lo demás.

    ResponderEliminar
  18. Tito, pues en ese nuevo planteamiento te remito a mi explicación anterior. Si levantan la primera carta y te dicen “es un as”, hay un 50% de pb que sea At y un 50% Ap, y en cada caso 1/3 de que la segunda carta sea un as, luego el resultado es 1/3.

    míralo de esta forma: si te dicen “es el as de picas”, la pb de que la segunda carta sea el de tréboles es 1/3. Hasta ahí, todos de acuerdo, no?. Entonces, si te dicen “es el as de tréboles”, la pb de que la segunda carta sea el de picas también es 1/3, no?. Luego queda ahí demostrado que el palo del as no cambia la probabilidad!!! sea del palo que sea el as que se ha visto, la probabilidad es 1/3. el palo del as es irrelevante, la pb siempre será 1/3 te digan que es el de picas, el de tréboles o no te digan nada!

    El ejemplo de las puertas creo que no tiene nada que ver, como dice SH

    ResponderEliminar
  19. Gracias por el link, muy revelador

    Volviendo a lo de las cartas, en otro foro he visto una explicación que creo aclara bastante el tema. El ejemplo es con sólo hay 3 cartas: Ap, At, y J.

    Le damos dos cartas a otra persona. Hay 3 posibles combinaciones: Ap-At; Ap-J y At-J. Luego la probabilidad de que le hayamos dado los dos ases es 1/3.

    si esa persona mira sólo una de esas dos cartas (elige al azar la que mira) y dice “es un As”, la pb de que la otra sea un as es el 50% (puede ser la J o el otro As). Si dice “es el As de picas”, también hay el 50% de que la otra sea el At. Lo mismo si dice “es el As de tréboles”. En este caso que nos digan el palo es irrelevante. Sería lo que apoyamos Sergio y yo.

    Peeeero, si esa persona mira las dos cartas y dice “aquí hay un as”, eso no nos dice absolutamente nada, pues las tres posibles combinaciones tienen un as. Ya sabíamos que ahí iba a haber un as. La probabilidad de que tenga dos ases sigue siendo 1/3. Ahora bien, si nos especifica el palo, por ejemplo dice “aquí está el as de tréboles”, entonces se “cae” una combinación, la Ap-J, y la pb de que tenga los dos ases es el 50%. Es la versión de Tito y Gardner.

    Luego la clave parece ser que el interlocutor haya visto todas o sólo una de las cartas. Igual que en el ejemplo de wikipedia con los niños: si eliges un niño al azar, da igual que sea niño o niña para calcular la pb del sexo del segundo (sería el equivalente a mirar sólo una carta), pero si dices “uno de los dos hijos es un niño”, la cosa cambia (equivalente a mirar las dos cartas)

    apasionante...

    ResponderEliminar
  20. Creo que por fin nustras posturas convergen (y no, no hablo del Kamasutra).

    Además, el ejemplo que tú propones, me parece muchísimo más esclarecedor. Si no te importa, voy a incluirlo en el artículo.

    ResponderEliminar
  21. os paso el link del foro donde he visto el ejemplo de las tres cartas, incluye una muy interesante discusión sobre el ejemplo de las puertas del concurso. Resulta que en ese ejemplo el presentador NO te está dando nueva información al abrir una que no tiene premio!

    http://www.reddit.com/r/math/comments/7vcj1/can_someone_exaplain_the_paradox_of_the_second/

    ResponderEliminar
  22. Esto engancha!

    creo que he encontrado un error en el artículo de wikipedia, en el párrafo que dice:

    If we further assume that parents never name two children with the same name, we can eliminate {Jacob, Jacob}, leaving 198 possible events; thus it would appear that the probability of the family having a girl is 100/198, or 50/99. However, there are now 50 occurrences each of {Jacob, Boy not Jacob} and {Boy not Jacob, Jacob} making the probability of a girl 100/200, or exactly 1/2.

    Vamos a ver: Cómo puede ser que ahora se haya “creado” un nuevo caso posible? antes había 199 y ahora hay 200????. le “quitan” un caso al Jacob-jacob, y le añaden 1 a “jacob-boynotjacob” y otro a “boynotjacob-jacob”. O sea, quitan uno y suman 2. No es posible!

    No tiene ningún sentido que restringir el número de Jacobs en el mundo aumente sus casos posibles.

    En mi opinión, está mal añadirle 1 caso más al “boynotjacob-jacob”, ya que esa combinación es igualmente probable independientemente de que los padres puedan o no repetir nombre.

    Con lo que quedaría la misma probabilidad de que haya una niña que antes: 100/199

    He editado la página en wikipedia, a ver si cuela

    ResponderEliminar
  23. Bueno, la cosa esta muy muy interesante!

    He leído el ejemplo de los niños, y también el de las 3 cartas, son ambos muy interesantes, pero se nos está escapando algo importante que es la clave: Teoría de juegos.

    El punto es que, cuando el presentador del concurso de las puertas nos abre una, SABEMOS su intención, y eso hace que el que abra una puerta no nos dé información: Va a abrir una puerta vacía, seguro, NO es una puerta abierta al azar. Si fuese al azar, si que nos daría información.

    En el ejemplo de os niños, se dice que se eligen "al azar", con lo que es otro caso posible.

    Sin embargo, cuando el que ve las cartas nos dice que "hay un as", por ejemplo, no conocemos su intención: Pueden ser 3: igual quiere ayudarnos a adivinar si hay dos ases pero solo se le permite decirnos una carta -y por tanto podríamos asumir que nos dice la que más casos descarta- o puede que sea como el presentador y no quiere que acertemos, o puede ser un autómata que, al azar, coge una de las dos y nos la dice.

    Fijaos en la diferencia: Si mi amigo es el que ve las dos cartas, y quiere ayudarme a que yo acierte si son las dos ases o no, entonces si me dice que hay un as -con el palo o no- yo sabría que NO tiene una J, porque en ese caso, me habría dicho "tengo una J" y todo resuelto: Sabría que no son dos ases.

    Pero si es un presentador de programa que no quiere ponernoslo facil, entonces asumiremos que no quiere darnos información de ningun tipo, y todos los cálculos de probabilidades condicionadas CAMBIAN, porque siempre nos va a decir que hay un as, nunca nos dirá que tiene una J (decir que "tengo un as" no aporta información es suponer que este es el caso).

    En el último caso, si me dice una de las dos cartas al azar, entonces me da información, pero no tanta como mi amigo.

    De aquí viene toda la discusión: cada uno, en su imagen mental, se imagina uno de los 3 casos, y la información que podemos sacar de lo que nos diga es muy diferente.

    El quid a nivel de fórmulas está en que, la probabilidad de que me diga "tengo un as" dado que le ha salido "as+J" es, en cada caso, muy distinta:

    0 si es mi amigo.
    1 si es mi enemigo.
    1/3 si se elije al azar.

    Es un problema típico en teoría de juegos: La probabilidad de acertar usando las pistas que mi "enemigo" me da, depende de que el me este engañando a propósito o no... si descifro un mensaje avisando de que el desembarco será en el canal de la mancha, el desembarco aliado parece que será allí con mayor probabilidad, pero si sospechan que puedo descifrar sus mensajes, podría -o no- ser un mensaje falso para despistarme, en cuyo caso, la probabilidad de desembarco en el canal, disminuye o desaparece del todo.

    Es lo de "se que sabes que se que sabes.... ", según el nivel de paranoia que use, tomaré una información como que refuerza mi tesis, o como que la refuta.

    Así que el quid es: El que me dice "tengo un as", es un autómata que le hemos dicho que nos lea una de las dos cartas al azar, o es alguien CONTRA el que apostamos a adivinar si son dos ases o no, o es alguien que colabora con nosotros a que adivinemos?

    Esa información es NECESARIA para poder calcular cualquier probabilidad.

    Si el que nos lo dice lo hace al azar, entonces decir "tengo un as" SI nos da información (la J pasa a ser menos probable incluso con 3 cartas) y hace que la probabilidad de 2 ases sea 1/2. Pero añadir qué as concreto es, no nos da más información, la probabilidad sigue siendo 1/2.

    Pero si es "enemigo", entonces "tengo un as" NO nos da información, y si añade el as concreto, tampoco, es como cuando el presentador abre una puerta concreta: La probabilidad de 2 ases siempre es 1/3.

    Y por ultimo, si es amigo y dice "tengo un as", la probabilidad de dos ases es 1. Si dice el as concreto, la probabilidad sigue siendo 1, claro.

    Asi, creo que Gardner está equivocado, pero no en cada probabilidad concreta de las dos que da, está equivocado en que, para calcular la prob. de dos ases cuando se que tiene un as (1/3 en el ejemplo de 3 cartas), estoy suponiendo que es un presentador malvado que no me aporta información.

    Pero, cuando añado qué as concreto es, entonces, de golpe, asumo la neutralidad del presentador y hago los cálculos como si me hubiesen leído una carta al azar y me sale otro numero.

    ResponderEliminar
  24. Menuda parrafada... resumiendola, para calcular prob. condicionales tenemos o bien que asumir que todo es al azar, o bien conocer la estrategia del que tenemos en frente.

    Si asumimos que todo es al azar, saber que hay un as aumenta la probabilidad de dos ases de 1/3 a 1/2.

    Si aceptamos que "tengo un as" no da información, ESTAMOS asumiendo que tenemos en frente a alguien que juega contra nosotros, asi que no esperamos nunca que confiese tener una J, y la probabilidad de 2 ases es, siempre, 1/3, diga el lo que diga (como con las puertas).

    Si el acertijo Gardner-Tito para 3 cartas empieza por decir que "tengo un as" no da información, ESTA asumiendo un presentador contrario a nosotros.

    Una vez asumido esto, que es totalmente licito, ya no puede asumir que la carta anunciada se ha elegido al azar, como se hace al decir que "tengo el as de picas" elimina casos y deja los demas equiprobables.

    Conocer la estrategia del otro, ES lo que más informacion nos da!

    ResponderEliminar
  25. En definitiva, que todo depende del punto de vista

    ResponderEliminar
  26. Vaya, pues si, fuiste profetico y yo absolutista, mea culpa.

    ResponderEliminar
  27. Acabo de encontrarme con este blog y la entrada me parece interesante. Mi aportación: creo que si no se especifica más claramente el problema, no se puede optar por una explicación u otra. Voy al caso de las tres cartas: cuando se dice que hay tres posibilidades y que las tres son equiprobables se está haciendo una asunción muy fuerte. Si barajamos las cartas y damos las dos primeras (lo que sería un reparto razonable) resulta que la probabilidad de dos ases es 50%, basta con mirar las seis posibilidades para el barajado. No he hecho los cálculos, pero probablemente es lo que proponía Sergio en el mensaje del 11 de febrero. Y efectivamente, me tengo que sumar a la idea de que informar del palo del as no varía la probabilidad. Otra cosa es que se repitiera el experimento hasta que saliera un as de un palo definido a priori; en ese caso sí que varían las probabilidades.

    Saludos,

    Juan Miguel

    ResponderEliminar

Si no comentas, Gauss se comerá una integral.
Y, por favor, respeta a todos con tus opiniones.

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...