miércoles, 11 de febrero de 2009

La Paradoja del segundo As

Supongamos que tenemos una baraja francesa (52 cartas con picas, corazones, diamantes y tréboles) y distribuimos las cartas aleatoriamente en 4 montones (de 13 cartas). Alguien (yo mismo, sin ir más lejos) levanto un mazo, lo miro al completo y digo
En este mazo hay un As.
¿Cual es la probabilidad de que en ese mismo mazo haya un segundo as? Según Martin Gardner, esta probabilidad es 5359/14498, que aproximadamente es del 37%. Sin embargo, si cambio ligeramente mi anuncio y dijera:
En este mazo está el As de Picas.
¿Cual sería ahora la probabilidad de que hubiera un segundo As? Paradójicamente, ahora la probabilidad es mayor, de hecho, es 11686/20825, aproximadamente del 56%.

¿Cómo es esto posible? Bueno, como bien indica Martin Gardner en su libro Aja! (predecesor del conocidísimo Ajá! Paradojas), los cálculos para esta situación resultan demasiado tediosos. Pero podemos reducirnos a un caso más sencillo pero totalmente equivalente. Vamos a suponer que tenemos 4 cartas (As de Picas Ap, As de Tréboles At, un Jack cualquiera J y una Dama cualquiera Q) y las repartimos en 2 mazos de 2 cartas. Vamos a ver las posibles parejas que puede haber en el mazo que voy a observar:

  1. Ap-At

  2. Ap-J

  3. Ap-Q

  4. At-J

  5. At-Q

  6. J-Q

Si ahora digo: En este mazo hay un As, un observador externo sabría que hay 5 casos posibles para mi mazo (los 5 primeros) pero sólo 1 caso favorable para que tenga el segundo As. Por lo tanto, la Probabilidad de que tenga el segundo As es de 1/5, es decir, del 20%.

Sin embargo, si digo que En este mazo está el As de Picas, entonces sólo hay 3 casos posibles (los 3 primeros), mientras que sigue habiendo 1 único caso favorable. Por lo tanto la probabilidad es ahora de 1/3, es decir, 33.33%

Bueno, pues como veis, la Teoría de la Probabilidad no es para nada algo intuitivo y a menudo produce este tipo de paradojas que atentan contra nuestro sentido común, como ésta misma o la famosa Paradoja del Cumpleaños.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Las preguntas sobre la probabilidad se hacen a una persona que no ha visto ningún mazo.

ACTUALIZACIÓN: Cambiados los iconos de los Ases para una mejor visualización y comprensión de la explicación.

ACTUALIZACIÓN (16/02/2009): Gracias a un comentario de nuestro amigo oraculador, encontramos un ejemplo que, no sólo da luz a esta paradoja, sino a la hermosísima discusión que se ha planteado en los comentarios de esta entrada sobre la interpretación del problema. Veamos lo que él platea:
Vamos a tenar sólo 3 cartas Ap, At, y J y vamos a darle a nuestro observador 2 cartas. Obviamente, habrá 3 posibles combinaciones: Ap-At; Ap-J y At-J. Luego la probabilidad de que le hayamos dado los dos ases es 1/3.
Si el observador mira sólo una de esas dos cartas (elige al azar la que mira) y dice
Esta carta es un As,
la probabilidad de que la otra sea un as es el 50% (puede ser J o el otro As). Si dice
Esta carta es el As de picas,
también hay el 50% de que la otra sea At (lo mismo ocurre si marca el As de tréboles). En este caso que nos digan el palo es irrelevante. Ésta es la tesis apoyada por los usuarios oraculador y Sergio Hernández.
Sin embargo, puede interpretarse el problema de la siguiente forma. Supongamos que el Observador mira las dos cartas y dice
Aquí hay un as.
Esta afirmación no nos dice absolutamente nada, pues las tres posibles combinaciones contienen un As. Por tanto, la probabilidad de que tenga dos ases sigue siendo 1/3. Ahora bien, si nos especifica el palo y, por ejemplo, dice
aquí está el as de tréboles,
entonces se cae una combinación, la Ap-J, por lo que la probabilidad de que tenga los dos ases es el 50%. Ésta es la versión original de Martin Gardner, y que yo mismo apoyaba.

Por último añadir un enlace que ha resultado esclarecedor: La Paradoja del Niño o la Niña (en inglés, eso sí).




Autor de la Foto: Tage Olsin
Fuente: Wikipedia
Visto en Futility Closet
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