La conjetura de... Hcabdlog

¿Hcabdlog? Pero Tito eliatron, ¿qué te pasa en la boquita?
Todo tiene su explicación. Comencemos viendo el siguiente vídeo:



¿Y con la conjetura de Goldbach se liga? En fin, dejémonos de amoríos y centrémonos en las matemáticas. Como bien dicen en este vídeo (introducción de la película La Habitación de Fermat), la Conjetura de Goldbach aventura que

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Christian Goldbach (1742).

Como muchos de vosotros ya sabréis (de hecho, ya se comentó algo en este blog) este resultado es una conjetura, ya que, a pesar de su simplicidad, no se conoce demostración alguna, aunque sí se ha comprobado para una gran cantidad de números.

En el presente artículo, no vamos a demostraros esto (lástima). Si en la Conjetura de Goldbach se trata de escribir números impares como suma de dos primos, aquí vamos a escribir números primos como suma de dos números. Vamos como en Goldbach pero al revés, de ahí el nombre: Conjetura de Hcabdlog (¡anda!, la única letra muda, más las 4 primeras letras del abecedario desordenadas, más un logaritmo; curioso):

Un número es primo impar si y sólo si se puede escribir como suma de 2 números naturales consecutivos, pero no se puede escribir como suma de 3 ni de 4, ni de 5,..., ni de más números consecutivos.

De hecho, esta conjetura es, en realidad, un resultado, ya que no es muy difícil demostrarlo, como vamos a ver a continuación.

En primer lugar vamos a familiarizarnos con las sumas de números consecutivos (dos o más). Ni el 1 ni 2 se pueden escribir como suma de números consecutivos; 3=1+2; el 4 tampoco se puede expresar como suma de consecutivos; 5=2+3; 6=1+2+3; 7=3+4; el 8 tampoco se puede; 9=2+3+4=4+5; 10=1+2+3+4; 11=5+6; 12=3+4+5; 13=6+7; 14=2+3+4+5; 15=1+2+3+4+5=7+8; y el 16 tampoco se puede escribir. Así visto, parece que los únicos números que no se pueden expresar como suma de consecutivos son el 1, 2, 4, 8, 16,... es decir, las potencias de 2.

De una forma más organizada:

• Si sumamos 2 números consecutivos, obtenemos los números imapres, a partir del 3: n+(n+1)=2n+1={3,5,7,9,11,13,...}.
• Si sumamos 3 números consecutivos, obtenemos los múltiplos de 3, a partir del 6: n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)={6,9,12,15,18,...}.
• Si sumamos 4 números consecutivos, obtenemos los múltiplos de 4 más 2, a partir del 10: n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6=4(n+1)+2={10,14,18,22,26,...}.
• Las sumas de 5 consecutiivos dan {15,20,25,30,...}
• Las sumas de 6 dan {21, 27, 33, 39,...}
• Las sumas de 7 dan {28, 35, 42, 49,...}

En general, si sumamos d números naturales consecutivos obtendremos lo siguiente: n+(n+1)+(n+2)+...+(n+d-1)=n·d+(1+2+...+(d-1))=n·d+d(d+1)/2. Es decir, las sumas de d números consecutivos son {d(d+1)/2+d, d(d+1)/2+2d, d(d+1)/2+3d, d(d+1)/2+4d,...} Curiosamente, los números que son suma de una cantidad impar de números consecutivos, son todos múltiplos de dicho número. En efecto, si d=2k+1, entonces n+(n+1)+(n+2)+...+(n+d-1)=n(2k+1)+(2k+1)(2k+2)/2=
=(2k+1)(n+k+1)=d(n+k+1). Sin embargo, la suma de un número par de números consecutivos, no es múltiplo de ese número (y esto, ya os lo dejo a vosotros, queridos lectores).

Con todo esto, nos damos cuenta de que es importante saber si el número d de números consecutivos es par o impar. Y ahora vamos a comenzar la demostración de la Conjetura de Hcabdlog, de hecho, vamos a probar aún más cosas.

Elijamos un número natural n y vamos a ver si lo podemos escribir como suma de d números consecutivos.

En primer lugar, como 1+2+3+...+d=d(d+1)/2, es imprescindible que nuestro número n sea mayor o igual que este valor. En segundo lugar, vamos a diferenciar si d es par o impar.

En el caso en que d sea impar, vamos a efectuar la división n/d. Si nos sale exacta, es decir, si d es un divisor de n, basta tomar d números consecutivos de forma que n/d esté justo en medio, es decir, de forma simétrica. En resumen, tomamos los números {n/d, n/d±1, n/d±2,...,n/d±(d-1)/2}. Mira el dibujo si no te queda suficientemente claro:
Por ejemplo si n=60 y d=3, como 60/3=20, tomamos los números 19+20+21=60.

Resumiendo, para cada divisor impar de n tal que d(d+1)/2≤n, tenemos una representación de n como suma de d números consecutivos. Y además, no hay más formas de escribir n como una suma de un número impar de números consecutivos.

En el caso en que d sea par, la cosa ya no funciona igual. Ahora vamos a necesitar que al dividir n entre el número de sumandos d (que ahora, repito, es par) nos dé un número situado justo en medio de dos naturales (un coma 5 vamos), es decir, vamos a necesitar que d sea divisor de 2n pero no de n. Así que si llamamos k=2n/d (que, tal y como hemos dicho, ha de ser impar), entonces k/2=n/d estará justo entre dos naturales. Ahora basta con coger de forma simétrica d/2=n/k naturales a un lado y a otro de k/2. Pero mira mejor el siguiente dibujo:
Por tanto, dado un divisor impar k de n, tenemos expresado n como suma de 2n/k números consecutivos. La única condición que hay que imponer es que, con este proceso, no tomemos números negativos, es decir, k/2+1/2>n/k, o lo que es lo mismo, k(k+1)/2>n, que es la misma condición que que obtuvimos al principio. Además, ésta es la única forma de expresar n como suma de una cantidad par de números consecutivos.

En resumen, si juntamos lo obtenido para los casos impar y par resulta que

Un número se escribe como suma de consecutivos de tantas formas como divisores impares tenga.

Por lo que ya tenemos todo hecho y podemos obtener los siguientes resultados.

• Los números que no se pueden expresar como suma de consecutivos son las potencias de 2, ya que éstos son los únicos números sin divisores impares.
• Los únicos números que se pueden escribir como suma de 2 consecutivos pero no de 3, ni de 4 ni de 5,..., ni de más, son los primos impares, pues son los que tienen un único divisor impar, luego sólo se pueden escribir de 1 única forma y esta forma es, claramente, con 2 consecutivos.

Como habréis podido ver, el resultado de la Conjetura de Hcabdlog a pesar de parecerse mucho a la Conjetura de Goldbach, sí se puede demostrar y, además, su demostración no es demasiado técnica, tan sólo hay que escribir bien las cosas y tener mucho cuidado.

Tito Eliatron Dixit.

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Este artículo es una adaptación de otro de similar nombre aparecido en la Hoja Volante de Octubre de 2009 (PDF, 1.75Mb) obra de Carlos Vinuesa, quien nos dio permiso para utilizarlo. Muchas gracias, Carlos.