Este artículo ha sido publicado previamente en Amazings y ha supuesto mi segunda colaboración con esta magnífica web.
Lo reproduzco en mi blog íntegramente, por si aún hay alguien que no lo haya leído en Amazings.
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En el presente artículo, vamos a continuar nuestro repaso a la historia de la trigonometría aportando breves destellos de información.
En la primera parte de esta historia (la puedes leer en Amazings o en Tito Eliatron Dixit), vimos el origen etimológico de la palabra trigonometría, sus orígenes en la antigua Babilonia y el Egipto de las pirámides, la consolidación en la Grecia clásica y las últimas aportaciones de los matemáticos hindúes.
A continuación veremos qué ocurrió con la avanzada matemática islámica, la siempre misteriosa y pseudo-oculta ciencia china y la llegaday consolidación a la europa occidental.
Los Árabes
La matemática árabe y, en particular, la trigonometría, se alimentó fundamentalmente de la Grecia clásica por un lado y de la India por el otro. De hecho, la mayor parte de los trabajos hindúes fueron no sólo traducidos por matemáticos árabes y persas, sino que también extendieron muchos resultados, alejando la trigonometría de las meras aplicaciones, que era lo que fundamentalmente se hacía hasta esos momentos. Una de sus aportaciones más singulares fue la de tomar r=1 en la circunferencia goniométrica, a diferencia de los antiguos griegos que usaban r=60. De hecho, algunos historiadores apuntan a que en este momento “aparece por primera vez la trigonometría real, en el sentido que el objeto de estudio pasan a ser los triángulos esféricos o planos y los ángulos y lados que los componen”.
A principios del siglo IX, Al-Kwarizmi construye las primeras tablas exactas del seno y el coseno y, por primera vez, tabula los valores de la tangente. Poco después otro matemático árabe, Al-Marwazi, produce la primera tabla de cotangentes.
Pero quizás el matemático árabe que más aportaciones ofreció a la trigonometría fue Al-Battani, quien, además de definir las razones trigonométricas recíprocas (secante y cosecante) y sus tablas, indagó en varias relaciones trigonométricas (ahora clásicas), estableciendo, por ejemplo, que 
ó 
.
Ya en el siglo X, los matemáticos árabes y, en particular,
Abu al-Wafa, ya utilizaban las 6 razones trigonométricas clásicas (que como bien cantaban Les Luthieres eran: seno, coseno, tangente y secante y la cosecante y la cotangente). Éste matemático árabe consiguió compilar tablas del seno de hasta 8 decimales de precisión y con intervalos de cuarto de grado. Fórmulas de duplicación del seno o el Teorema de los Senos para trigonometría esférica, fueron otras de las aportaciones de al-Wafa.
Y no podemos terminar el apartado sobre trigonometría árabedejar sin hablar del matemático andalusí, procedente de la actual Jaen, Al-Jayyani, quien con su Libro de los arcos esféricos desconocidos, escribe el primer tratado conocido sobre trigonometría esférica.
Teorema del Coseno, tablas de las razones trigonométricas con más de 8 cifras decimales exactas, métodos de triangulación, mediciones del tamaño de la tierra y de distancias entre lugares… todos estos logros también fueron sucesivamente alcanzados por los matemáticos árabes en su afán por ahondar en las entrañas de la trigonometría.
China
En un primer momento, la trigonometría en China no pasaba de ser meros cálculos tabulados traducidos de los matemáticos hindúes. Sin embargo, este estado embrionario de la trigonometría china comenzó a cambiar cuando se dieron cuenta de la necesidad de desarrollar la trigonometría esférica para un correcto manejo de los calendarios y las posiciones astronómicas. Así, por ejemplo, el matemático chino Shen Kuo (1031-1095) utiliza las funciones trigonométricas para resolver problemas relacionados con cuerdas y arcos y encuentra una fórmula que permite aproximar la longitud 
de un arco de circunferencia en función del diámetro de la circunferencia 
, la longitud 
de la cuerda del arco y la sagita 
(distancia entre el punto medio del arco y su cuerda) 
.
Esta última fórmula parece ser que fue la base sobre la que trabajó otro matemático chino
Guo Shoujing para desarrollar sus trabajos sobre trigonometría esférica, mediante los cuales fue capaz de calcular la duración del Año Solar, con un error menor que 26 segundos. Sin embargo, a pesar de los esfuerzos de Guo en esta materia, el interés por la misma desapareció de China hasta que en el siglo XVI se publicaran los Elementos de Euclides.
Europa Occidental: Trigonometría clásica
La trigonometría llega a europa a partir del siglo XII a través de la cultura árabe. Pero no es hasta el siglo XV cuando se realizan los primeros trabajos de importancia sobre este tema.
Quizás el primer matemático europeo que se adentró en el campo de la trigonometría fue Johann Müller, conocido como Regiomontano debido a la traducción al latín de su ciudad de origen: Königsberg. Su obra fundamental es De Triangulis Omnimodis, en la que, con una estructura similar a los Elementos de Euclides, trata sobre las definiciones básicas relacionadas con la trigonometría, establece el Teorema de los Senos y otros 55 teoremas más y los aplica a la resolución de triángulo, ofrece una fórmula para calcular el área de un triángulo en función de 2 de sus lados y el ángulo que forman, y, finalmente, se ocupa de diversos aspectos de la trigonometría esférica.
Quizás fue en el Opus palatinum de triangulis de Rheticus (siglo XVI), alumno de Copérnico, en donde se definen, por primera vez, las razones trigonométricas en función de triángulos rectángulos y no a través de circunferencias como venía siendo habitual hasta esos momentos. Asimismo, proporcionó tablas, con una exactitud de 10 segundos, de las seis funciones trigonométricas.
El último gran aporte a la trigonometría clásica fue la invención de los logaritmos por el matemático escocés John Napier en 1614. Sus tablas de logaritmos facilitaron en gran medida el arte de la computación numérica, incluyendo la compilación de tablas trigonométricas.
Europa Occidental: Trigonometría analítica
En el siglo XVII comienza a cambiar el carácter geométrico de la trigonometría, inclinándose hacia aspectos más algebraicos y analíticos, y principalmente dos descubrimientos ayudaron en este proceso: el álgebra simbólica, con François Viète a la cabeza; y la geometría analítica, con Fermat y Descartes como principales paladines. De hecho, Viette comprueba que algunas ecuaciones algebraicas pueden resolverse en términos de razones trigonométricas.
Pero la herramienta que definitivamente dotó a la trigonometría de su moderno aspecto actual es la invención del Cálculo Infinitesimal a cargo de Newton y/o Leibniz (según quiera el lector, claro). En particular, Newton establece el desarrollo en series de potencias del seno y del coseno, aunque parece que parte de estos desarrollos eran ya conocidos por el matemático hindú Madhava, y previamente, James Gregory en 1671, obtiene el desarrollo en series de potencias de la función arcotangente, consiguiendo, de paso, una bonita relación entre p y los número naturales:
La aparición de los números complejos supuso en definitivo impulso a la nueva trigonometría. En particular, Abraham de Moivre en 1722 establece la conocida fórmula
.
en la que álgebra y geometría se dan la mano a través del binomio de Newton.
Pero fue el gran matemático Leonhard Euler quien estableciera la inseparable relación entre trigonometría y variable compleja con su conocida fórmula eia =cos(a) + i sen(a), de la que se puede derivar La Fórmula Preferida del Profesor o Identidad de Euler
en la que se relacionan de una forma maravillosamente simple los 5 números más importantes de toda la historia.
Con la introducción de la función exponencial los límites de la trigonometría son insospechados. A partir de aquí, no se puede decir que haya habido aportaciones muy importantes a la trigonometría en sí, sino que este campo pasa a ser una herramienta analítica más que los matemáticos y científicos de todo el mundo utilizamos para innumerables situaciones: desde series de Fourier hasta mecánica cuántica.
Pero, afortunadamente, la historia continúa, ya que en matemáticas siempre hay cosas que investigar.
Tito Eliatron Dixit
Bibliografía: Historia y Didáctica de la trigonometría, Francisco Luis Flores Gil.
Historia de la Trigonometría, de El Rincón del Vago.
Trigonometry, en Encyclopaedia Britannica.
History of trigonometry, en Wikipedia inglesa.
Imágenes: Todas están extraídas de los correspondientes artículos de la Wikipedia.
es el importe del billete de ida y que 
es el importe del de vuelta. Por el primer método explicado (el de hacer un 20% a la suma) tendríamos que pagar 
, mientras que por el segundo método (nos hacen el 40% en el de vuelta) tendremos que pagar 
. Para ver cuándo coinciden, sólo hay que igualar y resolver: 
o lo que es lo mismo 
. Si ahora pasamos las 
, que en definitiva se reduce a que 
.
, mientras que si da la casualidad que 
, nos convendría más que nos cobraran el método 1 (20% a la suma).
, o lo que es lo mismo, 
, de donde 
, es decir, si la Ida es más cara que la vuelta, el método RENFE es más caro que hacerte un 20% en ambos trayecto. Por tanto, podrías reclamarles ya que te estarían "timando" ¿no?
, porque, claro, si 
es evidente que sí hay soluciones. Por ejemplo, basta tomar 
y 
; o bien 
y 
.