miércoles, 20 de enero de 2016

Un primo de más de 22 millones de dígitos; descubierto el 49º primo de Mersenne

Marin Mersenne (vía Wikipedia)
El 7 de enero, el GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search ) celebraba su vigésimo aniversario. Y lo hizo de la mejor manera posible: anunciando el descubrimiento del nuevo número primo más grande conocido, [;2^{74207281}-1;], número que posee 22338618 dígitos.

Este descubrimiento se ha realizado por el proyecto GIMPS a través del equipo del investigador Curtis Cooper.

Aquí tenéis, en formato txt y luego comprimido en zip, el nuevo número primo más grande del mundo. El anterior primo de Mersenne más grande, [;M_{57885161};], tenía alrededor de 5 millones menos de cifras.


Este número es uno de los conocidos como Número de Mersenne, es decir, un número de la forma [;M_n:=2^n-1;]. Pero una conocida propiedad nos dice que si [;n;] es un número compuesto, también lo será [;M_n;]; por lo tanto para que un número de Mersenne sea primo, necesariamente el exponente debe ser primo.

Estos números se llaman así en honor al monje francés del siglo XVII Marin Mersenne, quien elaboró una lista de números primos de esta forma con exponentes 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Esta lista era correcta hasta el exponente 31, pero los números [;M_{67};] y [;M_{257};] no son primos y, además faltan [;M_{61};] y [;M_{89};]. Mersenne no comprobó que éstos números eran primos (algunos se conocían desde la antigua Grecia), sino que lo conjeturó. Fueron otros matemáticos (como Euler o Lucas) los que probaron que los números más grandes eran primos.

Los Primos de Mersenne están estrechamente relacionados con los conocidos como Números Perfectos. Estos números son aquéllos tales que sus divisores propios suman el propio número. Por ejemplo 6 es perfecto, pues sus divisores propios son 1, 2 y 3 que suman 6. Otro número perfecto es el 28. Aunque se conoce que hay infinitos números primos, aún no se sabe si hay o no infinitos números perfectos. Lo que sí conocemos (ya lo probó Euclides) es que si [;M_n;] es primo, entonces [;M_n(M_n-1)/2;] es un número perfecto. De lo anterior, también podemos deducir que no sabemos si hay o no infinitos primos de Mersenne.

La lista completa de primos de Mersenne conocidos está publicada en GIMPS. Se sabe que todos los de la lista son primos y que todos los que no están hasta el número 44, [;M_{32582657};], son compuestos. Vamos que es posible que entre el 44º y el ultimo conocido, haya algunos primos más que aún no se conozcan.

Os dejo con una gráfica, extraída del GIMPS, donde se ve la evolución histórica del número de cifras de la potencia de 2 de los primos de Mersenne desde 1996.




Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 6.X "El grafo" del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

2 comentarios:

  1. Ojo, la gráfica representa el tamaño de la potencia de 2, no el número de cifras.

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    Respuestas
    1. UPS, cierto....
      Pues la que yo digo debe estar chula...

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