Tito Eliatron Dixit: Calculando la altura de un triangulo conocidos sus lados

miércoles, 24 de febrero de 2016

Calculando la altura de un triangulo conocidos sus lados

Hoy va la cosa de triángulos y la pregunta es sencilla. Dado un triángulo cualquiera ¿cómo calcularías (al menos) una de sus alturas? Vale, vamos a concretar algo más. Suponed que tenéis únicamente los lados de un triángulo y por supuesto, no disponéis de instrumentos de medida (ni reglas ni transportadores de ángulo ni nada que se le parezca). ¿Cómo calculáis una de sus alturas? Pensad un poco antes de continuar.

Yo os ofrezco, al menos, una solución.

Vamos a los casos sencillos. Si el triángulo es isósceles, la cosa es sencilla. Si llamamos $[;a;]$ a los 2 lados iguales y $[;c;]$ al otro lado (ojo, que en el caso de ser isósceles, $[;c=a;]$ y el argumento sigue siendo válido), resulta que la altura sobre el lado $[;c;]$ lo corta justo por la mitad:

Ahora basta aplicar el Teorema de Pitágoras para determinar que

$[;h=\sqrt{a^2-(c/2)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{4a^2-c^2};]$

Bien, pero... ¿qué ocurre si nuestro triángulo es escaleno? En este caso, cabe la remota posibilidad de que el triángulo sea rectángulo (por ejemplo, $[;a=3,\,b=4,\,c=5;]$ ) y así resulta que hay 2 alturas que coinciden con los lados $[;a;]$ y $[;b;]$ .

Pero, ¿qué pasa en general? ¿cómo podemos calcular una altura? O incluso en el caso de un triángulo (verdaderamente) isósceles, ¿cómo calculamos de forma sencilla la altura sobre uno de los lados iguales?

Aquí está el problema. Y mucho me temo que un alumno (medio) de secundaria hoy por hoy no sabría resolverlo. Y no lo haría por falta de una sencilla herramienta que no se suele explicar: La Fórmula de Herón.

La fórmula de Herón permite de forma relativamente sencilla calcular el área de un triángulo únicamente conocidos los lados (como es nuestro caso). Dicha fórmula, en su forma más simple, dice que:

$[;\text{\'Area}(T)=\frac{1}{2}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)};]$

donde $[;s=(a+b+c)/2;]$ , es decir, el semiperímetro del triángulo.

Bien, una vez conocida la herramienta adecuada, ahora basta recordar la fórmula habitual del área del triángulo $[;\text{\'Area}(T)=base\times altura /2;]$ para tener que

$[;h_a=\frac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a};]$

donde hemos denotado por $[;h_a;]$ la altura correspondiente al lado $[;a;]$ .

¿Y a ti? ¿Se te ocurre otra manera de calcular una altura de un triángulo dados, exclusivamente, sus lados?

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 7.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

4 comentarios:

Mmonchi24 de febrero de 2016, 23:21
Las proyecciones de a y b sobre c son x e y, x+y=c. Aplico Pitágoras y opero:

x+y=c
x²=a²-h²
y²=b²-h²

a²+y²=b²+x²
x=c-y
x²=c²+y²-2cy
a²+y²-b²=c²+y²-2cy
a²-b²=c²-2cy
2cy=b²+c²-a²
y=(b²+c²-a²)/2c
h²=b²-(b²+c²-a²)²/4c²
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Rafalillo26 de febrero de 2016, 11:05
Hola, Eliatron!

Antes de nada, me toca felicitarte por los 6 años del Carnaval de Matemáticas que tú iniciaste. Que esta iniciativa haya triunfado y siga vigente después de tanto tiempo es un poco 'culpa' de todos los que colaboramos y aportamos nuestro granito de arena, pero tú eres un poco más 'culpable' que los demás :D

Con respecto a tu post, la verdad es que es muy sencilla tu forma de resolver este problema, pero has cometido un fallo. En la fórmula de Herón te sobra el factor 1/2, lo cual implica que la fórmula de la obtención de la altura debe estar multiplicada por 2. Me he dado cuenta enseguida del error porque lo he refrescado hace poco estudiando las oposiciones de Matemáticas, en la que he aprendido incluso a demostrar la fórmula de Herón (¿cómo diantres lo haría Herón sin utilizar el álgebra en aquellos tiempos?). Puedes ver fácilmente que no te funciona con el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5.

Hasta los más grandes se equivocan ;)

A ver si hoy, o a lo sumo mañana, publico mi aportación para esta edición.

Saludos!
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