jueves, 4 de abril de 2013

La ecuación de segundo grado: encontrando la fórmula general o cómo completar cuadrados

Para un alumno de secundaria (de primer ciclo), uno de los primeros problemas (digámoslo así) serios a los que se enfrenta es la resolución de ecuaciones de segundo grado. Todos sabemos que existe una fórmula general para calcular las soluciones, pero... ¿realmente sabemos de dónde sale? En este artículo vamos a ver someramente cómo se llega a dicha fórmula y algunas versiones más sencillas en casos muy especiales.

En primer lugar, ¿qué es una ecuación de segundo grado? pues algo con el siguiente aspecto:
[;ax^2+bx+c=0;] con [;a\ne0;].
Antes de continuar, siempre podemos conseguir que [;a>0;] ya que si el coeficiente de [;x^2;] es negativo, multiplicamos toda la ecuación por [;-1;] y obtenemos otra equivalente, pero con el coeficiente de [;x^2;] positivo.
Ahora, para llegar a la solución general, vamos a ir resolviendo, previamente, los casos más simples.
Cuando sólo hay un término.
Este es el caso más sencillo, pues al haber un único término, éste debe ser, forzosamente, el término cuadrático, por lo que la ecuación quedaría [;ax^2=0;]. Pero como debe ser [;a>0;], entonces la única opción es que [;x^2=0;]. Y esta última ecuación tiene como única solución a [;x=0;] (solución doble).

Este caso siempre tiene una única solución: [;x=0;] doble.


Cuando falta el término independiente.

Este caso tampoco tiene mayor complicación, sin más que recordar un hecho fundamental: si el producto de dos términos es 0, entonces al menos uno de ellos debe ser 0. En efecto, al faltar el término independiente, la ecuación queda así: [;ax^2+bx=0;] (con [;b\ne0;] para no estar en el caso anterior). En el primer término, podemos sacar factor común [;x;] para convertirla en [; x(ax+b)=0;], de donde o bien [;x=0;] o bien [;ax+b=0;], en cuyo caso, [;x=-b/a;].

Este caso siempre tiene 2 soluciones diferentes: [;x=0;] y [;x=-b/a;] .


El caso crucial: cuando falta el término en [;x;].

Aquí las cosas comienzan a ponerse divertidas. La ecuación que tenemos que resolver es [;ax^2+c=0;] (con [;c\ne0;], para no estar en el primer caso), de donde resulta que [;x^2=-c/a;]. Uno podría pensar que esto nunca tiene solución (real) pues [;x^2\ge0;] y el segundo miembro tiene un signo negativo. Bien, eso es cierto, siempre que [;c>0;] (recordad que antes de empezar nos hemos asegurado de que [;a>0;]); pero si [;c<0;] entonces [;-c/a>0;] y extrayendo raíz cuadrada se obtienen 2 soluciones [;x=\pm\sqrt{-c/a};].

En este caso:
  • Si [;c>0;] no hay solución (real).
  • Si [;c<0;] hay dos soluciones: [;x=\pm\sqrt{-c/a};].


El caso general: completando cuadrados.

Por fin, llegamos a la ecuación completa [;ax^2+bx+c=0;]. Para resolverla, vamos a reducirnos al caso anterior; sí, ese en el que falta el término en [;x;]. Y para ello, vamos a recurrir a un método particular, un método que se conoce como Completar Cuadrados. Bien, para ello, coge tu tangram y... que no, que es broma! El método de completar cuadrados se basa en que la expresión cuadrática [;ax^2+bx+c;] siempre se puede expresar como [;a(x-\alpha)^2+\beta;].

Una forma sencilla de ver quiénes son [;\alpha;] y [;\beta;] es desarrollar la expresión anterior e igualar coeficientes.en efecto, [;a(x-\alpha)^2+\beta=a(x^2-2\alpha x+\alpha^2)+\beta=ax^2-2a\alpha x+\beta+a\alpha^2;], pero esta expresión debe ser igual a [;ax^2+bx+c;] por lo que se debe cumplir que [;-2a\alpha=b;] y [;\beta+a\alpha^2=c;], de donde es fácil despejar y obtener que
[;\alpha=-b/2a;]  y  [;\beta=c-b^2/4a=-(b^2-4ac)/4a;]

Pero entonces, para resolver nuestra ecuación completa, basta resolverla escrita con [;\alpha;] y [;\beta;]. Y esto es lo mismo que el caso anterior (o incluso el primero).

Si [;a(x-\alpha)^2+\beta=0;] , entonces [;(x-\alpha)^2=-\beta/a;], por lo que [;x-\alpha =\pm\sqrt{-\beta/a};] y tenemos que [;x=\alpha\pm\sqrt{-\beta/a};].

Vaya, parece que tenemos siempre 2 soluciones. Pero esto no es así.


  • Si [;\beta>0;], como [;a>0;], resulta que la ecuación no tiene solución (real), pues [;-\beta/a<0;].
  • Si [;\beta=0;], entonces la ecuación tiene una única solución (doble) [;x=\alpha;] 
  • Si [;\beta<0;], entonces la ecuación tiene dos soluciones: [;x=\alpha\pm\sqrt{-\beta/a};]


La fórmula de la ecuación de segundo grado.

Con lo anterior, basta con escribir quién es [;\alpha;] y quién es [;\beta;] para obtener la archiconocida fórmula.

Recordemos que [;\beta=-(b^2-4ac)/4a;], luego [;-\beta/a=(b^2-4ac)/4a^2;] y [;\sqrt{-\beta/a}=\sqrt{b^2-4ac}/2a;]; y por otro lado [;\alpha=-b/2a;].

Así que poniendo todo junto, las soluciones de la ecuación de segundo grado es
[;x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a};]

Y por cierto, como [;\beta=-(b^2-4ac)/4a;] y [;a>0;], resulta que [;{\rm signo}(\beta)=-{\rm signo}(b^2-4ac);], por lo que:
  • Si [;b^2-4ac<0;], la ecuación de segundo grado no tiene solución.
  • Si [;b^2-4ac=0;], la ecuación tiene una única solución (doble) [;x=-b/2a;].
  • Si [;b^2-4ac>0;], la ecuación tiene dos soluciones dadas por la fórmula clásica.

Espero que este post haya sido útil par aquéllos que nunca se habían preguntado el origen de la fórmula de la ecuación de segundo grado.

Tito Eliatron Dixit

7 comentarios:

  1. Creía que ibas a explicar cómo despejar la x para llegar a la fórmula x=(-b+-raiz(b2-4ac)/2a,
    es decir:
    1) multip por 4a
    2) sumar b2 a ambos lados
    3) agrupar en suma de cuadrados
    4) raíz cuadrada a ambos lados
    5) despejar la x.

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    Respuestas
    1. He explicado eso mismo... pero de otra forma.

      De hecho, la que tú propones no acaba de gustarme pues es una demostración "a posteriori" es decir, como ya sabes lo que va a salir, vuelves al principio y lo buscas deliberadamente.

      No digo que esté mal, de hecho así es como enseñan matemáticas en las facultades en general, pero si puedo dar una demostración constructiva y simple, pues mejor.

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  2. A mí me enseñaron en el colegio la demostración, como tú la llamas, 'a posteriori' (que ya es mejor que ninguna demostración) y muchos años más tarde, ya haciendo la carrera, una más constructiva en un curso de Teoría de Galois, pero esta cosa intermedia está muy bien. Gracias.

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  3. genial tanto una forma como la otra el caso es decubrir el maravilloso mundo que se esconde en la complejidad de dichas resoluciones bravo por todos los que pretendemos que las cosas sean mas facil para que la evolucion continue

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  4. Muy bien explicado el método para completar cuadrados. Gracias. Daniel

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  5. de donde viene tal aseveracion

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  6. Muy interesante como resuelve ecuaciones, pero conozco un sitio wed, donde resuelven los ejercicios no solo de ecuaciones, también otros ejercicios se lo recomiendo se llama profecasa.com

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