Calculando la diagonal

Como muchos de vosotros ya sabréis, hace unos días tuve el inmenso placer de compartir unas horas con el gran divulgador de las Matemáticas en España, Claudi Alsina.

Pero a pesar de que la conferencia que nos regaló fue excepcional, para mí sólo queda el rato que compartimos en mi despacho. Entre recomendaciones, consejos, anécdotas y demás, Claudi también me propuso algún problema muy interesante; y eso es lo que os traigo hoy, uno de los problemas que me propuso. Vamos allá.

Supongamos que tenemos una caja que no se puede abrir ni desplegar... un taco de madera en forma de paralelepípedo, vamos. Algo como lo que ves en la imagen de aquí abajo.

La pregunta es bien sencilla. Si sólo disponemos de una sencilla regla de medir,

 ¿cómo calcularías la diagonal de esta caja?



Bueno, una mente matemática como la vuestra no habrá tardado demasiado en contestar. Si ponemos nombres a algunos de los vértices de la caja,

Bastará tomar la regla y medir la arista AB

Y ahora medir la distancia entre B y C

Y ahora basta con aplicar el teorema de Pitágoras, pues la Diagonal, AC es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son, precisamente, AB y AC.

¿Y eso es todo, Tito Eliatron? ¿Tanto rollo para que al final sólo haya que aplicar el Teorema de Pitágoras?

Jejeje, no, claro que no. El Teorema de Pitágoras está muy bien... pero claro, si uno quiere algo de precisión, debe hacer uso de las raíces cuadradas... y eso ya no es tan sencillo hacerlo sin calculadora.

Así que el reto es el siguiente:

¿Serás capaz de calcular la diagonal de esta caja SIN HACER NINGÚN CÁLCULO?

Si quieres conocer la respuesta, sólo tienes que pulsar el botón que hay aquí abajo, pero creo que en realidad es mejor que lo pienses por ti mismo. Y para centrar un poco las cosas, toma una caja de cerillas o de lo que sea que tengas a mano en tu casa, coge un lápiz, un papel y una regla... y dedícate a pensar.
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La solución está algo más abajo... ¿seguro que lo has pensado bien? Venga ya, que tú puedes.
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Bueno, vale, te la voy a contar.

En primer lugar, vamos a poner nuestra caja sobre una mesa y, concretamente, en la esquina de la mesa:

Ahora hacemos una pequeña marca en la mesa (bueno, mejor si ponemos un papel debajo, y la marca la hacemos en el papel) justo donde acaba la caja (vamos a hacer la caja un poco transparente para verlo mejor):

 Ahora quitamos la caja y la volvemos a poner, pero esta vez empezando justo en la marca hecha anteriormente:

Y... ¡¡¡ya está!!! Ahora basta con medir la distancia entre el vértice B y el pico de la mesa porque... AHÍ TENEMOS LA DIAGONAL.

Una pequeña variante del método anterior permite que sólo haya que medir en la mesa. Para ello, ponemos la caja tal que así y marcamos:

Ahora, la volvemos a poner recta y marcamos en el otro lado de la mesa:

Ahora, quitamos la caja y gracias al Teorema de Pitágoras, basta con medir de marca a marca para calcular nuestra diagonal.

Aunque el segundo de los métodos es más "plano" y fácil de ejecutar, personalmente creo que el primero es magistral en el sentido que te hace ver la diagonal, en el más estricto sentido de la expresión, ¿no creéis?



 Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 4.123105625 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Que no te aburran las M@TES.