Tito Eliatron Dixit: Fibomagia

martes, 28 de abril de 2015

Fibomagia

Rápido, piensa dos números entre el 1 y el 10 y escríbelos uno encima del otro. Bajo éstos, escribe la suma de los anteriores y bajo esta suma, la suma de los dos números inmediatamente anteriores.

Por ejemplo, si has pensado en el 4 y el 6, deberías haber escrito lo siguiente:

Perfecto. Ahora sigue escribiendo bajo el último número, la suma de los dos anteriores hasta haber escrito un total de 20 números. Ahora fíjate en los dos últimos (el decimonoveno y el vigésimo) y divido uno entre el otro; sí, da igual el orden.

Deja que las ondas hertzianas fulanas y menganas lleguen de tu ordenador a mí... ya.
Seguro que los tres primeros decimales que te han salido son 618. Y si me apuras algo más, es posible que los 2 siguientes sean 03.

Creo que a prácticamente todos habré acertado los 3 primeros decimales y a muchos de vosotros el cuarto y a algunos menos el quinto.

Evidentemente esto es un pequeño truco de matemagia y nada tiene que ver con poderes para anormales (perdón, paranormales).

En primer lugar lo que hay detrás de este truco es algo tan conocido como la Sucesión de Fibonacci, esa en la que los dos primeros términos son 1 y a partir del tercero, cada término se consigue sumando los dos inmediatamente anteriores.

Como veis, la única diferencia entre vuestra sucesión y la de Fibonacci son los dos primeros términos. Pero para las propiedades generales de dicha sucesión, esto no influye para nada.

Más concretamente. Es de sobra conocido que el cociente entre dos términos consecutivos de la Sucesión de Fibonacci, es decir, $[;f_{n+1}/f_n;]$ , tiende al número de oro $[;\phi=(1+\sqrt5)/2;]$ . En este truco, lo que os he pedido es que montéis vuestra propia sucesión de tipo Fibonacci hasta el término número 20 y que hagáis el cociente entre el decimonoveno y el vigésimo.

Bien, si habéis hecho $[;a_{20}/a_{19};]$ , la propiedad anterior nos garantiza que esto puede ser una muy buena aproximación de $[;\phi;]$ y resulta que $[;\phi=1,618033...;]$ así que sólo tengo que recordar los primeros decimales de $[;\phi;]$ para acertar (con una probabilidad muy alta) los 3 primeros decimales de tu cuenta (y con un poco de suerte, podríamos llegar hasta 5 decimales).

Pero espera un momento. En el truco dijiste que hiciera el cociente... y daba igual el orden en que dividiera. ¿Qué pasa si hago $[;a_{19}/a_{20};]$ ?

Muy fácil. Si $[;a_{n+1}/a_n\to\phi;]$ es obvio que $[;a_n/a_{n+1}=1/(a_{n+1}/a_n)\to1/\phi;]$ . Pero es que resulta que

$[;\frac{1}{\phi}=\frac{2}{1+\sqrt5}=\frac{2(1-\sqrt5)}{(1+\sqrt5)(1-\sqrt5)}=\frac{2(1-\sqrt5)}{1-5}=\frac{\sqrt5-1}{2}=\phi-1;]$

Con lo cual, el número $[;a_{19}/a_{20};]$ será una buena aproximación de $[;\phi-1=0,618033...;]$ y los decimales serán los mismos que antes.

Y como bola extra, te dejo un segundo truco con el que harás creer a tus amigos que eres un rápido calculista mental. Quédate con los 10 primeros términos de tu sucesión y reta a alguien a que los sume antes que tú. Mientras esa persona hace cuentas, tú sólo tienes que fijarte en el séptimo número y multiplicarlo por 11 (que es muy sencillo hacerlo mentalmente).

En efecto, veamos los 10 primeros términos de una sucesión de Fibonacci, cuyos te´rminos iniciales son $[;a;]$ y $[;b;]$ :

a₁	a
a₂	b
a₃	a+b
a₄	a+2b
a₅	2a+3b
a₆	3a+5b
a₇	5a+8b
a₈	8a+13b
a₉	13a+21b
a₁₀	21a+34b
SUMA	55a+88b

Como podéis comprobar, la suma de los 10 primeros términos es $[;55a+88b=11(5a+8b)=11a_7;]$ .

Y lo mejor es que esto funciona con cualesquiera 10 términos consecutivos... puedes tomar los 10 primeros, o los 10 últimos... o los que prefieras. Para hacer la suma, bastará con que multipliques el séptimo por 11.

Tito Eliatron Dixit

PD: Este post forma parte del Carnaval de Matemáticas, que en esta quincuagésima tercera edición, también denominada 6.3: Teorema de Pitágoras, está organizado por Rafael Martínez González a través de su blog El mundo de Rafalillo.