martes, 24 de mayo de 2016

Una prueba alternativa de la derivada del producto

Una de las reglas de derivación que más se utilizan es la derivada de un producto de funciones. Creo que todo estudiante de bachillerato la conoce:
[;(f\cdot g)^\prime= f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime;]


Pero quizás lo que se vea menos es la demostración de esta propiedad. Y quizás la razón es que es poco intuitiva (para un alumno de bachillerato o primer curso de una carrera científico-técnica). La demostración estándar la podéis encontrar en la wikipedia, por ejemplo. Aquí os traigo otra demostración mucho más sencilla e intuitiva que he encontrado a través de Facebook (siento no tener el enlace).

Vamos allá.

En primer lugar, vamos a demostrar que [;(f^2)^\prime=2f\cdot f^';] y lo vamos a hacer por fuerza bruta, usando la definición de derivada como límite de cocientes incrementales.



Bien, una vez que sabemos  derivar cuadrados (que en el fondo es un caso particular de un producto), podemos pasar al caso general. Para ello, podemos actuar de 2 maneras.

En la primera, consideramos la función [;(f+g)^2;] y la tratamos de derivar. Resulta que, aplicando la regla del cuadrado, tenemos que

[;[(f+g)^2]^\prime=2(f+g)(f+g)^\prime=2(f+g)(f^\prime+g^\prime)=2(ff^\prime+gg^\prime+f^\prime g+fg^\prime);]

 pero desarrollando previamente el cuadrado y luego derivando, tenemos que

[;[(f+g)^2]^\prime=(f^2+g^2+2fg)^\prime=(f^2)^\prime+(g^2)^\prime+2(fg)^\prime = 2(ff^\prime+gg^\prime+(fg)^\prime);]

Y comparando ambos resultados se tiene la regla del producto.


También podríamos haberla derivado sin más que darse cuenta de que [;fg=\frac{1}{4}[(f+g)^2-(f-g)^2];], por lo que

[;(fg)^\prime=\frac{1}{4}[2(f+g)(f^\prime+g^\prime)-2(f-g)(f^\prime-g^\prime)] =\frac{1}{4}(4fg^\prime+4fg^\prime)=fg^\prime+f^\prime g;].

Espero que esta forma os resulte algo más intuitiva. A mí, particularmente, sí.

Referencias:
Piotr Josevich, An Alternative Approach to the Product Rule, American Mathematical Monthly 123 (2016), 470.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la edición 7.4 del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews.

1 comentario:

  1. Yo utilizo una demostración más o menos como esa, para el producto de funciones reales de una o de varias variables, y otra similar para el cociente demostrando primero la fórmula para la derivada de 1/f. Es una forma de convencer a los alumnos de que vale la pena utilizar la regla de la cadena.

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