domingo, 24 de abril de 2016

El número π, el principio del palomar... y el caos.

Todos sabemos que [;\pi;] es un número irracional y, como tal, posee infinitos decimales no periódicos. De los decimales de [;\pi;]se han dicho muchas cosas, como por ejemplo, que en ellos está contenido todo el universo (aunque de esto no estamos aún seguros). Pero lo que sí podemos decir es lo siguiente.

Fíjate en la sucesión de los múltiplos de [;\pi;], es decir, [;(n\pi)_{n\in{\mathb N};].  Ahora olvídate de la parte entera y quédate solo con sus decimales: [;S=({n\pi}=n\pi-[n\pi])_{n\in{\mathbb N};].
  Pues bien, vamos a demostrar que la sucesión [;S;] es densa en todo el intervalo [;[0,1];], es decir, que cualquier número de dicho intervalo se puede aproximar tanto como queramos mediante términos de [;S;].

Vamos allá. En primer lugar, veamos que todos los términos de [;S;] son diferentes.

Supongamos que hay 2 términos de [;S;] que son iguales, es decir, existen [;n,m\in{\mathbb N};] tales que [;n< m;]pero que [;\{n \pi\}=\{m\pi\};] , es decir, [;n\pi-[n\pi]=m\pi-[m\pi];]; pero de aquí se puede deducir que
[;\pi=\frac{[m\pi]-[n\pi]}{m-n};]
 Pero esto es imposible, porque esto significaría que [;\pi;]  sería racional. Por lo tanto tenemos que todos los elementos de [;S;] son diferentes. Vamos que tenemos infinitos elementos.

Ahora vamos a usar el Principio del Palomar. Fijemos un número natural [;n\in{\mathbb N};] y dividamos el intervalo [;[0,1];] en [;n;] intervalos de amplitud [;1/n;] (los palomares), es decir, [;\left[\frac{m}{n},\frac{m+1}{n}\right];]
con [;0\le m\le n-1;].

Ahora tenemos [;n+1;] palomas, es decir, los números [;\{\pi\},\{2\pi\},\cdots,\{(n+1)\pi\};]. Por lo tanto, habrá 2 palomas en algún palomar, o dicho de otro modo, existirán [;1\le i,j\le n+1;] con [;i\ne j;] tales que [;\{i\pi\};] y [;\{j\pi\};] estarán en el mismo intervalo de la forma [;\left[\frac{m}{n},\frac{m+1}{n}\right];]. En particular, se tiene que [;0<|\{i\pi\}-\{j\pi\}|<\frac{1}{n};]. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que se tiene [;0<\{i\pi\}-\{j\pi\}<\frac{1}{n};].  Pero como [;1/n\le 1;], se tiene que
[;\{i\pi\}-\{j\pi\}=\{\{i\pi\}-\{j\pi\}\}=\{i\pi-[i\pi]-(j\pi-[j\pi])\}=\{(i-j)\pi\}\in S;].


Daos cuenta ahora que para cada [;l\in{\mathbb N};], la distancia entre [;l\{(i-j)\pi\};][;(l+1)\{(i-j)\pi\};] es menor que [;1/n;]. Además, cada intervalo [;\left[\frac{m}{n},\frac{m+1}{n}\right];] tiene longitud exactamente [;1/n;]. Por lo tanto, en cada uno de estos intervalos habrá un número de la forma [;l\{(i-j)\pi\};] con [;l=1,\dots,N;]. Pero, igual que hemos hecho hace un momento, resulta que [;l\{(i-j)\pi\}=\{l(i-j)\pi\};].

En resumen, para cada [;n\in{\mathbb N};] y cada [;m=0,\dots,n-1;], existe un número natural [;l_{m,n}=1,\dots,N;] tal que
[;\{l_{m,n}(i-j)\pi\}\in\left[\frac{m}{n},\frac{m+1}{n}\right]\cap S;]

Por último, para cada [;n\in{\mathbb N};] cualquier número [;x\in[0,1];] estará en alguno de los intervalos de la forma [;\left[\frac{m}{n},\frac{m+1}{n}\right];], luego [;x;] estará a una distancia menor que [;1/n;] de un elemento de [;S;].

Con esto demostramos que [;S;] es denso en [;[0,1];].


Hasta ahora, los ingredientes que hemos usado son el número π y el principio del palomar (además de un argumento quizás algo técnico). Pero... ¿dónde está aquí el caos?

Una posible definición de caos ya la vimos en este mismo blog. Esta definición (la de Devaney) impone 3 condiciones, aunque en el caso de sistemas dinámicos lineales, bastan 2 de ellas:
  • Existe un elemento con órbita densa.
  • Existe una cantidad densa de puntos con órbita periódica.
Pues precisamente estas dos condiciones se cumplen aquí

Consideremos el sistema dinámico siguiente: [;T_n(x)=\{nx\}=nx-[nx];]  para  cada [;x\in{\mathbb R};]. Lo que hemos demostrado antes es que hay un elemento con órbita densa: [;\pi;]. En realidad, el mismo argumento usado con [;\pi;] funciona con cualquier número irracional.

Lo que también podemos probar de forma muy sencilla es que si [;q\in{\mathbb Q};] resulta que [;T_n(q);] toma exactamente tantos valores como el denominador de [;q;] cuando lo escribimos como su fracción irreducible. Por ejemplo, [;T_n(3/4);] toma 4 valores [;3/4,\, 1/2,\, 1/4,\, 0;].

Así que, en cierto sentido, podemos decir que el sistema dinámico consistente en tomar los múltiplos enteros de un número real cualquiera y quedarte con su parte decimal, es un sistema caótico.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 7.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es pimedios.

PD2: La idea de esta entrada era,  en un principio, demostrar que la sucesión [;(\{10^n\pi\})_n;]  es densa. Esta sucesión consiste en tomar los decimales de π a partir de la posición [;n;]. Traté de adecuar la demostración anterior (basándome aquí o aquí, por ejemplo) pero finalmente fallaba en un punto (no podía garantizar que en cada intervalo [;[m/n,(m+1)/n];] hubiese un término de la sucesión. Me da a mi que la sucesión es densa, pero yo no soy capaz de demostrarlo. Si alguien lo hace, que me lo diga. O puede que alguien responda en Mathematics Stack Exchange. Muchas gracias.

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