Un problema de porcentajes con aplicación

Hace unas semanas propuse por Twitter un problema sobre porcentajes, que a continuación os copio:

En un pueblo hay dos colegios. En el primero, al 42% de los alumnos les gustan las matemáticas, mientras que en el segundo, esto solo ocurre para el 38% de los alumnos. En total, ¿a qué porcentaje de alumnos de ese pueblo le gustan las matemáticas?

Bueno, lo que realmente hice en twitter fue hacer una encuesta, di 4 posibles soluciones y quienes quisieran, podían votar. Las respuestas ofertadas fueron

40% - 80% - Entre 38% y 42% - No se puede saber.

En total recibí 2334 votos.

La opción primera, 40%,  es justo la MEDIA de ambos porcentajes, es decir, justo el punto mmedio entre 38 y 42. Es una respuesta que te puede venir a la cabeza si lo piensas rápido... pero NO ES LA CORRECTA. Sin embargo, fue escogida por un 23% de los votantes. Para ellos es ete post.

La segunda opción, 80%, no es más que la suma de ambos porcentajes. Bajo mi punto de vista es la más absurda de todas. De hecho tan sólo la eligió un 6% de los votantes, que quiero pensar que o bien pincharon lo primero que les pareció para saber los resultados, o bien iban a pinchar en otro lado y se equivocaron, o incluso pincharon ésta por fastidiar. Eso pensando bien, porque seguro que alguno le dio a esta opción convencido. Para estos últimos también va este post (y este blog entero).

La tercera opción ofrece un intervalo en donde puede estar la respuesta, "entre 38% y 42%". Y son justo los dos valores que ofrezco. Esta opción fue elegida por un 31% de los votantes y hablaré de ella en un momento.

La última opcíon es la de "No se puede saber" y fue elegida por un 40% de los votantes.

Bien, realmente se podría decir que las 2 últimas respuestas son correctas. Pero realmente la Opción 3 es más correcta que la cuarta. Me explico.

Con los datos que ofrece el problema, no se puede saber con exactitud el porcentaje de alumnos a los que les gusta las matemáticas. Y no se puede saber porque desconocemos el númeor de alumnos de cada centro.

Supongamos que el Colegio A tiene 100 alumnos de los cuales a 42 le gustan las matemáticas, el 42%.
Supongamos ahora que el Colegio B tiene 1000 alumnos de los cules 380 le gustan las matemáticas, el 38%.
En total habrá 1100 alumnos, de los que 422 son amantes de las matemáticas, es decir, un 38,36%.

Hagamos ahora la suposición al tevés. Si en el Colegio A hay 1000 alumnos y 420 amantes de las matemáticas y en el Colegio B hay 100 alumnos con 38 a los que les gustan, en total habrá 1100 alumnos y 458 a los que les gustan las matemáticas, lo que supone un 41,64%.

Realmente, sin el dato de los alumnos de cada centro, es imposible calcular el porcentaje exacto. Luego parece que la respuesta corrrecta es la cuarta. Pero.. ¿te has fijado que en estos casos extremos no se baja de 38% y no se sobrepasa el 42%? Haz las cuentas exagerando más el número. Supón 10000 alumnos, o 1000000 o aún más (en cada colegio). Verás lo que ocurre.

Ocurre que en realidad, la respuesta correcta es la TERCERA, es decir, noi podemos sabe el porcentaje, pero seguro que éste está entre 38% y 42%, independeinte metne del número de alumnos. Vamos a comprobarlo.

Supongamos que en el Colegio A hay $N$ alumnos, por lo tanto el númeor de alumnos a los que les gustan las matemáticas será de $0,42\cdot N$ (el 42% de $N$). Análogamente, supongamos que en el Colegio B hay $M$ alumnos, con $0,38\cdot M$ a los que les gustan las matemáticas (el 38% de $M$). En total habrá $N+M$ alumnos, de los cuales a $0,42N+0,38M$ le gustarán las matemáticas.
Por lo tanto, la proporción de alumnos a los que le gustan las matemáticas será
$$\frac{0,42N+0,38M}{N+M}.$$

Pero haciendo unas cotas muy sencillas (vamos, teniendo en cuenta que $0,38$$<$$0,42$), tendremos que

$$0,38=\frac{0,38 N+0,38M}{N+M}<\frac{0,42N+0,38M}{N+M}<\frac{0,42N+0,42M}{N+M}=0,42$$

Por lo tanto, aunque no podemos saber con total certeza el porcentaje, sí sabemos que éste está entre el 38% y el 42% y que los extremos NO son posibles.

Luego la respuesta correcta es la TERCERA.

Vamos apensar un poco. ¿Bajo qué condiciones el porcentaje será exactamente del 40%? Pues intuitivamente, esto es ceirto siempre y cuando ambos colegios tengan exactamente el mismo número de alumnos, es decir, si $N=M$
$$\frac{0,42N+0,38M}{N+M} = \frac{0,42N+0,38N}{N+N}=\frac{0,42+0,38}{2}=0,40.$$

Pero vamos un poco más allá. ¿Qué conocimiento aplicado podemos extraer? Pues así a botepronto, se me ocurren una situació en la que esto mismo es aplicable.

El caso de los META-ANÁLISIS. En medicina, hay muchas investigaciones que tratan de comprobar la eficacia de un determinado medicamento. Muy básicamene, esto se mide en comparación con el placebo, es decir, el "no tratamiento". Se dan 2 grupos de personas, a una se la trta de verdad y a otras no y se mide el porcentaje de personas "curadas" en cada grupo (el grupo placebo sirve para eliminar "falsos curamientos").

Pues bien, los meta-análisis lo que hacen es tomar muchos experimentos por separado y aúnna en uno solo los resultados comunes. Ahora haz el ejercicio mental de cambiar "Colegio A" y "Colegio B" por Experimento A y Experimento B. Imagina que un ensayo clínico dicta que el 63% de los pacientes se curan con el tratamiento y otro dice que el 87% se cura. Parecería que l tratamiento debe ser muy bueno. Pero.. ¿y si el ensayo del 87% está hecho a muy pococs paicentes y el del 63% con muchas?  El metanálisis detectaría estas oscilaciones en el número de pacientes.

Por ejemplo, en el caso de la Homeopatía, los defensores abundan en que hay muchos estudios ue afirman que la Homeopatía es mejor que el Placebo. Y posiblemente sea cierto. Pero lo que suele ocurrir es que estos estudios están habitualmente hechos con pocos pacientes en comparación con otros en los que la Homeopatía no sale tan bien parada.

Imaginemos alguna situación. Si hubiera 10 estudios que indican que la homeopatía es mejor que el placebo, pero solo 1 que diga lo contrario, uno tendería a pensar que la Homeopatía funciona. Sin embargo, Podemos hacer un Meta -Análisis y quizás detectara que los 10 estudios están hechos con 200 pacientes (100 tratados y 100 placebo) que dictaría (un poné, como se dice en mi tierra) que en el grupo tratado con homeopatía se curan 40 pacientes, mientra que en el grupo placebo se curan 25. Y pongamos que en el otro estudio, hay implicados 4000 pacientes (2000+2000) y diría que de los tratados con homeopatía se curan 300, mientras que de los placebos se curan 500.

En total, tendríamos 6000 pacientes tratados (3000+3000). DE los tratados con homeopatía, se han curado un total de 700, mientras que de los placebos serían 750. Por lo tanto el Meta-Análisis dictaría que la Homeopatía NO ES MEJOR QUE EL PLACEBO, a pesar de la existencia de 10 ensayos que así lo afirman por tan solo 1 que lo refuta.

¿Se os courren otras situaciones donde este hecho matemático sea aplicable?


Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 9.4: Con regla y Compás del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Gaussianos.