jueves, 7 de abril de 2011

Cómo obtuve la solución del Cuadrado Mágico de Productos

Como muchos ya sabréis, desde el diario El País, están publicando una serie de Desafíos Matemáticos con motivo del centenario de la Real Sociedad Matemática Española.

El pasado viernes, se publicó el segundo desafío a cargo del Profesor Javier Cilleruelo, de la Universidad Autónoma de Madrid, que llevaba por título Un Cuadrado Mágico de Productos (click en la imagen para abrir el video en una nueva ventana/pestaña):


Básicamente hay que rellenar el siguiente cuadrado


de tal forma que el producto de cada fila, de cada columna y de cada diagonal sea siempre el mismo.

Antes de lanzarnos a dar una solución, es muy fácil comprobar que, habiéndonos dado el cuadrado central, el producto de cada fila, columna y diagonal está unvocamente determinado.

En efecto, sea dicho producto. Se cumple, usando la diagonal principal, la línea segunda y la otra diagonal que:






Por lo tanto, si multiplicamos estas expresioens llegamos a que , pero resulta que el primer paréntesis es el producto de la priemra columna y el segundo paréntesis es el producto de la tercera columna, luego ambos paréntesis son iguales a , por lo que se llega a que , o lo que es lo mismo, .


Ahora lo que a mi se me ocurrió (confieso que ese día estaba cansado y no tenía ganas ni de pensar demasiado ni de escribir) planteé, a lo bestia, el sistema de ecuaciones que se obtiene y lo puse en el Mathematica. Éste, lo resolvió en función de dos de los parámetros $$f_{1,1}$$ y $$f_{1,3}$$, así que lo que restaba era estudiar los posibles valores de éstos dos y comprobar si dan o no solución.

Aquí os dejo un PDF con el notebook que creé para esto:




En cualquier caso, en esta ocasión, creo que los dos métodos de solución que se proponen oficialmente son extraordinariamente sencillos y simples de entender y comprender, así que, a continuación, os dejo la Solución al Cuadrado Mágico de Productos (click en la imagen para ir al vídeo)


Disfrutad de la explicación, que de verdad, merece mucho la pena escucharla.

Tito Eliatron Dixit

5 comentarios:

  1. Yo al principio lo intenté con la misma táctica que tú, añadiendo todos los posibles productos(salen un total de 8).Pero no sé controlar el Mathematica, así que empecé a sustituir, pero no llegué a nada. Si a eso le sumas que tenía que estudiar para una semana de exámenes de evaluación...

    Luego lo hice con la primera forma del vídeo y me acabó saliendo.

    Por cierto, me parece curioso que los cuadrados simétricos/traspuestos sean iguales.. creo que tiene algo que ver con aquello de que el determinante de una matriz y el de su traspuesta coinciden, o si en una matriz cambias una fila dos veces, también se mantiene. Pero a lo mejor es solo casualidad

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  2. Saludos, Eliatron. Te leo con frecuencia desde hace cierto tiempo pero aún no había comentado.
    En mi opinión, las soluciones aportadas por Cilleruelo son interesantes, sobre todo para alguien con formación matemática, pero me dejan un sabor agridulce, por dos cosas:
    En la 1ª solución "se saca de la manga" que haya un 1 en el cuadrado (poco sistemático)
    En la 2ª solución hace mención al hecho evidente de que los cuadrados multiplicativos "se reproducen por multiplicación", pero no justifica en ningún momento que cualquier cuadrado multiplicativo pueda ser "descompuesto", que en realidad es lo que utiliza.
    Imagino a mucha gente viendo el vídeo y pensando: ¿por qué?

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  3. GRacias por seguirme y participar JJ.

    Te voy a dar una razón para tu primera cuestión ¿por qué debe haber un 1?

    Por mi post, queda claro que al haber un 15 en la posición central, el producto final debe ser $$15^3$$. Por lo tanto... qué números puede haber en las otras casillas? Pues núemros cuyos factores primos sean el 3 y el 5 y, además, cada uno de ellos sólo puede aparecer, a lo más, 2 veces.

    ¿Por qué? porque si en una casilla (pongamos la (1,1)) estuviese el número $$n=3^3\cdot k$$, entonces el producto de la diagonal principal tendría al menos $$3^4$$ como factor primo, y ya vimos que debe ser $$3^3\cdot 5^3$$.

    Así que los únicos números que puedo poner en el resto de las 8 casillas son $$3^05^0=1$$, $$3^15^0=3$$, $$3^25^0=9$$, $$3^05^1=5$$, $$3^15^1=15$$ (este, como ya está usado en la casilla central, lo elimino), $$3^25^1=45$$, $$3^05^2=25$$, $$3^15^2=75$$, $$3^25^2=225$$.

    Como ves sólo hay 8 números con esas características (bueno, 9, pero ya hemos descartado el 15 que, anda! también está en el cuadrad0). Por lo tanto esos son los únicos números que se pueden poner en el cuadrado, por lo tanto, fijo que el 1 debe estar.

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  4. Buena explicación, yo había hecho algo semejante. Mi "queja" quizás provenga de que, en mi experiencia como profesor, mis alumnos suelen ser mucho más exigentes con las ideas que aparecen al resolver un problema.
    Saludos.

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  5. Otra manera de razonar lo del 1, que es la misma en realidad, es a partir de los exponentes de los factores $3^k$, con $k\in\{0,1,2\}$. En cada fila, columna y diagonal tienen que sumar 3, así que tiene que haber un número impar de unos en cada una de ellas. Uno de los unos está en el centro, así que es fácil comprobar que la única posibilidad es una diagonal de unos, con tres ceros y tres doses repartidos en las otras posiciones. Lo mismo se puede decir de los factores $5^k$, pero además la diagonal de unos tiene que ser la opuesta, para que no haya repeticiones. Esto resuelve el cuadrado completo.

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