viernes, 9 de septiembre de 2011

Bonita demostración, pero...

Cuando entro en una clase, de vez en cuando me gusta vacilarles a los alumnos, pero desde un punto de vista constructivo. Por ello, de vez en cuando les cuento cosas como la que ahora os presento.

En un buen curso de cálculo de una variable, es indispensable hablar de los teoremas de continuidad y derivabilidad: Teorema de Rolle, Teorema del Valor Medio de Lagrange y Teorema del Valor Medio Generalizado de Cauchy. Antes, estas cosas se estudiaban en bachillerato. En mis tiempos, se nos demostraba, hasta hace algunos años, se los enunciaba; hoy por hoy ni lo uno ni lo otro.

Sin embargo, en la Universidad, por muy básico que sea el curso, se suelen demostrar.



El Teorema de Rolle dice lo siguiente. Sea una función continua en , derivable en y tal que . Entonces existe tal que .

La demostración de este Teorema es, en realidad, la principal de las 3 demostraciones y no es demasiado complicada. Se basa en que si una función derivable en un intervalo abierto alcanza un máximo o un mínimo en el intervalo, la derivada en dicho punto ha de anularse.

El segundo de los teoremas clásicos es el Teorema de Lagrange (que ya lo vimos por aquí colgado de un puente, por cierto) y que asegura lo siguiente. Sea una función continua en , derivable en . Entonces existe tal que .

Para demostrar este teorema, basta aplicar el Teorema de Rolle a la función que es continua en , derivable en y cumple que .

Finalemente, el último de los teoremas es el Teorema de Cauchy, que dice lo siguiente. Sean dos funciones continuas en y derivables en . Entonces existe tal que .

Ahora es cuando yo les digo a los alumnos que paren de copiar y que atiendan a la demostración. Si aplicamos el Teorema de Lagrange a tendremos que existe tal que , o lo que es igual, . Si hago lo mismo con , tendré que existe tal que , o lo que es igual, . Haciendo el cociente de ambas expresiones tendremos que , y ya está demostrado el Teorema.

Lo normal es uqe los alumnos, al haberles dicho que dejaran de escribir, estén algo moscas... pero por norma general aceptan esta demostración que, por otra parte, ESTÁ MAL.

La demostración correcta (o bueno, una de ellas) sigue haciendo uso del Teorema de Lagrange, pero de otro modo: basta aplicarlo a . Sin embargo, te voy a pedir, amable lector, que me digas por qué la demostración anterior está mal.

Conste que al final, siempre hay algún listillo entre mis alumnos que da con la respuesta. Y para mí, eso es una prueba de que esa persona SABE matemáticas.

¿Y tú? ¿también sabes matemáticas?



Tito Eliatron Dixit

12 comentarios:

  1. Bueno, yo recuerdo que mi profesor de matemáticas decía que, en general, tanto para demostraciones como para operar, eso de hacer un cociente no suele ser buena idea porque hay que distinguir si el denominador es igual a cero o no... así que voy a decir eso, por ejemplo, aunque seguramente no lo sea.

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  2. Si me lo hubieras preguntado a mí cuando estaba en primero me habría quedado a cuadros, demasiado tenía con tratar de no quedarme atrás cogiendo apuntes. De todas formas, ¿no falta un ligero detalle en las condiciones del teorema de Cauchy, que por cierto da buenas pistas de la respuesta? Cero que tiene que ver con derivadas de funciones que se hacen ceros y cosas de esas, como bien apunta el Profesor Fink, aunque a lo mejor me he pasao de listillo :D

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  3. Las c's de la f y la g pueden ser diferentes.

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  4. @ProfesorFrink: Buen intento... pero no. En este caso, Si g(b)=g(a), entonces aplico el Teorema de Lagrange y obtengo un "c" que anule a $g'(c)=0$. Entonces para ese "c", ambas fracciones valdrían INFINITO.

    Deshaz el cociente y escríbelo como producto cruzado.

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  5. @Meldor: efestiviwonder. Las "c"s de aplicar Lagrange a f y g, no tienen por qué ser la misma. Oye, que quizás en algún caso muy muy raro... pueden coincidir... pero por norma general van a ser diferentes... aunque se llamen igual

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  6. EL c que cumple la propiedad para f y el que la cumple para g pueden ser (y lo más normal es que lo sean) distintos, por lo que no se puede deducir que exista un único c y, por tanto, no se ha demostrado el Teorema de Cauchy

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  7. wow que buena demostracion jeje, ojala todos explicaran asi de bien, ya que se entenderia muchisimo mejor.

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  8. Salvo que se de clases en una carrera de matemáticas, donde los alumnos tienen cierto interés, en general el alumno desconectará bastante con estas demostraciones.

    Bueno, lo cierto es que a mi también me gusta vacilarles de vez en cuando de forma constructiva, con demostraciones que llegan a resultados imposibles (tipo 1=0).

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  9. Aplicando el teorema de Lagrange por separado a f y g no se garantiza que los intervalos (a,b) sean los mismos...

    Es eso? Hace tiempo que no me meto en mates, pero es estimulante! :)

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  10. No si te lo he contado ya, Tito, peor a mi me examinaron de esto en 1 de carrera con este problema tan bien pensado:

    Demostrar que en el ecuador terreste, en cualquier momento dado, siempre existen dos puntos diametralmente opustos con exactamente la misma temperatura.

    Eso si, no te decian que usases estos teoremos, eso es una pista que facilita resolverlo, peropara "ilustrar" estos teoremoas va muy bien.

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  11. Ya me acuerdo, sergio. Y tb me acordé cuando resolví el Desafío Matemático del Reloj de 2 colores: http://eliatron.blogspot.com/2011/04/un-reloj-de-dos-colores-o-el-teorema-de.html

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  12. Justamente, en la pagina 146 del tomo I de CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL de Piskunov dice, luego de demostrarlo correctamente:

    "Observacion: Contrariamente a lo que parece a primera vista, el teorema de Cauchy no se puede demostrar aplicando el Teorema de Lagrange a los dos terminos de la fraccion

    f(b)-f(a)
    ---------
    g(b)-g(a)

    En efecto, en este caso obtendriamos (despues de reducir la fraccion por b-a) la formula

    f(b)-f(a)...f'(c1)
    --------- = ------
    g(b)-g(a)...f'(c2)

    en la que a < c1 < b, a < c2 < b. Pero como, en el caso general, c1 =/= c2, el resultado obtenido no confirma, evidentemente, el teorema de Cauchy."

    Pedro T.

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Si no comentas, Gauss se comerá una integral.
Y, por favor, respeta a todos con tus opiniones.

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