martes, 27 de mayo de 2014

Comparando áreas

En matemáticas, uno siempre espera que los problemas a los que se enfrenta tengan datos en forma de números. Sin embargo, es muy posible que los más bellos enunciados a los que alguien con ganas se puede enfrentar sean aquéllos en los que, precisamente, falten los números y haya que ejercitar esa parte de nuestro cuerpo que se encuentra por encima del cuello.

Hoy os pido que penséis un poco para resolver un problema. Si no tenéis ganas, no pasa nada, yo mismo os ofreceré la solución aquí mismo. Pero lo interesante es pensar.

Así que allá va el problema. En la siguiente figura, ¿qué rectángulo tiene mayor área, el rojo o el azul?



Por cierto, y antes de que se me olvide,  este problema estás sacado del libro Matemagia de Adrián Paenza.

Tal y como anuncié, en el dibujo están todos los datos necesarios para resolver el problema; de hecho, ni siquiera hace falta medir, es decir, las dimensiones concretas del dibujo son indiferentes al problema. Vamos, que lo que estamos buscando es una forma genérica de resolver éste y otros problemas similares, sin la necesidad de usar reglas ni nada que se le parezca.

Piensa un poco antes de continuar leyendo.
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La solución está algo más abajo... ¿seguro que lo has pensado bien? Venga, que tú puedes.
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Bueno, vale, si insistes tanto, te la voy a dar una pista.





Con la parrafada última uno podría deducir que lo importante no son las medidas en sí, sino las proporciones existentes, así que vamos a buscarnos una forma de comparar esas proporciones. Para ello, vamos a trazar la diagonal del rectángulo grande y fijaos en los que pasa:


En efecto, no es casualidad. La diagonal del rectángulo pasa por el vértice común a los rectángulos rojo y azul.


¿Tienes ya tu solución? sigue pensando un poco más.
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Bien, si quieres comprobar tu solución o bien, eres un vago redomado y prefieres que alguien te la diga antes de pensarla por ti mismo, aquí la tienes.

Recordemos que hemos trazado la diagonal del rectángulo contenedor y que ésta pasa por el vértice común de los rectángulos  de colores.

Fijémonos en los triángulos [;\textcircled{A};] y [;\textcircled{B};] de la figura. Es evidente que estos triángulos son semejantes (pues todos sus lados son paralelos). Así que, si llamamos [;r_1,\,r_2,\,a_1,\,a_2;] a las dimensiones de los rectángulos rojo y azul respectivamente (tal y como se ve en la siguiente figura),
 una aplicación sencilla del Teorema de Thales nos dice que
[;\frac{r_1}{a_2}=\frac{a_1}{r_2}.;]
De donde se obtiene que
[;Area(rojo)=r_1\cdot r_2=a_1\cdot a_2=Area(azul);]

Y concluimos que ambos rectángulos tienen áreas iguales.

Muy bien, tanto si has pensado la respuesta correcta como si no, enhorabuena por pensar en una solución.

Si has sido de los que has preferido mirar la respuesta antes de ni siquiera intentar atacar el problema, te reto ahora a que resuelvas exactamente el mismo problema, pero con una ligerísima variación:

¿Y ahora? ¿qué rectángulo tiene mayor área, el rojo o el azul? Y lo que es más importante... ¿POR QUÉ?

Y ya que estamos... ¿Puedes encontrar una regla general para resolver este problema, sea cual sea el vértice común de los rectángulos coloreados? La respuesta a esta pregunta es, intuitivamente, muy sencilla, ahora sólo queda lo más interesante... demostrar o refutar tu intuición.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 5.4: Martin Gardner del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es Gaussianos

7 comentarios:

  1. Alternativa a la solución por Thales: La diagonal divide el rectángulo en dos partes iguales, y es obvio que los triángulos A y B tienen la misma área que sus pares del otro lado de la diagonal. Por lo tanto el área restante de cada lado de la diagonal (rojo y azul) tienen que ser iguales también

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    Respuestas
    1. MAGNÍFICO!!!

      ¿Cómo aplicarías este argumento al segundo problema?

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    2. Si trazamos la linea que va de la esquina superior izquierda y pasa por el vértice común de los triángulos coloreados, vemos que corta el lado derecho del rectángulo por encima de la esquina inferior derecha.
      Si este punto de corte fuera la esquina del rectángulo, ambos tendrían la misma área, pero como queda por encima, estamos sumando área al rectángulo rojo, y por tanto este es mas grande.

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  2. Ahí me has pillado un poco, si el vértice no está en la diagonal los triángulos dejan de ser triángulos.
    Pero... ya sabemos que en la diagonal son iguales. Supongamos que el vértice está encima de la diagonal: puedo ir bajando la recta horizontal (o corriendo a la izquierda la vertical) hasta que coincida con la diagonal. Qué ocurre cuando bajo la recta? El azul crece y el rojo decrece hasta que...son iguales (en la diagonal). Por lo tanto el azul es más pequeño que el rojo cuando el vértice está encima de la diagonal, y más grande cuando está debajo

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  3. Esa es básicamente mi idea: comparar con el caso "sencillo".

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  4. Coincido con Francesc, para el primer problema se ve (después de dibujar la diagonal) que las áreas blancas son iguales, por lo tanto como los dos triangulos que forman la diagonal son iguales, los rectángulos también lo deben ser.

    Como regla general para el segundo problema se vuelve a trazar la diagonal si esta corta a uno de los rectángulos, éste es el mas grande

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  5. En la figura los números iguales corresponden a áreas iguales:

    https://www.dropbox.com/s/2hw5uvz99o5n6b0/Comparando%20Areas.jpg

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Si no comentas, Gauss se comerá una integral.
Y, por favor, respeta a todos con tus opiniones.

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