Cuando la inducción no es el camino más corto... y algo más.

El Principio de inducción matemática es un método que permite demostrar que una cierta propiedad se cumple para cualquier número natural (o cualquiera, a partir de uno determinado). Ya hemos visto algunas cosas curiosas en este blog usando la inducción.

Cuando uno explica este principio en clase, a menudo los alumnos creen que, a partir de ese momento, todo lo que diga "Prueba esto para cada  $n\in{\mathbb N}$" se hace SIEMPRE por inducción. Afortunadamente, éste no es siempre el caso.

En este artículo vamos a ver dos ejemplos de propiedades que, aunque se pueden demostrar por inducción, pueden probarse de una forma más elegante y corta.

De polar a cartesiana y viceversa

Creo que a día de hoy todos sabemos que las coordenadas cartesianas son perfectas par representar rectángulos y cuadrados, mientras que las coordenadas polares son muy útiles para las circunferencias y rectas que pasan por le origen. Pues bien, si veis el vídeo que os pondré a continuación, quizás ésto no os quede tan claro.

The Scottish Book [Naukas Bilbao 2016]

Como viene siendo habitual, cada mes de septiembre se celebra en Bilbao el, posiblemente, mejor evento de divulgación científica en España. Me refiero a Naukas Bilbao 2016. Y como también viene siendo habitual, un servidor ha participado en dicho evento con una charla sobre matemáticas.

Una demostración "elemental" del problema de Basilea

Como muchos de vosotros sabéis, el Problema de Basilea consistía en calcular cuánto vale la suma de los inversos de los cuadrados de los números naturales, es decir, calcular

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$

La historia que hay detrás de este problema es muy bonita y os recomiendo que leáis el artículo de Gaussianos que enlazo en la primera frase.

Os resumo un poco el final. En la segunda mitad del siglo XVII, ya se conocía que esta suma era finita, pero ninguno de los matemáticos que atacaron el problema (gente como Jakob Bernoulli, Johann Bernoulli, Leibniz y Wallis, por ejemplo) puedieron con él. Fue, sin embargo el príncipe de las matemáticas, Leonhard Euler quien, con una facilidad asombrosa, no sólo calculó esta suma sino todas las del tipo

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{2k}}\ \text{con}\ k\in{\mathbb N}.$$

Por cierto que la solución es $\pi^2/6$.

Sin emabrgo, la prueba de Euler contenía alguna omisión. Esta omisión es lo que hoy en día se conoce como Teorema de Mittag-Leffer y es uno de los resultados duros de un curso de Variable Compleja.

Se conocen varias demostraciones de esta suma. Quizás la más conocida (la que a mi me enseñaron) es la que hace uso del desarrollo en Series de Fourier de la función ${\rm sen}(x)$. Pero tiene como problema que hay que estudiar Series de Fourier, y esto suele darse en un segundo curso del Matemáticas.

A continuación os voy a presentar una demostración "elemental" del Problema de Basilea. Una demostración que está al alcance, incluso, de alumnos de Bachillerato y que tan sólo hace uso del concepto de límite y de integral.