jueves, 30 de septiembre de 2010

Todos los caballos son del mismo color: inducción matemática

Uno de los métodos que tenemos los matemáticos para demostrar resultados es el método de inducción.

Éste método se basa en una propiedad de los números naturales que dice que éste conjunto es el más pequeño que cumple que y . A los conjuntos que cumplen esta propiedad se les llama conjuntos inductivos.

La moraleja de todo esto es que para probar que una cierta propiedad, que se aplica a algunos números naturales, es cierta para todos, basta con demostrar que el conjunto de números naturales que verifican dicha propiedad es inductivo, por lo que como es el menor conjunto inductivo, se deduce que todos los naturales cumplen la propiedad.

¿Y cómo se prueba que un conjunto es inductivo? muy fácil. Primero se comprueba la propiedad para el caso inicial , que normalmente suele ser de lo más sencillo; y después se comprueba que si la propiedad es cierta para un número , entonces también es cierta para el número , esto es lo que se conoce como la hipótesis de inducción.

En resumen, si nos imaginamos que estamos en una escalera infinita y que cada peldaño es un número natural, lo que hacemos es probar el caso inicia, es decir, que podemos plantarnos en el primer escalón quietos; y después, con la hipótesis de inducción, probamos que (y así se lo explico yo a mis alumnos) podemos subir un escalón estemos donde estemos.

Pero claro, no todo es tan fácil como parece y a veces, el no comprender bien en qué consiste el método nos puede llevar a desagradables sorpresas como la que se dice en el título de este artículo.

Vamos a demostrar , que todos los caballos son del mismo color. Y lo vamos a hacer por inducción sobre el número de caballos que podemos elegir.

Para ello, el caso inicial, es trivial, si elijo 1 caballo, es evidente que es del mismo color que sí mismo, por lo que aquí no hay nada más que probar. Estamos en el primer peldaño de nuestra escalera.

Pasemos a probar la hipótesis de inducción. Vamos a suponer que si tenemos un grupo de caballos, entonces todos son del mismo color; y vamos a demostrar que si seleccionamos caballos, también todos son del mismo color.
Vamos a qudarnos con nuestros caballos y los ponemos en fila india. Si nos olvidamos del último, tendremos caballos, por lo que la hipótesis de inducción me dice que esos caballos son todos del mismo color. Ahora volvemos a nuestros caballos y nos olvidamos del primero de ellos, de nuevo tenemos otros caballos, por lo que de nuevo son todos del mismo color. Por lo tanto, si los primeros caballos son del mismo color y los últimos también... por fuerza todos los caballos son del mismo color.

Hala, ahí queda eso. ¿Cómo? ¿que aquí falla algo? ¿que tú tienes 1 caballo negro y otro blanco? ¿y tú uno marrón? Anda! entonces no todos los caballos son del mismo color... Pero si lo acabamos de demostrar!!!!

Pues claro, aquí hay un error y vuestro trabajo es descubrirlo, que apra eso están los comentarios. Por cierto, en la referencia [1], podéis encontrarla solución... pero claro, eso no se vale.

Tito Eliatron Dixit


Referencias:
[1] Su, Francis E., et al. All Horses are the Same Color, Math Fun Facts.
[2] Imagen extraída de la Wikipedia, original de bianditz en Flickr.
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