lunes, 10 de agosto de 2009

Matemáticas desde el chiringuito: El balón de Fútbol Playa

Este último fin de semana tuvo lugar el campeonato local de fútbol playa. Así que, con las últimas sardinas gratis que me gané, estuve charlando de fútbol (playa) con el dueño del chiringuito.

Entre gol y gol (cañita y sardinita) me estuvo contando lo que le ocurrió el año pasado durante el campeonato. Me dijo que el campo lo instalaron tan cerca de su chiringuito, que cada 2 por 3 una pelota hacía su aparición en medio del comedor. Me dijo que después de las 5 primeras, empezó a mosquearse; y tras la décima, decidió tomar medidas drásticas: quedarse con los balones.

Me contó que de esta forma consiguió cerca de 50, de todas las formas y colores, los había como los de la Champions, como los de la Liga, incluso me aseguró que había uno hecho por completo de hexágonos.

Ahí le paré el carro. Es imposible hacer un balón (un poliedro inflado, camos) con hexágonos regulares, ya que en cada vértice se necesitan 3 caras y el ángulo que forman 2 lados de un hexágono es de 120º, por lo que 3 hexágonos unidos por un vértice, cubre el plano.

Satisfecho de mi magistral explicación matemática, alcé la vista esperando ver la cara turbada del dueño del chiringuito, pero ante mi sorpresa, vi que éste sonreía socarronamente y me dijo:
¿Quién te ha dicho que los hexágonos eran regulares?

Sorprendido por la afirmación, tardé un poco en darme cuenta de que, aún a pesar de ella, el dueño del chiringuito mentía sobre el balón de fútbol playa.

¿Cómo lo supe?

Tito Eliatron Dixit.

11 comentarios:

  1. No tengo idea de la respuesta, y no quiero pensar porque sigo de vacaciones luego de luchar contra el Análisis Real. Lo que si me parece genial es la historia narrada, es demasiado buena.

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  2. combinando hexágonos y pentágonos regulares? Se coge un icosaedro y en cada vértice se trunca un pentágono, dando lugar a 20 hexágonos y 12 pentágonos (regulares).

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  3. Reconozco que la respuesta no es fácil... pero desde luego a mi este problema me sorprendió.

    @Anónimo: es SÓLO con hexágonos (y no necesariamente regulares).

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  4. Bufff difícil pero se me ocurre lo siguiente... En principio no se puede construir un poliedro con hexágonos porque no cumple la famosa fórmula de Euler (caras + vértices - aristas =2 ), pero de todas formas, quizás Euler no pensó en el caso trivial por lo que podríamos intentar esto:

    1. Cogemos un hexágono regular (o irregular), imaginémos que es de goma.
    2. Cojamos otro hexágono de goma idéntico al anterior
    3. Peguemos ambos hexágonos arista con arista
    4. Hinchar el interior de aire con una bimba. E voilá!

    De esta forma la identidad de Euler se cumple ya que :

    caras=2 ; vértices =6 aristas = 6 ; de donde: 2+ 6 - 6 =2

    La aproximación a la esfera es bastante buena si el material es lo suficientemente elástico
    ¡y los hexágonos podrían ser regulares!

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  5. Genial, Agustín, sencillamente genial.

    Pero vamos a centrarnos en poliedros de verdad, de esos que en un vértice se conectan 3 caras y todo eso.

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  6. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  7. Gracias. Pues vamos con otra idea que he estado pensando y que reconozco que me ha costado "ver". Esta vez será un poliedro, compuesto por hexágonos irregulares... tan solo me hacen falta dos afirmaciones.

    Afirmación número 1: Podemos hacer un balón esférico con triángulos.

    Hay varias formas de ver esto intuitivamente. Imaginemos la esfera con un número arbitrario de "paralelos" y meridianos", al estilo de los terrestres; pues bien, vemos que en los polos norte y sur se forman triángulos y en el centro cuadrados (pero es fácil ver que un cuadrado puede dividirse sin problemas en dos triángulos)

    Quizás haya quien lo vea mejor observando los gajos de una mandarina, no sé. El caso es que una esfera se puede teselar con triángulos. Claro que hay quien dirá que son triángulos sobre una esfera, es decir no euclídeos, por tanto dejamos a Riemann y nos vamos con Euclides, para verlo de forma más "constructiva":

    Basta con imaginar un icosaedro (20 triángulos equiláteros) como una aproximación de la esfera y observar que aumentando el número de lados la aproximación a la esfera sería tan próxima a la esfera como queramos (si bien el poliedro ya no podría ser regular, claro)


    Afirmación número 2: un triángulo se puede dividir en dos hexágonos (irregulares).

    Hay infinitas formas y no entraña dificultad, pero por si alguien no lo vé, doy una, que intentaré describir a falta de un dibujo. Sea un triángulo ABC (imaginémoslo equilátero, y con el punto A hacia arriba, sin pérdida de generalidad). Sea M un punto medio de la recta BC (por ejemplo el punto medio) y sean D, E , F, tres puntos no alineados interiores al triángulo. Pues bien, la línea: ADEFM, ¡divide al triángulo en dos hexágonos! :-)

    Ahora ya sí es fácil ver que se puede construir un balón esférico a base de hexágonos, eso sí irregulares. Las formas de hacerlos son infinitas en sentido estricto del término y puede hacerse tan aproximado a la esfera como se quiera. Ya es cuestión de gustos :-)

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  8. Yo no se de matemáticas pero la respuesta mas sencilla parece ser que si los poligonos no fueran regulares al hinchar el balón de aire este no tendría forma totalmente esférica.

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  9. Por otra parte te harias daño en el pie desnudo con los vertices de los poligonos irregulares.

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  10. Una esfera formada por infinitos exágonos.

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Si no comentas, Gauss se comerá una integral.
Y, por favor, respeta a todos con tus opiniones.

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