Midiendo el tamaño de conjuntos de números reales

Este artículo va a formar parte de la iniciativa Primera Edición del Carnaval de Matemáticas que se está celebrando durante toda esta semana y que tendrá su colofón final el próximo Lunes día 15, cunado en este mismo blog se hará una recopilación de todas las entradas publicadas.

En esta entrada vamos a hablar de conjuntos pequeños de la Recta Real R, pero (casi) todo lo que digamos puede fácilmente extenderse al plano, al espacio e, incluso, al espacio n-dimensional.

Dejando aparte a los conjuntos finitos, lo más pequeño que nos podemos encontrar son los conjuntos numerables, es decir, conjuntos para los que existe una biyección con los Números Naturales. Hablando en plata, un conjunto es numerable si podemos contar sus elementos (primer elemento, segundo, tercero...) y nunca pararemos. Como Ejemplo (con mayúsculas) de conjunto numerable, tenemos a los naturales N, pero también hay más, como el de los enteros Z o el de los racionales Q. Todos ellos son numerables, luego desde este punto de vista, todos son conjuntos pequeños.

Sin embargo, este último conjunto posee una característica que lo diferencia de los otros dos. Los racionales, al verlos dentro de los reales, cumplen una curiosa propiedad que se llama Propiedad Arquimediana:

Entre cualesquiera dos números racionales distintos, es posible encontrar otro racional distinto.

Incluso se puede decir algo más. Entre dos números racionales distintos cualesquiera, siempre podemos encontrar un número racional y otro irracional.

Aquí tenemos una segunda forma de medir la magnitud de un conjutno real. Un conjunto es denso si cualquier intervalo abierto intersecta al conjunto, o dicho de una forma más simple, un conjunto es denso (en los reales), si dado cualquier número real (racional o irracional) somos capaces de encontrar un número racional tan cerca como queramos. Digamos que un conjunto denso casi llena los números reales. Por lo tanto, desde este punto de vista, el conjunto Q no puede considerarse pequeño, sino más bien todo lo contrario: de gran tamaño.

Otra forma de medir lo pequeño que puede ser un conjunto está estrechamente relacionado con el concepto de densidad. Un conjunto A de números reales se llama denso en ninguna parte o nada denso, si dado cualquier intervalo abierto, es posible encontrar un subintervalo que ya no contiene puntos de A. Digamos que sería una propiedad diametralmente opuesta a la densidad. A veces, a estos conjuntos los llaman diseminados, pues la idea es que están muy diseminados (valga la redundancia) por la recta real.

Un ejemplo clásico de este tipo de conjuntos es el Conjunto de Cantor. Éste conjunto se obtiene de la siguiente forma: tomamos el intervalo [0,1], lo dividimos en 3 partes iguales y nos quedamos con las 2 partes de los extremos, es decir, [0,1/3] y [2/3,1]; Ahora repetimos el mismo procedimiento con los 2 intervales que tenemos, después con los 4 que obtendríamos y así sucesivamente. En el paso al límite se obtiene el Conjunto de Cantor. Pues bien, desde el punto de vista anterior, el Conjunto de Cantor debería ser considerado pequeño, pero sin embargo, se sabe que este conjutno tiene exactamente la misma cardinalidad que los números reales, es decir, que tiene tantos puntos como números reles hay. Por lo tanto, desde esta otra perspectiva, el Conjunto de Cantor debería ser considerado grande.

Más aún, como la cardinalidad de los racionales es ω (la de los naturales), Q debería ser considerdo más pequeño que el Conjunto de Cantor. Aunque bajo el cristal de la densidad, los racionales son más grandes que Cantor.

En resumen, matemáticamente hablando, los conceptos de grande o pequeño son extremadamente relativos. Aquí hemos visto un par de ejemplos de cómo medir tamaños de conjuntos, pero aún hay varias formas más como la longitud o medida, y las Categorías de Baire. Pero todo esto daría para varias entradas más.

Tito Eliatron Dixit.