miércoles, 30 de noviembre de 2011

Dos variables, ¡qué complejo!

Cualquier estudiante de Matemáticas o de Física... incluso en muchas ramas de la Ingeniería también, han tenido que lidiar con el cálculo diferencial de varias variables y, sobre todo, con la variable compleja.

Es muy habitual que nos cuenten la milonga de que la Variable Compleja es lo mismo que si trabajásemos con dos variables reales. Pero después, resulta que hay una asignatura (bueno, en Matemáticas hay más de una) que se centra única y exclusivamente en funciones complejas. ¿Por qué? Si en fuese como dos variables reales, estudiando éstas, ¿para qué las segundas?

Pues es que resulta que la variable compleja es diferente. En las siguientes líneas vamos a esbozar la diferencia fundamental que hay entre ellas y de la cual no fui realmente consciente hasta que no tuve que dar clases de Variable compleja para físicos.

Comencemos con . Este cuerpo es, en realidad una forma diferente de ver el plano , pues un número complejo se puede escribir como donde y el símbolo representa la unidad imaginaria compleja (es decir, ). Así, nuestro complejo se puede representar por el punto del plano de coordenadas cartesianas (esta representación geométrica del número complejo se la denomina afijo de ). La única diferencia entre y es que en el último tenemos definida una operación producto un poco rara a priori, pero muy efectiva, ya que convierte a en un cuerpo.

Con este mínimo background sobre números complejos, basta y sobra para lo que viene ahora.Cuando entramos en una clase de cálculo diferencial de varias variables, casi siempre nos dicen que los temas de continuidad de funciones son idénticos a los de una variable real (y no se está falto de razón). Ahora bien, la cosa cambia cuando estudiamos la diferenciabilidad.

Vamos a centrarnos es funciones . Ahora, en lugar de una única derivada, aparecen dos derivadas parciales y, si nos extendemos un poco, conseguimos infinitas derivadas direccionales. ¿Qué era esto, pues muy sencillo. Fijo una dirección, es decir, un vector en el que me voy a mover, y aplico la definición de derivada como límite de incrementos finitos... en esa precisa dirección. Más concretamente, si , entonces

Por cierto, si tenemos la parcial respecto de y para , la parcial respecto de . Pero claro, ninguna de estas derivadas garantizan que su existencia implique la continuidad de la función. Para ello, tenemos que acudir a un nuevo concepto, el de función diferenciable.

Una función es diferenciable en un punto cuando existe el vector gradiente y, además, el siguiente límite doble vale 0:
.            (1)
Lo único que tenemos que recordar es que el símbolo es el módulo o norma del vector , es decir, .

Vale, todo esto con respecto a varias variables reales. A partir de aquí, casi todo funciona igual que en una variable, con la salvedad que hay muchas derivadas parciales. tenemos fórmulas de Taylor, tenemos funciones difrenciables 1 vez pero no 2, 3 veces pero no 4, etc... Pero ¿qué ocurre con la variable compleja?

Una función de variable compleja es o dicho de otro modo, una función , donde , siendo , entonces luego puede verse como 2 funciones de 2 variables (su parte real y su parte imaginaria ).

Desde el punto de vista de 2 variables, ¿qué significa que es diferenciable? pues que tanto como lo son en el sentido anterior (el del límite doble).

Pero desde el punto de vista de la variable compleja, simplemente puedo plantear la siguiente definición. Una función es derivable en cuando exista un número de forma que
                 (2)

¿Qué diferencia hay entre el límite (1) y este último límite (2)? Pues hay una diferencia fundamental y la que hace que la variable compleja no se comporte como 2 variables reales.

En el límite (2), gracias a que es un cuerpo, es posible dividir entre el número complejo , es decir, es posible dividir entre el vector de . Sin embargo, en el límite (1), estamos considerando (sin ese producto raro, luego ya no es cuerpo), por lo tanto ya no se puede dividir entre y, como mucho, puedo dividir entre su módulo .

Esta sutil diferencia, que puede parecer una solemne tontería, es , precisamente, la que provoca que la variable compleja sea tan diferente de las 2 variables reales. Tanto, que en variable compleja si una función es derivable 1 vez... lo es infinitas veces.

Bueno, creo que por hoy ya es bastante. Mi intención era compartir algo que descubrí bastante tarde. Me he llevado muchos años estudiando y trabajando sobre la variable compleja, asumiendo las grandes diferencias que tenía con las 2 variables reales, pero sin llegar al fondo del asunto. Posiblemente, con esto tampoco llegue al fondo, pero por el momento, es hasta donde yo he llegado. Sólo espero que a alguien más le sirva esta reflexión.

Si has llegado hasta aquí: enhorabuena campeón: tú sí que eres complejo.

Tito Eliatron Dixit

15 comentarios:

  1. Y de ahí que la Variable Compleja se use sistemáticamente en las teorías físicas...

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  2. Gracias por el post. A todos los que hemos "sido obligados" a utilizar la variable compleja nos ha surgido esta duda. Tu explicación me ha dado un poco de luz. Aunque necesito interiorizar el concepto (que eso es mas dificil).

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  3. Desde mi más profunda ignorancia de alumno que aprueba con cincos... una pregunta: ¿La norma de un vector no es la raíz de la suma de los cuadrados? Igual me equivoco, pero por si acaso... Un saludo.

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  4. Por eso pone la norma al cuadrado si te fijas...

    Yo tengo otra pregunta, ¿la norma no es la raiz del producto escalar? En el caso del producto escalar usual será la que has indicado, pero en el caso de otro producto escalar...

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  5. En dimension finita todas las normas son proporcionales en cierto sentido, asi que elegir una u otra no es relevante, em general

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  6. La norma que utilizo es la NORMA EUCLÍDEA (la distancia habitual).

    lo que ocurre (y esto me da para otro post) es que la topología que genera dicha norma y la topología que genera OTRA norma, en $$\mathbb{R}^2$$ (o en $$\mathbb{R}^n$$, da igual) son LA MISMA. Así que como0 es más fácil trabajar con la norma euclídea (que proviene de un producto escalar y, por tanto, de un espacio de Hilbert), pues se usa esa. Pero en principio daría igual usar cualquier otra norma. Son todas equivalentes.

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  7. La norma que utilizo es la NORMA EUCLÍDEA (la distancia habitual).

    lo que ocurre (y esto me da para otro post) es que la topología que genera dicha norma y la topología que genera OTRA norma, en [;\mathbb{R}^2;] (o en [;\mathbb{R}^n;], da igual) son LA MISMA. Así que como0 es más fácil trabajar con la norma euclídea (que proviene de un producto escalar y, por tanto, de un espacio de Hilbert), pues se usa esa. Pero en principio daría igual usar cualquier otra norma. Son todas equivalentes.

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  8. ¿ Por qué la definición de derivada direccional no sirve como definición de funcion R² diferenciable ?

    Es que cuando se ha metido el vector gradiente me he perdido un poco ...

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  9. Este artículo pone de relieve el bajo nivel que tienen los profesores de Matemáticas de las universidades españolas: ¿ahora nos damos cuenta de que el cuerpo de los complejos es un álgebra montada sobre R^2? A buenas horas. Después criticamos a los profesores de instituto ¿le parece?

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  10. Querido Anónimo, no es que nos demos cuenta ahora mismo. Es algo que ya sabíamos de sobra. Lo que ocurre es que, dado que en las universidades parece que las asignaturas son compartimentos estanco, no se suelen relacionar cosas.

    por eso, este hecho tan simple no suele ponerse de relieve en las clases de Variable compleja, donde, directamente, enseñamos a pensar y a resolver los problemas propios, olvidándonos de este tipo de sutilezas que, a la postre, resultan ser las más interesantes.

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  11. Y ahora la opinión de un profesor de Instituto: todos los años menciono de pasada la necesidad de ampliar el conjunto de los números reales, ahora les he pedido en este puente un comentario acerca de su historia, Pero nos queda lejos, en bachillerato TODO nos queda lejos, habría que tener un bachillerato de tres años. Saludos

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  12. Cuierto, Manoli, es una verdadera pena que ya ni siquiera se enseñe en bachillerato los Teoremas de Bolzano, Rolle, Caucy y Lagarange... ni sus demostraciones ni nada.

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  13. El semestre que viene meteré Variable Compleja en la universidad. Me ha gustado esta "motivación" para el curso, como la llamaría más de un profesor.

    Saludos!

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  14. ¡Qué interesante! ¡Muchas gracias! :)
    Un día de estos tendré que volver a mirar Álgebra y Cálculo de cero... ;) Tu artículo es motivante :)

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