60 grados, 3 cortes y 1 tarta

El problema que os presento hoy data de 1994. En la revista Mathematics Magazine, en el número de octubre, los profesores Larry Carter (IBM Watson Research Center, Yorktown Heights, New York), John Duncan (University of Arkansas, Fayetteville, Arkansas) y Stan Wagon (Macalester College, St. Paul, Minnesot) proponen el siguiente problema que, desde aquí vamos a dulcificar un poco.

Supongamos que tenemos una tarta perfectamente circular. Con un cuchillo suficientemente grande realizamos 3 cortes a la tarta de forma que:

• todos los cortes pasan por un mismo punto;
• ese punto no es el centro geométrico de la tarta;
• los 3 cortes forman ángulos de 60º entre sí.

Vamos, que tenemos un dibujo como el que veis a continuación:

Pues ahora resulta que hay dos comensales que comienzan a comer, alternativamente, un trozo cada uno. Por si no te queda claro, en el siguiente dibujo, un comensal come la zona blanca y el otro la verde:

El problema consiste en demostrar (a ser posible sin utilizar fórmulas ni cálculos), que el comensal que se zampa la parte verde (la que contiene el centro geométrico de la tarta) sale ganando.


¿Qué dices? ¿Que esto te recuerda a algo? Pues claro. Si en vez de tarta, hubiese dicho pizza muchos de vosotros os hubieseis acordado de la Conjetura de la Pizza (bueno, Teorema ya) de la que ya hablamos aquí. O incluso puede que creas que esto ya lo publicó Gaussianos en uno de sus desafíos (ver también la solución), pero te equivocas, ya que allí sólo eran 2 los cortes hechos.

Bueno, creo que ya te he dejado un ratito para ir pensando en la solución, así que vamos a ir desvelando qué ocurre.

Vamos a irnos a un caso extremo en el que uno de los cortes pasa por el centro geométrico de la tarta, es decir, que en vez del dibujo verdecito de antes tenemos uno algo más amarillento:

Es claro que ese corte en concreto, resulta ser un diámetro de la tarta, por lo que por simple simetría, resulta que ambos comensales comen exactamente lo mismo.

Pero Tito, eso es trampa, esa no es la situación que tú nos habías dibujado antes.

No, claro que no. Pero es que esta situación parecida nos va a ayudar a resolver nuestro problema.

ATENCIÓN, SI QUIERES ENCONTRAR POR TI MISMO LA SOLUCIÓN,

NO SIGAS LEYENDO

Bueno, si estás aquí es que quieres que te cuente cómo resolver este tinglado. Volvamos a nuestra situación inicial, que te recuerdo a continuación:

Si te fijas, sean como sean los cortes, girando un poco la tarta, siempre voy a poder tener un corte horizontal y por encima del centro geométrico de la tarta. De hecho, siempre puedo conseguir que el corte horizontal no sea el que esté más alejado del centro.

En realidad, como el punto de intersección de los 3 cortes, es el único punto que equidista de las 3 rectas, por lo tanto dado cualquier otro punto (el centro geométrico de la tarta, por ejemplo) siempre podemos quedarnos con 2 cortes de forma que las distancias al centro de la tarta no sean iguales; así que pongo en horizontal el corte que diste menos del centro y no pierdo de vista el otro corte que dista del centro más que el horizontal. En nuestro dibujo, ese corte que dista más que el horizontal es el corte pequeñito. Mirad el siguiente dibujo:

¿Queda ya claro? Bueno pues ahora vamos a trazar una paralela al corte horizontal, que pase por el centro. Y a la misma distancia exacta, una paralela al corte pequeñito. La situación nos queda como se puede ver en el siguiente dibujo:

Si ahora nos quedamos con los cortes C₁, C₂ y C₃, estamos en la situación en la que 1 corte pasa por el centro, es decir, el dibujo que de abajo:

en el que las zonas amarillas y blancas tienen la misma área.

Vamos a solapar ambos dibujos: el verde y el amarillo... y a ver qué ocurre.

como vemos en el dibujo, al solapar ambos casos, hay una parte que queda AZUL, que es la que comparten ambos casos. Así que esta parte la podemos ignorar. Centrémonos entonces en las 2 bandas que se ven. Un es horizontal y los colores son VERDE-AZUL BLANCO-VERDE. La otra es la que está girada, cuyos colores son AMARILLO-AZUL-BLANCO-AMARILLO.

Por construcción, ambas bandas tienen la misma anchura, por lo que la primera de ellas, la horizontal, abarcará más área que la segunda (ya que la primera está pegada al centro de la pizza y la segunda está alejada de él). Por tanto, como la parte azul y blanca en ambas bandas coinciden, se deduce que la parte verde debe ser mayor que la parte amarilla.

Como consecuencia, tenemos que la parte verde completa (verde+azul) será mayor que la amarilla completa (amarilla+azul). Pero recordad que la parte amarilla completa representaba exactamente la mitad de la tarta; por tanto se deduce que la parte verde completa es mayor que la mitad de la tarta, por lo que quien la coma, saldrá ganando.

Esta demostración, la verdad, es que tiene su chiste. Personalmente me gusta el hecho de tener que basarte en un caso muy particular para poder demostrar el caso más general.

Antes de concluir, deciros que esta idea no es mía... pero sinceramente, no recuerdo de dónde la saqué. Si en algún momento lo encuentro, pondré los créditos oportunos.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas que alberga Tito Eliatron Dixit.