Tito Eliatron Dixit: Demostración visual: suma de cubos

miércoles, 19 de junio de 2013

Demostración visual: suma de cubos

Es algo bien conocido el valor de la suma de los $[;n;]$ primeros números naturales: $[;1+2+\cdots+n=n(n+1)/2;]$ . De hecho, esta identidad es uno de los primeros ejemplos que se ponen a los alumnos para que se familiaricen con el método de inducción. Otra de estas igualdades que, por inducción, es muy sencilla de probar, involucra la suma de los cubos de los $[;n;]$ primeros números naturales; concretamente, se puede demostrar que $[;1^3+2^3+\cdots+n^3=[n(n+1)/2]^2;]$ . Si unimos ambas igualdades llegamos a la siguiente relación entre la suma de los naturales y sus cubos:

$[;1^3+2^3+\cdots+n^3=\left(1+2+\cdots+n\right)^2;]$

En este post vamos a ofrecer una curiosa demostración visual de esta identidad. ¿Quieres verla?

En primer lugar, fíjate en el siguiente dibujo:

Ahora, vamos a calcular el área de dicha figura. La parte gris es un cuadrado de lado 1, por lo que su área es $[;1\cdot1^2=1^3;]$ ; la parte verde son 2 cuadrados de lado 2, luego su área es $[;2\cdot2^2=2^3;]$ ; la parte azul son 3 cuadrados de lado 3, por lo que su área será $[;3\cdot 3^2=3^3;]$ ; la parte amarilla, de forma análoga, tendrá área $[;4^3;]$ y la roja, $[;5^3;]$ . Podríamos haber seguido poniendo cuadrados de lado 6, y 7 y 8... pero para esta demostración visual, hemos creído conveniente parar en $[;n=5;]$ .

Resumiendo, el área de nuestra figura es $[;1^3+2^3+3^3+4^3+5^3;]$ . Primera parte de la demostración, hecha.

Para la segunda parte de la demostración, toma esta figura cópiala 3 veces y ve girándola 90, 180 y 270 grados respectivamente. Ahora une las 4 partes (la original y las 3 nuevas) de la siguiente forma:

¡Anda! Qué curioso... forman un cuadrado. Pero, ¿qué área tiene esta figura? fijaos bien que el lado del cuadrado es, precisamente, $[;2(1+2+3+4+5);]$ . Si no lo veis, tratad de verlo por la parte central... el lado es justamente 1 cuadrdo rojo (5) más 1 cuadrado amarillo (4), uno azul (3), uno verde (2), uno gris (1), otra vez uno gris, verde, azul, amarillo y finalizamos con el rojo.

Entonces, el área de esta figura es $[;[2(1+2+3+4+5)]^2=4(1+2+3+4+5)^2;]$ . Pero por otro lado, como el cuadrado está formado por 4 veces la figura original, resulta que su área es también $[;4(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3);]$ .

Finalmente basta con igualar y tachar los 4 que multiplican para conseguir que

$[;1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=(1+2+3+4+5)^2;]$