martes, 26 de noviembre de 2013

No es un lío pero es complejo:El Teorema de Liouville

Hace ahora casi 2 años que escribí una de esas entradas de las que uno se siente orgulloso; se trata de Dos variables, ¡qué complejo! en la que analizaba la diferencia entre funciones de dos variables reales y la variable compleja.

En esta ocasión os voy a hablar de, probablemente, el resultado más sorprendente que un estudiante de variable compleja se pueda encontrar: El Teorema de Liouville. Este resultado afirma que una función entera (es decir, analítica en todo el plano complejo -para que nos entendamos, que se puede derivar infnitas veces y, además, las derivadas se comportan muy bien, en el sentido que la serie de Taylor asociada es igual a la función en todo [;\mathbb{C};]) y acotada, automáticamente ha de ser constante.


Lo primero que vamos a hacer es dar una demostración muy simple de este resultado. Tan simple, tan  simple, que casi podría considerársela trivial. Pero claro, es trivial porque se basa en, probablemente, el resultado más importante de la Variable Compleja; me refiero a la Fórmula de la Integral de Cauchy (para derivadas).

Esta fórmula (en una expresión simplificada) afirma que si [;f:\Omega\to\mathbb{C};] es una función holomorfa (analítica, para entendernos) en una región simplemente conexa [;\Omega\subset\mathbb{C};] (es decir, abierta y sin agujeros), [;z\in\Omega;], y [;r>0;] tal que [;\{w\in\mathbb{C}:\ |w-z|=r\}\subset\Omega;], entonces
[;f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{|w-z|=r}\frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\,dw;]

Una vez conocida esta fórmula, la demostración del Teorema de Liouville es muy sencilla.

Supongamos que [;f:\mathbb{C}\to\mathbb{C};] es una función entera (holomorfa en [;\Omega=\mathbb{C};]) y acotada, es decir, tal que [;|f(z)|\le M;] [;\forall z\in\mathbb{C};]. Entonces, por la Fórmula de la integral de Cauchy para la primera derivada, fijado cualquier [;r>0;], tenemos que
 [;|f'(z)|\le\frac{1}{2\pi}\oint_{|w-z|=r}\frac{|f(w)|}{|w-z|^2}\,dw \le \frac{1}{2\pi}\frac{M}{r^2}2\pi r=\frac{M}{r};]

Pero esto es cierto, como hemos dicho antes, sea cual sea el número [;r>0;] , por lo que, haciendo que [;r\to\infty;] resulta que [;|f'(z)|\le 0;], o lo que es lo mismo, [;f'(z)=0;] que equivale a decir que [;f(z);] es constante.

¿Y por qué es sorprendente el Teorema de Liouville? Pues porque es un resultado que en variable real es FALSO. Para ello basta considerar la función [;{\rm sen}(x);] que es analítica y acotada (en [;\mathbb{R};]). Pero ahondemos más en esta función.

La ecuación [;{\rm sen(x)=2;] es claro que no tiene solución si nos quedamos en [;\mathbb{R};], sin embargo, sí que es posible resolverla en [;\mathbb{C};]. Para ello, recordemos que [;{\rm sen}(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i};] , por lo que nuestra ecuación es, en realidad, equivalente a [;e^{iz}-e^{-iz}=4i;]. Si ahora llamamos [;w=e^{iz};], resulta que la ecuación es, en realidad, [;w+1/w=4i;] o equivalentemente, [;w^2-4iw+1=0;], de donde resulta que [;w=(2\pm\sqrt3) i;]. Pero [;w=e^{iz};], por lo tanto,
 [;z=-i \log[(2\pm\sqrt3)i]=\frac{\pi}{2}+2k\pi-i\ln(2\pm\sqrt3)\quad (k\in\mathbb{Z});]
(recordar que [;\log(w)=\ln|w|+i\arg(w)+2k\pi i;], [;k\in\mathbb{Z};]).


Pero más interesante que estas simples cuentas resulta el hecho de que el Teorema Fundamental del Álgebra es una simple consecuencia del Teorema de Liouville.

En efecto, veamos que todo polinomio no constante en [;\mathbb{C};] tiene siempre una raíz. Supongamos, por reducción al absurdo, que tenemos un polinomio no constante [;p(z);] que no tiene raíces en [;\mathbb{C};]. Entonces, la función [;f(z):=1/p(z);] es entera (pues [;p(z);] no tiene ceros) y, además, es acotada, pues [;\lim_{z\to\infty}p(z)=+\infty;], luego [;\lim_{z\to\infty}f(z)=0;]. Por el Teorema de Liouville, se tiene que [;f(z);]es constante, lo que contradice el hecho de que [;p(z);] no sea constante.

Y para finalizar os dejo con un último resultado que se puede deducir del Teorema de Liouville. Toda función armónica en [;\matxbb{R}^2;] (es decir, cuyo  Laplaciano es cero) y positiva, debe ser forzosamente acotada.

En efecto, dada una tal función [;u;], tomamos [;v;] su función armónica conjugada, es decir, aquélla que hace que [;f(z)=f(x+iy)=f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y);] sea una función entera. Entonces la función [;e^{-f(z)};] es una función entera y acotada (pues [;|e^{-f(z)}|=e^{-u(z)}\le e^0=1;]); luego por el Teorema de Liouville, debe ser constante, de donde se deduce que tanto [;f(z);] como [;u(x,y);] deben ser constantes.

Por cierto, que el Teorema de Liouville es también cierto en [;\mathbb{R}^n;] para funciones armónicas; pero su demostración ya es algo más complicada, entre otras cosas, por no disponer de la Variable Compleja.

Tito Eliatron Dixit

Esta entrada participa en la Edición 4.12310562 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog ::ZTFNews.org.

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