lunes, 21 de enero de 2013

Lagrange y la raíz de 2

Es imposible encontrar un número entero que multiplicado por sí mismo dé 2. Tampoco se puede encontrar una fracción así, pues si simplificas la fracción hasta ser irreducible, el cuadrado de esta fracción será de nuevo irreducible y por lo tanto no puede ser igual al número entero 2.

Por si alguien aún no se ha enterado, se trata de una muy curiosa demostración de la irracionalidad de [;\sqrt2;] (y, por extensión, de la de la raíz de cualquier número natural que no sea un cuadrado perfecto).



Supongamos que [;n;] no es un cuadrado perfecto y que [;\sqrt n;] es racional, es decir, [;\sqrt n={p}/{q};] con [;p,q\in\mathbb{N};] y primos entre sí (para que la fracción sea irreducible). Lo que afirma Lagrange es que si [;p/q;] es irreducible (con [;q\ne1;]), entonces [;p^2/q^2;] también lo es. En efecto, si tenemos en cuenta la descomposición en factores primos de [;p;] y [;q;], como [;p/q;] es irreducible, entonces no hay factores comunes en [;p;] y [;q;]; al elevar al cuadrado, lo que hacemos es duplicar los exponentes de los factores ya existentes, pero jamás introduciremos factores nuevos, por lo tanto, [;p^2;] y [;q^2;] tampoco compartirán factores y resultarán primos entre sí.

Y claro, si [;p^2/q^2;] es irreducible, por mucho que queramos nunca podrá ser un número entero (recordad que [;q\ne1;], luego, en particular, [;p`^2/q^2\ne n;] lo que lleva a contradicción.

Durante esta semana, si puedo, propondré alguna que otra demostración más de la irracionalidad de [;\sqrt2;].

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 3.1415926535 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es La Aventura de la Ciencia.

5 comentarios:

  1. Es una demostración sencilla y muy bonita.
    La contamos el otro día en una clase de Estalmat de introducción a las demostraciones matemáticas.

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  2. Llama la atención una asimetría de tipo fundamental.Porqué algunas demostraciones son elementales, casi demasiado fáciles como en este caso; y en otros casos la tarea es de una extrema dificultad. Cuentan que a Charles Hermite, a pesar de su alto nivel matemático, le costó tanto demostrar que e es un número trascendente; que después dijo que el esfuerzo que él había tenido que hacer,no se lo deseaba a nadie. Quizás dejó de descubrir 3 o 4 cosas aún más importantes que la "trascendencia" matemática de e ala que dedicó demasiado esfuerzo. Nota: Yo ni siquiera soy matemático.

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  3. Woou con tigo se aprende o se aprende, es todo un honor visitarte.

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  4. Excelente entrada.
    El razonamiento de Lagrange es muy bonto porque es muy corto y es una versión abreviada del razonamiento que he visto más veces, en el que se acaba probando que la facción irreducible p/q debe tener como factor cómun del denominador y del numerador a 2 ( en el caso general, n) lo cual es absurdo.
    Este es más corto.
    Pero cuando lo he pensado me ha generado una duda.
    Pido ayuda porque me lío con este sencillo razonamiento:
    Ahora vamos a probar que la raíz cuadrada de cuatro es un número irracional.
    Seguimos la demostración de Lagrange que se comenta en esta entrada.
    Suponer $ \displaystyle\frac{p} {q} = \sqrt 4 $ siendo la fracción $ \displaystyle\frac{p}{q} $ irreducible.
    Elevando al cuadrado obtenemos $ \displaystyle\frac{p^2}{q^2} = 4 $ Lo cual entra en contradicción con que la fracción $ \displaystyle\frac{p^2}{q^2} $ sea irreducible
    Por tanto 2 es un número irracional
    ¿Qué está mal en este razonamiento? ¿Qué falla aquí que no falla en el razonamiento original expuesto en la entrada?.
    Aparte de responderme, podéis entreteneros consultando http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com.es/2012/12/la-demostracion-de-apostol-de-la.html
    donde se discuten demostraciones de corte geométrico de la irracionalidad de raíz de dos.
    Gracias de antemano por vuestra atención e interés

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    Respuestas
    1. Falla que la fracción irreducible de Sqrt(4) tiene como denominador 1, luego al elevar al cuadrado, la fracción irreducible también tiene denominador 1. Y una tal fracción es, en realidad, un número natural.

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