viernes, 8 de mayo de 2009

Conjuntos y medias

A tenor del último post de este blog, y recordando haber leído lo que os voy a proponer por ahí (lo siento, no recuerdo dónde fue, si alguien lo sabe, que lo comente y daré el crédito oportuno), hoy os traigo un pequeño problema para que penséis:
Encontrar dos conjuntos de números (pueden repetirse los números) tales que si trasladamos un número del conjunto A al conjunto B (es decir, quitamos un número de A y lo ponemos en B) la media de ambos conjuntos aumente.


¿Es posible? ¿siempre? ¿nunca? ¿a veces? En este últim caso... ¿cuando es posible? En fin, muchas preguntas para el viernes.

Tito Eliatron Dixit.

14 comentarios:

  1. Siempre no es posible, y nunca tampoco, pero a veces sí. Ejemplo:

    A = {5, 100, 100, 100}
    MediaA = 76.25
    B = {3, 3, 3}
    MediaB = 3

    Pasamos el 5 al conjunto B. Por lo tanto:
    A = {100, 100, 100}
    MediaA = 100
    B = {3, 3, 3, 5}
    MediaB = 3.5

    Ambas medias aumentan.

    Generalizando, creo que es posible si del conjunto A sacamos el menor número, y ese número es mayor que todos los del conjunto B. Creo que también influirá que ese número esté fuera del rango [media-desvTipica, media+desvTipica], pero puede que haya casos en que no haga falta que se cumpla esta condición.

    En fin, ya sería mucho escribir en viernes :P

    Un saludo desde Málaga ;)

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  2. Un poco rebuscado, pero básicamente lo mismo que yo había pensado.

    En cuanto a la generealización, creo que no es del todo correcta. Pero esto no lo voy a contar, a ver si alguien más se atreve.

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  3. La generalización podría ser así:

    La media de ambos conjutnos aumenta siempre que el número que se extrae de A sea inferior a la media de A, pero superior a la media de B.

    Un saludo,

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  4. Eso ya me parece a mi más intuitivo. Es justo lo que yo había pensado.

    Otra cuestión sería DEMOSTRARLO.

    ¿Alguien se atreve?

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  5. Bueno, me he atrevido. Otra cosa es que me haya equivocado. Sólo voy a demostrar que si quitamos un número de A cuyo valor sea menor que la media de A, entonces la media del conjunto que nos queda aumenta. La parte de B se demuestra de forma muy parecida.

    Lo primero es un poco de notación. Los elementos del conjunto A son a1, a2,...,an. La media, por tanto, será (a1+a2+...+an)/n, aunque vamos a llamarla m1. Imaginemos que quitamos el elemento a1, que cumple que a1 < m1.La media del nuevo conjunto será (a2+...+an)/(n-1). Vamos a llamarla, para simplificar, m2.

    Vayamos ahora al proceso. Primero escribimos la suma de todos los elementos del conjunto A de dos maneras direrentes e igualamos:

    n.m1 = a1 + (n-1).m2, entonces:
    n.m1 -a1 = (n-1).m2

    Teniendo en cuenta esta última igualdad y la desigualdad a1 < m1, llegamos a:

    n.m1-m1 < n.m1-a1 = (n-1).m2, es decir:
    (n-1).m1 < (n-1).m2, es decir:
    m1 < m2, que es lo que queríamos demostrar.

    Puede ayudar para ver de dónde viene todo esto imaginarse las áreas de dos rectángulos: uno de lados n y m1 (R1) y otro de lados (n-1) y m2 (R2). Si quitamos un rectángulo de lados 1 y a1 (área igual a a1) al primer rectángulo, comprobamos que nos queda un polígono que podemos dividir en dos rectángulos, uno de lados (n-1) y m1 y otro de lados 1 y m1-a1. El área de este polígono es igual al de R2, de área (n-1).m2, es decir, tenemos que coger el rectangulito de lado 1 y "repartirlo" por encima del de lados (n-1) y m1 para conseguir R2, lo que da a entender que m1 < m2.
    Me parece que me he liado un poco al explicarlo, pero es que es mejor una imagen que mil palabras, desde luego.

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  6. Bueno, entiendo que esa demostración sólo sirve para demostrar que siempre que se den las condiciones de FordPrefect, entonces la media de los conjuntos aumenta, pero no para demostrar que con otras concidiones diferentes no obtendríamos un aumento de la media de los dos conjuntos. Creo que eso también se puede demostrar cambiando un poco el razonamiento de la demostración de más arriba. Si no me equivoco, bastaría con demostrar que si sacamos un número superior o igual a la media de A, entonces la media de los elementos del conjunto A no aumenta.

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  7. Perdona por tantos comentarios seguidos... Me he equivocado: habría que demostrar también que si al conjunto B le añadimos un número inferior o igual a la media, entonces el conjunto B no aumenta. En definitiva habría que demostrar:

    -Si a un conjunto le quitamos un elemento cuyo valor sea menor a la media, entonces la media del nuevo conjunto aumenta.
    -Si a un conjunto le quitamos un elemento cuyo valor sea mayor o igual a la media, entonces la media del nuevo conjunto es menor o igual a la anterior.
    -Si a un conjunto le añadimos un elemento cuyo valor sea mayor a la media, entonces la media del nuevo conjunto aumenta.
    -Si a un conjunto le añadimos un elemento cuyo valor sea menor o igual a la media, entonces la media del nuevo conjunto es menor o igual a la anterior.

    De nuevo, perdona por tantos comentarios. Espero que sea el último (por hoy).

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  8. Perdonada, pero en realidad está muy bien lo que comentas. Muy currado y sobre todo muy acertado (siempre bajo mi punto de vista).
    Enhorabuena!!

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  9. Por dar otro enfoque... La cuestión es si esto puede ocurrir en un fenómeno físico y si de ocurrir violaría o no el Principio de Conservación de la Energía... la solución está en el conjunto unión.

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  10. Hola Eliatron, interesante tu blog, solo por la divertimentos como este que planteas ya merece la pena. Bueno, al tema, intentaré demostrar lo que planteas de forma general.Definiremos la media sobre un conjunto (numerico y finito) cualquiera X (con Card(X)=t y cuyos elementos son los x-sub-i (con i=1,2,3,...,t) como el sumatorio en i de todos los elementos del conjunto (con i de 1 a t) dividido de t. Así pues, dado un conjunto cualquiera nos preguntamos como cambia su media al incrementar su cardinal en una unidad. Supongamos que la media de un conjunto dado A (a la que referire como M(A)) es M(A)=a, llamamos A+ al conjunto que resulta de añadir un elemento cualquiera h al conjunto A, así M(A+)=((n/n+1)*(a))+(h/n+1). Si imponemos M(A+)>M(A) y operamos se obtiene que M(A+)>M(A) si y solo si h>a. El lector avezado se habrá dado cuenta que este esquema de razonamiento (que no voy a repetir otra vez porque no cambia casi) nos lleva a que M(A-)>M(A), donde A- es el conjunto que resulta de quitar un elemento (al que llamaré p) al conjunto A, si y solo si a>p donde M(A)=a. Bien ¿y que deducimos de esto en relación a lo que se plantea? pues todo. Como sencillo corolario se obtiene que dados dos conjuntos X e Y cualesquiera, si realizamos la operación de quitar un elemento de X para ponerlo en Y (lo que es equivalente a realizar ambas transformaciones descritas arriba en la demostración y además siendo p=h, es decir quitar el número p de X y poner h=p en Y), se incrementarán ambas medias si y solo si M(X)>p y además p>M(Y). Para que esto suceda debe exitir al menos un p en X que cumpla lo deseado. Si no existe tal p pues no se puede.
    P.D.:si encontrais algún fallo en mi razonamiento o no os aclarais con mi notación hacedmelo saber.

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  11. Muy buen comentario, Cristian.
    Y muy buena la demostración. simple pero eficaz, como deben ser.
    Y sobre todo, fáciles de seguir.

    Espero verte más por estos lares.

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  12. Gracias Eliatron. Intentaré comentar más para dejar a Gauss a dieta de integrales ;D

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  13. Uy, ay una pequeña omisión en mi demostración.
    Card(A)=n , les ruego me disculpen.

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Si no comentas, Gauss se comerá una integral.
Y, por favor, respeta a todos con tus opiniones.

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